Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números Quadrados Perfeitos e Números Antecessores e Sucessores - 656

Assim está escrito no logotipo da Great Internet Mersenne Prime Search - GIMPS [1]:

2^P - 1 May Be Prime !

( potência de base 2 elevada a número primo menos 1 unidade pode ser um número primo )

GIMPS é uma organização que desenvolveu software compartilhado em rede de computadores para processamento de cálculos matemáticos à procura de Números Primos de Mersenne, idealizado por George Woltman em 1986.

A busca por números primos e principalmente por uma fórmula que os gerem sequencialmente, têm mobilizado muitos matemáticos, bem como, entusiastas matemáticos.

Pierre de Fermat (1601-1658), magistrado e entusiasta matemático francês, conjecturou que 2^{2^n} + 1, isto é, 2 elevado a uma potência de base 2 somada 1 unidade, geraria sequencialmente números primos. Na verdade, os 4 primeiros números gerados por sua fórmula são primos. Testes realizados a partir do quinto número demonstraram não serem números primos.

Marin Mersenne (1588-1648), monge francês, contemporâneo de Pierre de Fermat, também estudou números primos e apresentou a seguinte fórmula: 2ⁿ - 1, em seus estudos, Mersenne verificou que subtituindo o expoente n (número natural) por p (número primo) haveria mais chance de obter números primos, o fato é que as vezes mesmo o expoente sendo um número primo, o número gerado não é número primo.

Fonte: adaptado de Guimarães, Angelo Moura. Introdução a Ciência da Computação / Angelo de Moura Guimarães, Alberto de Castilho Lages, - Rio de Janeiro: LTC, 1992.

Antecessor e Sucessor de um Quadrado Perfeito

Partindo-se das ideias de Pierre de Fermat e Marin Mersenne de se somar e de se subtrair 1 unidade de uma potência de base 2 respectivamente, fez-se o mesmo, mas, com os 1000 primeiros números quadrados perfeitos e que se constatam interessantes fatos matemáticos que:

a) determinados números quadrados perfeitos pares somados 1 unidade (coluna E - sucessores), têm como resultados números primos;

b) Números de Fermat são gerados de quadrados de potências de base 2 ao quadrado (células azuis), excetuando-se a potência 2 que não é um quadrado perfeito;

c) somente o quadrado perfeito ímpar 1 somado 1 unidade tem como resultado um número primo par, o 2 (coluna E);

d) somente o quadrado perfeito ímpar 1 menos 1 unidade, têm como resultado um número quadrado perfeito par, o zero (0) (coluna B);

e) excetuando-se a segunda linha com o quadrado perfeito 4 em que seu antecessor é o Número Primo 3 de Mersenne, os demais quadrados perfeitos, têm como antecessores números ímpares compostos.

Aqui um outro fato interessante a ser destacado em relação a Fórmula de Mersenne 2ⁿ - 1.

Veja que 2² - 1 = 4 - 1 = 3

4 é o único quadrado perfeito menos 1 unidade que gera um Número Primo de Mersenne, pois os demais primos de Mersenne gerados é a base 2 elevada a expoente ímpar primo.

Os Números de Fermat 2^{2^n} + 1 são gerados de determinados números quadrados potências de base 2 ao quadrado: 4, 16, 256, 65536, 4294967296, 18446744073709551616, isto é, são quadrados de quadrados somados 1 unidade: 5, 17, 257, 65537, 4294967297

Lembrando que 2 é uma potência de base 2, não é um quadrado perfeito, mas somado 1 unidade gera o número primo 3 que também é um Número de Fermat.

Parafraseando a Organização GIMPS, a pergunta que se faz é a seguinte:

( 2n ) ² - 1

pode gerar, pelos menos, um outro número primo ? ? ? ? ? ? ?

Números Triangulares e Números Antecessores e Sucessores

A imagem a seguir é parte de um pré-estudo enviado pelo Sr. Aristóteles Costa, Colaborador do WebSite Os Fantásticos Números Primos e que permeia as propriedades das Fórmulas de Pierre de Fermat e de Marin Mersenne quanto somar ou subtrair 1 unidade de determinado número, bem como, de uma sequência numérica.

A tabela a seguir apresentam os 50 primeiros de um rol de 1000 números triangulares e seus números antecessores e sucessores e demonstram propriedades semelhantes à Tabela - 3 - Números Quadrados Perfeitos e Números Antecessores e Sucessores.

a) coluna D - determinados números triangulares têm como sucessores números primos.

c) somente o triangular ímpar 1 tem como sucessor um número primo par, o 2 - coluna D;

d) somente o triangular ímpar 1 têm como antecessor um número quadrado perfeito par, o zero (0) - coluna B;

e) excetuando-se o segundo e terceiro cálculos, nenhum outro número triangular têm como antecessores números primos.

Parafraseando novamente a Organização GIMPS, a pergunta que se faz é a seguinte:

T_n - 1

pode gerar, pelos menos, um outro número primo ? ? ? ? ? ? ?

O WebSite Os Fantásticos Números Primos faz um convite a entusiastas matemáticos, estudantes, professores, profissionais da área de exatas, empresas de tecnologia, centros de pesquisas, universidades, etc. que possa disponibilizar recursos humanos / recursos materiais para desenvolvimento de projeto computacional para se encontrar números primos a partir de um quadrado perfeito menos 1 unidade.

Autores: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - abril/2026

Fontes Bibliográficas:

GUIMARÃES, Angelo Moura. Introdução a Ciência da Compuação / Angelo de Moura Guimarães, Alberto de Castilho Lages, - Rio de Janeiro: LTC, 1992.

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

[1] https://www.mersenne.org/primes/

Matérias relacionadas:

011-estudos-138-numeros-primos-numeros-binarios

011-estudos-141-numeros-mersenne-e-numeros-binarios

011-estudos-522-numeros-fermat-regularidades-numericas

Livro digital (e-book)

Escada de Theon

e Sequências Numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro digital (e-book)

Números Primos e o

Método Números Atraentes

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro digital (e-book)

Progressões Aritméticas e Geométricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro Digital (e-book)

Tabuada de Pythagoras

e Sequências Numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro Digital (e-book)

Estudos de Sequências Numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro Digital (e-book)

Os Fantásticos Números Primos

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro Digital (e-book)

Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Senhores Professores de Matemática,

Profissionais de Exatas e

Entusiastas Matemáticos

Recebam GRATUITAMENTE

o E-book

Triângulo Retângulo

 

FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO

AGORA MESMO ATRAVÉS

DO E-MAIL:

contato@osfantasticos numerosprimos.com.br

Livro Digital (e-book) Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro Digital (E-book) Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro digital (e-book)
Números Triangulares e Sequências Numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Manual digital (E-book) Quadrado Mágico Triplo

LIVRO GRATUITO

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro digital (e-book)

Números Perfeitos e Sequências Numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Manual Digital (E-book) Multiplicação através da soma de múltiplos

LIVRO GRATUITO

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Prezado visitante, o conteúdo do

WebSite Os Fantásticos Números Primos

está protegido por direitos autorais.

O uso acadêmico e escolar está liberado,

desde que informando ao autor o local e

o meio em que será utilizado e divulgado,

através do e-mail:

contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br

O uso comercial é proibido.