Imagine a seguinte situação, Caro Visitante: alguém, há milhares de anos atrás, realizando na areia de uma praia ou em um terreno plano, desenhos de triângulos retângulos e também quadrados nos lados desses triângulos e descobre que a área do quadrado do lado menor mais a área do quadrado do lado "intermediário" é igual a área do lado inclinado.
Hoje sabemos que estas importantes relações geométricas e métricas do triângulo retângulo é conhecida como Teorema de Pitágoras e que são representadas pelas seguintes fórmulas algébricas:
a2 = b2 + c2
e
b2 + c2 = a2
ou também,
a2 + b2 = c2
O presente estudo demonstra que é possível obter a medida da hipotenusa em triângulos retângulos, bem como, diagonal de retângulos, sem utilizar o Teorema de Pitágoras, como também, a decomposição em fatores primos para se saber a raiz quadrada do quadrado da hipotenusa.
O presente estudo também tem como referência análise realizadas no Teorema de Gou-gu (Teorema de Pitágoras Chinês).
Utilizando as Fórmulas de Euclides com números primos entre si e números não primos entre si, podem ser gerados sequencialmente ternos pitagóricos primitivos e derivados.
Escolhendo-se dois números naturais m>n e os substituindo nas Fórmulas de Euclides a seguir, encontramos o termos a, b e c do Teorema de Pitágoras e consequentemente o Terno Pitagórico.
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
onde:
m > n (m tem que ser maior que n).
m e n tem que ser primos entre si.
Observação Importante:
a) as Fórmulas de Euclides geram ternos pitagóricos derivados em progressão geométrica de razão 2, isto é, o dobro, do dobro, do dobro,... e assim sucessivamente a partir de um terno pitagórico primitivo.
b) as Fórmulas de Euclides não geram ternos derivados ímpares, conforme estudos publicados aqui no Website Os Fantásticos Números Primos, bem como, no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas.
A partir de um número ímpar igual ou maior que 3 é possível também de se gerarem ternos pitagóricos primitivos e seus derivados.
Exemplo com o número 3.
a) eleve 3 ao quadrado some 1 unidade e dividi-se por 2;
(32 + 1) / 2 = 5
b) eleve 3 ao quadrado subtraia 1 unidade e dividi-se por 2;
(32 - 1) / 2 = 4
c) terno pitagórico primitivo formado: 3 - 4 - 5
O Terno Pitágorico Primitivo 3-4-5 é o primeiro é unico terno pitagórico formado por números consecutivos.
Nos estudos publicados aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos, bem como, no livro no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas, ternos primitivos são denominados de Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular, isto porque, os ternos estão estritamente relacionados com as ordens / posições de números triangulares.
Todo terno pitagórico primitivo de ordem / posição triangular têm os seguintes padrões construtivos:
a) o segundo e terceiro termos são números consecutivos;
4 e 5
a) a soma do segundo e terceiro termo é o quadrado do primeiro termo;
4 + 5 = 9
c) o primeiro termo é a raiz quadrada da soma do segundo e terceiro termos;
√9 = 3
d) a soma dos 3 termos de um terno pitagórico primitivo de ordem / posição triangular tem como resultado um número retangular
3 + 4 + 5 = 12
12 é um número retangular.
3-4-5 é um terno de ordem / posição 1.
O primeiro termo 3 menos 1 unidade e dividido por 2 têm como quociente 1 que é a ordem / posição do terno.
( 3 - 1 ) / 2 = 1
A tabela a seguir apresenta os 19 primeiros ternos pitagóricos derivados do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular 3-4-5 e as seguintes propriedades numéricas:
| Tabela - 1 | ||||||||
| Terno Pitagórico Primitivo | ||||||||
| 3-4-5 | ||||||||
| de Ordem Triangular | ||||||||
| e derivados | ||||||||
| termos | A | B | C | D | F | |||
| a | b | c | ||||||
| ordem/ | cateto | cateto | hipo- | soma | produto | quociente | soma | diferença |
| posição | menor | maior | tenusa | termos | catetos | catetos | (hipo- | |
| tenusa) | ||||||||
| 1 | 3 | 4 | 5 | 12 | 12 | 12 | 7 | 5 |
| derivados | ||||||||
| 2 | 6 | 8 | 10 | 24 | 48 | 24 | 14 | 10 |
| 3 | 9 | 12 | 15 | 36 | 108 | 36 | 21 | 15 |
| 4 | 12 | 16 | 20 | 48 | 192 | 48 | 28 | 20 |
| 5 | 15 | 20 | 25 | 60 | 300 | 60 | 35 | 25 |
| 6 | 18 | 24 | 30 | 72 | 432 | 72 | 42 | 30 |
| 7 | 21 | 28 | 35 | 84 | 588 | 84 | 49 | 35 |
| 8 | 24 | 32 | 40 | 96 | 768 | 96 | 56 | 40 |
| 9 | 27 | 36 | 45 | 108 | 972 | 108 | 63 | 45 |
| 10 | 30 | 40 | 50 | 120 | 1200 | 120 | 70 | 50 |
| 11 | 33 | 44 | 55 | 132 | 1452 | 132 | 77 | 55 |
| 12 | 36 | 48 | 60 | 144 | 1728 | 144 | 84 | 60 |
| 13 | 39 | 52 | 65 | 156 | 2028 | 156 | 91 | 65 |
| 14 | 42 | 56 | 70 | 168 | 2352 | 168 | 98 | 70 |
| 15 | 45 | 60 | 75 | 180 | 2700 | 180 | 105 | 75 |
| 16 | 48 | 64 | 80 | 192 | 3072 | 192 | 112 | 80 |
| 17 | 51 | 68 | 85 | 204 | 3468 | 204 | 119 | 85 |
| 18 | 54 | 72 | 90 | 216 | 3888 | 216 | 126 | 90 |
| 19 | 57 | 76 | 95 | 228 | 4332 | 228 | 133 | 95 |
| 20 | 60 | 80 | 100 | 240 | 4800 | 240 | 140 | 100 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||||||
a) os ternos derivados foram gerados multiplicando o terno primitivo pela sequência de números naturais, formando progressões aritméticas;
Exemplo) terno derivado 6-8-10 - ordem / posição 2
3 x 2 = 6
4 x 2 = 8
5 x 2 = 10
b) fato importante a destacar é que a ordem / posição de cada terno derivado do terno 3-4-5 também é a diferença entre seus termos e que não acontece com dos demais ternos primitivos de ordem / posição triangular e seus ternos derivados;
O número (2) entre parenteses é a diferenças entre os termos e também suas posições.
6 (2) 8 (2) 10 - terno de posição 2
9 (3) 12 (3) 15 - terno de posição 3
12 (4) 16 (4) 20 - terrno de posição 4
c) o produto dos catetos (coluna B) dividida pela respectiva ordem / posição do terno tem como quociente a soma dos catetos e da hipotenusa (coluna A);
Exemplo 1) terno 3-4-5 - ordem / posição 1
i) 3 x 4 = 12
ii) 12 : 1 = 12
iii) 3 + 4 + 5 = 12
Exemplo 2) terno 6-8-10 - ordem / posição 2
i) 6 x 8 = 48
ii) 48 : 2 = 24
iii) 6 + 8 + 10 = 24
d) a diferença entre quociente (coluna C) (produto dos catetos dividido pela ordem / posição do terno) e a soma dos catetos (coluna D) tem com resultado a hipotenusa (coluna F).
Exemplo 1) terno 6-8-10 - ordem / posição 2
i) quociente (coluna C)
24
ii) soma dos catetos
6 + 8 = 14
iii) diferença entre o quociente e soma dos catetos é igual a hipotenusa
24 - 14 = 10
A partir dos catetos pode-se descobrir a hipotenusa sem utilizar o Teorema de Pitágoras e extrair a raiz quadrada.
Nos estudos e exemplos a seguir, os cálculos para se descobrir a hipotenusa estão condicionados estritamente a ordem / posição do terno pitagórico primitivo de ordem / posição triangular.
5-12-13 é um terno de ordem / posição 2.
O primeiro termo 5 menos 1 unidade e dividido por 2 têm como quociente 2 que é a ordem / posição do terno em relação aos ternos primitivos.
( 5 - 1 ) / 2 = 2
A tabela a seguir apresenta os 19 primeiros ternos pitagóricos derivados do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular 5-12-13 e as seguinte propriedades numéricas:
| Tabela - 2 | ||||||||
| Terno Pitagórico Primitivo | ||||||||
| 5-12-13 | ||||||||
| de Ordem Triangular | ||||||||
| e derivados | ||||||||
| termos | A | B | C | D | F | |||
| a | b | c | ||||||
| ordem/ | cateto | cateto | hipo- | soma | produto | quociente | soma | diferença |
| posição | menor | maior | tenusa | termos | catetos | catetos | (hipo- | |
| tenusa) | ||||||||
| 1(2)* | 5 | 12 | 13 | 30 | 60 | 30 | 17 | 13 |
| derivados | ||||||||
| 2 (4) | 10 | 24 | 26 | 60 | 240 | 60 | 34 | 26 |
| 3 (6) | 15 | 36 | 39 | 90 | 540 | 90 | 51 | 39 |
| 4 (8) | 20 | 48 | 52 | 120 | 960 | 120 | 68 | 52 |
| 5 (10) | 25 | 60 | 65 | 150 | 1500 | 150 | 85 | 65 |
| 6 (12) | 30 | 72 | 78 | 180 | 2160 | 180 | 102 | 78 |
| 7 (14) | 35 | 84 | 91 | 210 | 2940 | 210 | 119 | 91 |
| 8 (16) | 40 | 96 | 104 | 240 | 3840 | 240 | 136 | 104 |
| 9 (18) | 45 | 108 | 117 | 270 | 4860 | 270 | 153 | 117 |
| 10 (20) | 50 | 120 | 130 | 300 | 6000 | 300 | 170 | 130 |
| 11 (20) | 55 | 132 | 143 | 330 | 7260 | 330 | 187 | 143 |
| 12 (24) | 60 | 144 | 156 | 360 | 8640 | 360 | 204 | 156 |
| 13 (26) | 65 | 156 | 169 | 390 | 10140 | 390 | 221 | 169 |
| 14 (28) | 70 | 168 | 182 | 420 | 11760 | 420 | 238 | 182 |
| 15 (30) | 75 | 180 | 195 | 450 | 13500 | 450 | 255 | 195 |
| 16 (32) | 80 | 192 | 208 | 480 | 15360 | 480 | 272 | 208 |
| 17 (34) | 85 | 204 | 221 | 510 | 17340 | 510 | 289 | 221 |
| 18 (36) | 90 | 216 | 234 | 540 | 19440 | 540 | 306 | 234 |
| 19 (38) | 95 | 228 | 247 | 570 | 21660 | 570 | 323 | 247 |
| 20 (40) | 100 | 240 | 260 | 600 | 24000 | 600 | 340 | 260 |
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*os números entre parenteses são os dobros das posições.
a) os ternos derivados foram gerados multiplicando o terno primitivo pela sequência de números naturais;
Exemplo) terno derivado 10-24-26 - ordem / posição 2
5 x 2 = 10
12 x 2 = 24
13 x 2 = 26
b) fato importante a destacar é que a diferenças entre catetos maiores e menores do terno primitivo e derivados do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular 5-12-13 são as somas dos catetos menores e maiores do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular 3-4-5.
Veja acima, coluna D da Tabela - 1.
As diferenças são multiplos de 7.
| Tabela - 3 | ||||||||
| Terno Pitagórico Primitivo | ||||||||
| 5-12-13 | ||||||||
| de Ordem Triangular e Derivados | ||||||||
| Diferença | ||||||||
| a | b | c | ||||||
| cateto | diferença | cateto | diferença | hipotenusa | ||||
| menor | maior | |||||||
| 5 | ( | 7 | ) | 12 | ( | 1 | ) | 13 |
| 10 | ( | 14 | ) | 24 | ( | 2 | ) | 26 |
| 15 | ( | 21 | ) | 36 | ( | 3 | ) | 39 |
| 20 | ( | 28 | ) | 48 | ( | 4 | ) | 52 |
| 25 | ( | 35 | ) | 60 | ( | 5 | ) | 65 |
| 30 | ( | 42 | ) | 72 | ( | 6 | ) | 78 |
| 35 | ( | 49 | ) | 84 | ( | 7 | ) | 91 |
| 40 | ( | 56 | ) | 96 | ( | 8 | ) | 104 |
| 45 | ( | 63 | ) | 108 | ( | 9 | ) | 117 |
| 50 | ( | 70 | ) | 120 | ( | 10 | ) | 130 |
| 55 | ( | 77 | ) | 132 | ( | 11 | ) | 143 |
| 60 | ( | 84 | ) | 144 | ( | 12 | ) | 156 |
| 65 | ( | 91 | ) | 156 | ( | 13 | ) | 169 |
| 70 | ( | 98 | ) | 168 | ( | 14 | ) | 182 |
| 75 | ( | 105 | ) | 180 | ( | 15 | ) | 195 |
| 80 | ( | 112 | ) | 192 | ( | 16 | ) | 208 |
| 85 | ( | 119 | ) | 204 | ( | 17 | ) | 221 |
| 90 | ( | 126 | ) | 216 | ( | 18 | ) | 234 |
| 95 | ( | 133 | ) | 228 | ( | 19 | ) | 247 |
| 100 | ( | 140 | ) | 240 | ( | 20 | ) | 260 |
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c) o produto dos catetos (coluna B - Tabela-2) dividido pelo respectivo dobro da ordem / posição do terno tem como quociente a soma dos catetos e da hipotenusa (coluna A - Tabela-2);
Exemplo 1) terno 10-24-26 - ordem / posição 2
i) 10 x 24= 240
ii) 240 : (2 x 2) = 60
iii) 10 + 24 + 26 = 60
d) a diferença entre quociente (coluna C - Tabela-2) (produto dos catetos dividido pelo dobro da ordem / posição do terno) e a soma dos catetos (coluna D - Tabela-2) tem com resultado a hipotenusa (coluna F).
Exemplo 1) terno 10-24-26 - ordem / posição 2
i) quociente (coluna C - Tabela-2)
60
ii) soma dos catetos
10 + 24 = 34
iii) diferença entre o quociente e soma dos catetos é igual a hipotenusa
60 - 34 = 26
A partir dos catetos pode-se descobrir a hipotenusa sem utilizar o Teorema de Pitágoras e extrair a raiz quadrada.
Autor: Ricardo Silva - novembro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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