Progressão Aritmética, também denominada de P.A., é uma sequência numérica em que seus termos, exceto o primeiro, é igual ao termo anterior somado de um número constante denominado de razão.
Progressão Aritmética, entre outras, possui as seguintes propriedades:
a) a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual a soma dos termos dos extremos.
b) a média aritmética, considerando 3 termos consecutivos de uma P.A finita, é o termo do meio é a média aritmética dos outros dois termos.
O presente estudo demonstra novas propriedades relacionadas a razão e a diferença dos quadrados de quaisquer dois termos de uma progressão aritmética (P.A.).
Progressão Aritmética cujo primeiro termo é 5 e razão 3.
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | |||||
| termo | termo | termo | termo | termo | |||||
| 05 | 08 | 11 | 14 | 17 | |||||
| 03 | 03 | 03 | 03 | 03 | |||||
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O produto da diferença pela soma de quaisquer 2 termos é igual a diferença dos quadrados desses 2 termos de uma Progressão Aritmética (P.A.).
3 x ( 5 + 8 ) =
3 x 13 = 39
| termos | Quadrados | ||||
| 05 | 25 | ||||
| 03 | razão | 39 | diferença dos quadrados | ||
| 08 | 64 | ||||
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Observação: a diferença de quadrados é divisível pela razão.
Utilizando as seguintes fórmulas, onde:
Dq = Diferença entre dois quadrados perfeitos
Dr² = Diferença entre duas raízes ao quadrado
2r = Dobro da diferença entre duas raízes
podem ser comprovadas:
a) a raiz quadrada sucessora - Fórmula da Soma
| Dq + Dr² |
| ____ |
| 2 x r |
b) a raiz quadrada antecessora - Fórmula da Diferença
| Dq - Dr² |
| ____ |
| 2 x r |
Para mais informações sobre estas fórmulas, veja abaixo, Matérias Relacionadas, estudo 475 !
A diferença das raízes (termos da P.A.) ao quadrado (3²) subtraída da diferença dos quadrados (39) e dividida pelo dobro da diferença da raízes têm como quociente a √25 = 5.
| 39 - 3² | 30 | |||
| ____ | = | ___ | = | 5 |
| 2 x 3 | 6 |
A diferença das raízes ao quadrado (3²) somada com a diferença dos quadrados (39) e dividida pelo dobro da diferença da raízes têm como quociente a √64 = 3.
| 39 + 3² | 48 | |||
| ____ | = | ___ | = | 8 |
| 2 x 3 | 6 |
| termos | Quadrados | ||||
| 05 | 25 | ||||
| 12 | razão | 264 | diferença dos quadrados | ||
| 17 | 289 | ||||
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Observação: a diferença de quadrados é divisível pela razão.
12 x ( 5 + 17 ) =
12 x 22 = 264
A diferença das raízes (termos da P.A.) ao quadrado (12²) subtraída da diferença dos quadrados (264) e dividida pelo dobro da diferença da raízes têm como quociente a √25 = 5.
| 264 - 12² | 120 | |||
| ____ | = | ___ | = | 5 |
| 2 x 12 | 24 |
A diferença das raízes (termos da P.A.) ao quadrado (12²) somada com diferença dos quadrados (264) e dividida pelo dobro da diferença da raízes têm como quociente a √289 = 3.
| 264 + 12² | 408 | |||
| ____ | = | ___ | = | 17 |
| 2 x 12 | 24 |
Progressão Aritmética cujo primeiro termo é 1 e razão 3.
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | |||||
| termo | termo | termo | termo | termo | |||||
| 01 | 04 | 07 | 10 | 13 | |||||
| 03 | 03 | 03 | 03 | 03 | |||||
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Todo número ímpar igual ou maior que 3 é a diferença entre 2 quadrados perfeitos consecutivos.
4 - 1 = 3
Prova
( 3 + 1 ) / 2 = 2
2² = 4
( 3 - 1 ) / 2 = 1
1² = 1
| termos | Quadrados | ||||
| 1 | 1 | ||||
| 03 | razão | 15 | diferença dos quadrados | ||
| 4 | 16 | ||||
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Observação: a diferença de quadrados é divisível pela razão.
3 x ( 1 + 4 ) =
3 x 5 = 15
A diferença das raízes (termos da P.A.) ao quadrado (3²) subtraída da diferença dos quadrados (15) e dividida pelo dobro da diferença da raízes têm como quociente a √1 = 1.
| 15 - 3² | 6 | |||
| ____ | = | ___ | = | 1 |
| 2 x 3 | 6 |
A diferença das raízes (termos da P.A.) ao quadrado (3²) somada com a diferença dos quadrados (15) e dividida pelo dobro da diferença da raízes têm como quociente a √16 = 4.
| 15 + 3² | 24 | |||
| ____ | = | ___ | = | 4 |
| 2 x 3 | 6 |
Observação importante: o número 15 também é a diferença dos quadrados 64 e 49, vejamos:
D(15)={ 1, 3, 5, 15 }
| 15 - 1² | 14 | |||
| ____ | = | ___ | = | 7 |
| 2 x 1 | 2 |
7 x 7 = 49
| 15 + 1² | 16 | |||
| ____ | = | ___ | = | 8 |
| 2 x 1 | 2 |
8 x 8 = 64
As fórmulas descritas neste estudo vem de encontro com o produto notável Produto da soma pela diferença de dois termos, isto é, possui relação com o produto notável e este também com um dos divisores de um número natural que é a razão de um progressão aritmética.
Recordando OS PRODUTOS NOTÁVEIS, podemos aplicá-los em cálculos numéricos.
| (a + b) . (a - b) = a² - ab + ba - b² |
como - ab + ba = 0
a expressão fica sintetizada desta forma:
(a + b) . (a - b) = a² - b²
aplicando a expressão em cálculos numéricos
Exemplo:
Progressão Aritmética cujo primeiro termo é 5 e razão 3.
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | |||||
| termo | termo | termo | termo | termo | |||||
| 05 | 08 | 11 | 14 | 17 | |||||
| 03 | 03 | 03 | 03 | 03 | |||||
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Escolhendo o primeiro e segundo termos:
(8 + 5) . ( 8 - 5) = 8² - 5² = 64 - 25 = 39
39 é a diferença dos 2 quadrados 64 e 25
8 - 5 = 3
3 é a diferença entre as raízes 8 e 5
D(39)={ 1, 3, 13, 39 }
Com os exemplos expostos, comprova-se que o produto de uma razão (diferença entre dois números quaisquer) pela soma desses dois números tem como resultado a diferença dos quadrados desses 2 números, sejam esses dois números, termos de uma progressão aritmética (P.A) ou não.
Autor: Ricardo Silva - janeiro/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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