Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Divisores e Diferenças e Somas de 2 Quadrados - 627

A partir dos divisores de um número, isto é, da quantidade de divisores é que podemos caracterizar tal número como:

♦ primo;

♦ quadrado perfeito;

♦ composto;

♦ ou semi-primo.

Número Primo possui somente 2 divisores, o número 1 e ele próprio.

Número quadrado perfeito possui divisores em quantidades ímpares.

Número composto possui mais de 2 divisores.

Número Semi-Primo é produto de 2 números primos, sendo os primos iguais, o número é um quadrados perfeito, sendo 2 números primos distintos, tal número e seus múltiplos possuem divisores em quantidades de números quadrados perfeitos, propriedade esta, com a qual se constroem quadrados mágicos multiplicativos sequencialmente.

O presente estudo demonstram que a partir de duplas de divisores equidistantes de um número ímpar são possíveis de saber diferenças e somas entre 2 quadrados perfeitos consecutivos, como também, de quadrados perfeitos não consecutivos e suas relações com Números de Fermat da formas 4x + 1 e 4x + 3.

O estudo também demonstram a geração de termos "m" e "n" de números primos entre si e não primos entre si da Fórmulas de Euclides com os quais se formam ternos pitagóricos primitivos e ternos pitagóricos derivados.

Diferenças e Somas de 2 Quadrados

A tabela a seguir demonstram as 20 primeiras diferenças e somas entre 2 quadrados perfeitos consecutivos e as seguintes propriedades:

a) a diferença entre 2 quadrados perfeitos consecutivos gera a sequência de números ímpares a partir do número 3;

b) a diferença entre 2 quadrados perfeitos consecutivos geram Números de Fermat das formas 4x + 1 e 4x + 3 intercalados;

c) a soma entre 2 quadrados perfeitos consecutivos geram Números de Fermat da forma 4x + 1, onde x é um número triangular.

d) a diferença e soma são números correspondentes, isto é, são termos de ternos pitagóricos primitivos de ordem triangular, repectivamente cateto menor e hipotenusa no triângulo retângulo escaleno.

Número Ímpar e Diferença e Soma de 2 Quadrados

A partir de um número ímpar igual ou maior que 3, pode-se saber que quadrados têm como diferença e soma determinado número ímpar por meio de média aritmética.

Exemplo com número 3

i) soma-se 1 unidade ao número ímpar e dividi-se por 2;

( 3 + 1 ) / 2 = 2

ii) subtrái-se 1 unidade do número ímpar e dividi-se por 2;

( 3 - 1 ) / 2 = 1

Observação: os quocientes 2 e 1 são respectivamente termos "m" e n" das Fórmulas de Euclides.

Obtendo a diferença de 2 quadrados consecutivos

iii) eleva-se os quocientes ao quadrado e subtrái o maior do menor;

2² - 1² = 4 - 1 = 3

3 é a diferença entre os quadrados 4 e 1 é um número da forma 4x + 3.

Obtendo a soma de 2 quadrados consecutivos

iv) eleva-se os quocientes ao quadrado e somam-os;

2² + 1² = 4 - 1 = 5

5 é a soma dos quadrados 4 e 1 é um número da forma 4x + 1.

Soma de 2 Quadrados Consecutivos

A soma de 2 quadrados consecutivos têm como resultado um Número de Fermat da forma 4x + 1, onde x é um número triangular.

Exemplos:

a) 1 + 4 = 5

4 x 1 (triangular) + 1 = 5

b) 4 + 9 = 13

4 x 3 (triangular) + 1 = 13

c) 9 + 16 = 25

4 x 6 (triangular) + 1 = 25

Número primo da forma 4x +1 pode ser escrito como soma de 2 quadrados de modo único, isto é, com uma única dupla de quadrados, enquanto os números compostos são escritos com mais de uma dupla de 2 quadrados.

Números da forma 4x + 1, onde x é um número triangular pode ser reconhecido por meio dos Algoritimos: S2Q-1 e S2Q-2.

Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas, estudos 590 e 591.

Exemplo com o número 5 da forma 4x + 1.

i) decompõe-se o número 5 como soma de 2 números consecutivos;

( 5 - 1 ) / 2 = 2

( 5 + 1 ) / 2 = 3

ii) 2 + 3 = 5

ii) a primeira parcela 2 é um número retangular;

iii) número retangular é um número que é produto de 2 números consecutivos;

1 x 2 = 2

iv) eleva-se os fatores ao quadrado e soma-os;

1² + 2² = 1 + 4 = 5

Método da Soma e Diferença de Divisores Equidistantes

Através da soma de divisores equidistantes dividido por 2 e da diferença de divisores equidistantes dividido por 2 são possíveis de saber as raízes, os quadrados, bem como, os Números de Fermat das formas 4x + 3 e 4x + 1 que formam ternos pitagóricos primitivos e derivados a partir de dado número ímpar.

Número 15

D(15) = { 1, 3, 5, 15 }

a) divisores equidistantes 1 e 15

i) (15 + 1) / 2 = 8

ii) (15 - 1) / 2 = 7

iii) 8² - 7² = 64 - 49 = 15 (número da forma 4x + 3)

iv) 8² + 7² = 64 + 49 = 113 (número da forma 4x + 1)

v) 2 x 8 x 7 = 112

vi) Terno Pitagórico Primitivo 15 - 112 - 113

b) divisores equidistantes 3 e 5

i) (5 + 3) / 2 = 4

ii) (5 - 3) / 2 = 1

iii) 4² - 1² = 16 - 1 = 15 (número da forma 4x + 3)

iv) 4² + 1² = 16 + 1 = 17 (número da forma 4x + 1)

v) 2 x 4 x 1 = 8

vi) Terno Pitagórico Primitivo 8 - 15 - 17

Fixando o Número Ímpar e Variando Divisores

Número 15

D(15) = { 1, 3, 5, 15 }

a) números 15 e 1

i) (15 + 1) / 2 = 8

ii) (15 - 1) / 2 = 7

iii) 8² - 7² = 64 - 49 = 15 (número da forma 4x + 3)

iv) 8² + 7² = 64 + 49 = 113 (número da forma 4x + 1)

v) 2 x 8 x 7 = 112

vi) Terno Pitagórico Primitivo 15 - 112 - 113

b) números 15 e 3

i) (15 + 3) / 2 = 9

ii) (15 - 3) / 2 = 6

iii) 9² - 6² = 81 - 36 = 45 (número da forma 4x + 1)

iv) 9² + 6² = 81 + 36 = 117 (número da forma 4x + 1)

v) 2 x 9 x 6 = 108

vi) Terno Pitagórico Derivado 45 - 108 - 117

c) números 15 e 5

i) (15 + 5) / 2 = 10

ii) (15 - 5) / 2 = 5

iii) 10² - 5² = 100 - 25 = 75 (número da forma 4x + 3)

iv) 10² + 5² = 100 + 25 = 125 (número da forma 4x + 1)

v) 2 x 10 x 5 = 100

vi) Terno Pitagórico Derivado 75 - 100 - 125

Fixando o Número Ímpar e Variando Divisores ao Quadrado

Neste método elevam-se divisores ao quadrado, de forma que o quadrado do divisor não seja maior que o número ímpar.

Número 15

D(15) = { 1, 3, 5, 15 }

a) números 15 e 1

i) (15 + 1²) / 2 x 1 = 8

ii) (15 - 1²) / 2 x 1 = 7

iii) 8² - 7² = 64 - 49 = 15 (número da forma 4x + 3)

iv) 8² + 7² = 64 + 49 = 113 (número da forma 4x + 1)

v) 2 x 8 x 7 = 112

vi) Terno Pitagórico Primitivo 15 - 112 - 113

b) números 15 e 3

i) (15 + 3²) / 2 x 3 = 4

ii) (15 - 3²) / 2 x 3 = 1

iii) 4² - 1² = 16 - 1 = 15 (número da forma 4x + 3)

iv) 4² + 1² = 16 + 1 = 17 (número da forma 4x + 1)

v) 2 x 4 x 1 = 8

vi) Terno Pitagórico Primitivo 8 - 15 - 17

Autor: Ricardo Silva - dezembro/2025

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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