Números Triangulares, também denominados de números figurados, números geométricos, são números que podem ser representados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de triângulos.
Os números triangulares, entre outros métodos, podem ser gerados:
a) por meio da soma de números naturais consecutivos;
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
b) pelo produto de 2 números consecutivos dividido por 2.
| Números Triangulares | ||||
| ordem / | números | número | número | |
| posição | consecutivos | retangular | triangular | |
| 1 | 1 | 2 | 2 | 1 |
| 2 | 2 | 3 | 6 | 3 |
| 3 | 3 | 4 | 12 | 6 |
| 4 | 4 | 5 | 20 | 10 |
| 5 | 5 | 6 | 30 | 15 |
| 6 | 6 | 7 | 42 | 21 |
| 7 | 7 | 8 | 56 | 28 |
| 8 | 8 | 9 | 72 | 36 |
| 9 | 9 | 10 | 90 | 45 |
| 10 | 10 | 11 | 110 | 55 |
| 11 | 11 | 12 | 132 | 66 |
| 12 | 12 | 13 | 156 | 78 |
| 13 | 13 | 14 | 182 | 91 |
| 14 | 14 | 15 | 210 | 105 |
| 15 | 15 | 16 | 240 | 120 |
| 16 | 16 | 17 | 272 | 136 |
| 17 | 17 | 18 | 306 | 153 |
| 18 | 18 | 19 | 342 | 171 |
| 19 | 19 | 20 | 380 | 190 |
| 20 | 20 | 21 | 420 | 210 |
| 21 | 21 | 22 | 462 | 231 |
| 22 | 22 | 23 | 506 | 253 |
| 23 | 23 | 24 | 552 | 276 |
| 24 | 24 | 25 | 600 | 300 |
| 25 | 25 | 26 | 650 | 325 |
| 26 | 26 | 27 | 702 | 351 |
| 27 | 27 | 28 | 756 | 378 |
| 28 | 28 | 29 | 812 | 406 |
| 29 | 29 | 30 | 870 | 435 |
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Os números triangulares possuem diversas propriedades matemáticas e geométricas e apresentam relações com outras sequências numéricas famosas, tais como: números perfeitos, números quadrados perfeitos, números retangulares, etc.
O presente estudo demonstra que a partir da adição da soma e da subtração de termos equidistantes de sequência de 3 números triangulares consecutivos tem como resultado o dobro do terceiro termo.
Demonstra também que o produto dos termos equidistantes de sequência de 3 números triangulares consecutivos é múltiplo do segundo termo.
A adição de uma diferença e de uma soma entre os termos equidistantes de 3 números triangulares consecutivos tem como resultado o dobro do terceiro termo dessa mesma sequência de 3 números triangulares consecutivos.
| números | ||
| diferença | triangulares | soma |
| 1 | ||
| 5 | 3 | 7 |
| 6 |
diferença entre termos equidistantes
6 - 1 = 5
soma entre termos equidistantes
6 + 1 = 7
adição da diferença e da soma
5 + 7 = 12
12 é o dobro do triangular 6, bem como, o terceiro número retangular.
Aqui um fato matemático a ser destacado, em estudos de adições sucessivas e subtrações sucessivas de um número natural até a sua metade, originou-se o Método Números Atraentes, (mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas) , vejamos o número 12 subtraindo números de 1 até a sua metade:
| minuendo | subtraendo | diferença | ||
| 12 | 1 | 11 | ||
| 12 | 2 | 10 | ||
| 12 | 3 | 9 | ||
| 12 | 4 | 8 | ||
| 12 | 5 | 7 | 2 | |
| 12 | 6 | 6 |
12 - 5 = 7
12 - 7 = 5
A diferença 7 menos o subtraendo 5 é 2.
2 é o dobro do triangular 1.
1 é o primeiro termo da sequência 1, 3, 6 de triangulares.
| números | ||
| diferença | triangulares | soma |
| 3 | ||
| 7 | 6 | 13 |
| 10 |
diferença entre termos equidistantes
10 - 3 = 7
soma entre termos equidistantes
3 + 10 = 13
adição da diferença e da soma
7 + 13 = 20
20 é o dobro do triangular 10, bem como, o quarto número retangular.
Aqui um fato matemático a ser destacado, em estudos de adições sucessivas e subtrações sucessivas de um número natural até a sua metade, originou-se o Método Números Atraentes, (mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas), vejamos o número 20 subtraindo números de 1 até a sua metade:
| minuendo | subtraendo | diferença | ||
| 20 | 1 | 19 | ||
| 20 | 2 | 18 | ||
| 20 | 3 | 17 | ||
| 20 | 4 | 16 | ||
| 20 | 5 | 15 | ||
| 20 | 6 | 14 | ||
| 20 | 7 | 13 | 6 | |
| 20 | 8 | 12 | ||
| 20 | 9 | 11 | ||
| 20 | 10 | 10 |
20 - 7 = 13
20 - 13 = 7
A diferença 13 menos o subtraendo 7 é 6.
6 é o dobro do triangular 3.
6 é o segundo termo da sequência 3, 6, 10 de triangulares.
| números | ||
| diferença | triangulares | soma |
| 6 | ||
| 9 | 10 | 21 |
| 15 |
diferença entre termos equidistantes
15 - 6 = 9
soma entre termos equidistantes
6 + 15 = 21
adição da diferença e da soma
9 + 21 = 30
30 é o dobro do triangular 15, bem como, o quinto número retangular.
Aqui um fato matemático a ser destacado, em estudos de adições sucessivas e subtrações sucessivas de um número natural até a sua metade, originou-se o Método Números Atraentes, (mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas) , vejamos o número 30 subtraindo números de 1 até a sua metade:
| minuendo | subtraendo | diferença | ||
| 30 | 1 | 29 | ||
| 30 | 2 | 28 | ||
| 30 | 3 | 27 | ||
| 30 | 4 | 26 | ||
| 30 | 5 | 25 | ||
| 30 | 6 | 24 | ||
| 30 | 7 | 23 | ||
| 30 | 8 | 22 | ||
| 30 | 9 | 21 | 12 | |
| 30 | 10 | 20 | ||
| 30 | 11 | 19 | ||
| 30 | 12 | 18 | ||
| 30 | 13 | 17 | ||
| 30 | 14 | 16 | ||
| 30 | 15 | 15 |
30 - 9 = 21
30 - 21 = 9
A diferença 21 menos o subtraendo 9 é 12.
12 é o dobro do triangular 6.
6 é o primeiro termo da sequência 6, 10, 15 de triangulares.
Partindo-se da soma de 2 números triangulares equidistantes entre 3 números triangulares consecutivos e posteriormente subtraindo 1 unidade consecutivamente 2 vezes, obtêm-se 3 números decrescentes cujo termo central é um número retangular e cujos determinados sucessores e antecessores são números primos gêmeos (células laranjas).
| Números Retangulares | |||||||
| e Números Antecessores e Sucessores | |||||||
| soma | |||||||
| triangular | 2 termos | retangular | |||||
| equidistantes | |||||||
| sucessor | antecessor | ||||||
| A | B | C | D | ||||
| . | |||||||
| 1 | |||||||
| . | |||||||
| 3 | 7 | 6 | 5 | ||||
| . | |||||||
| 6 | 13 | 12 | 11 | ||||
| . | |||||||
| 10 | 21 | 20 | 19 | ||||
| . | |||||||
| 15 | 31 | 30 | 29 | ||||
| 21 | 43 | 42 | 41 | ||||
| . | |||||||
| 28 | 57 | 56 | 55 | ||||
| . | |||||||
| 36 | 73 | 72 | 71 | ||||
| . | |||||||
| 45 | 91 | 90 | 89 | ||||
| . | |||||||
| 55 | 111 | 110 | 109 | ||||
| . | |||||||
| 66 | 133 | 132 | 131 | ||||
| . | |||||||
| 78 | 157 | 156 | 155 | ||||
| . | |||||||
| 91 | 183 | 182 | 181 | ||||
| . | |||||||
| 105 | 211 | 210 | 209 | ||||
| . | |||||||
| 120 | 241 | 240 | 239 | ||||
| . | |||||||
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Aqui mais um outro fato matemático a ser destacado, colocando cada sequência em ordem crescente, por exemplo, a primeira sequência:
5, 6, 7
tem-se 2 números primos nos extremos (equidistantes) e um número retangular entre os dois, isto é, o retangular é o termo do meio, o que vem corroborar com o estudo:
011-estudos-395-triangulo-numerico-3-numeros-quadrados-retangulares-primos-gemeos
de que determinados números retangulares têm como números antecessores e sucessores: números primos gêmeos.
E ainda mais interessante é que nos estudos publicados rescentemente:
011-estudos-656-numeros-quadrados-perfeitos-e-numeros-antecessores-e-sucessores
011-estudos-657-numeros-triangulares-e-numeros-antecessores-e-sucessores
tanto a sequência de números quadrados perfeitos quanto a sequência de números triangulares ao serem subtraídos 1 unidade não geram números primos nem aleatoriamente a partir de seus terceiros termos.
O produto dos termos equidistantes de 3 números triangulares consecutivos é múltiplo do termo central.
| números | produto |
| triangulares | termos |
| equidistantes | |
| 1 | |
| 3 | 6 |
| 6 |
1 x 6 = 6
6 é múltiplo de 3
6 : 3 = 2
2 e 3 são números consecutivos cujo produto é o retangular 6.
A metade de 6 é o triangular 3.
| números | produto |
| triangulares | termos |
| equidistantes | |
| 3 | |
| 6 | 30 |
| 10 |
3 x 10 = 30
30 é múltiplo de 6
30 : 6 = 5
5 e 6 são números consecutivos cujo produto é o retangular 30.
A metade de 30 é o triangular 15.
| números | produto |
| triangulares | termos |
| equidistantes | |
| 6 | |
| 10 | 90 |
| 15 |
6 x 15 = 90
90 é múltiplo de 10
90 : 10 = 9
9 e 10 são números consecutivos cujo produto é o retangular 90.
A metade de 90 é o triangular 45.
Autor: Ricardo Silva - abril/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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