Números Triangulares são números que podem ser representados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de triângulos.
Números Triangulares apresentam diversas propriedades relacionadas a outras sequências numéricas famosas.
Entre outros métodos, há 2 métodos usuais de se obterem números triangulares:
1) soma de números naturais consecutivos;
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
2) o produto de 2 números consecutivos têm como resultado número retangular;
1 x 2 = 2
2 x 3 = 6
3 x 4 = 12
4 x 5 = 20
3) produto de 2 números consecutivos dividido por 2;
( 1 x 2 ) / 2 = 1
( 2 x 3 ) / 2 = 3
( 3 x 4 ) / 2 = 6
( 4 x 5 ) / 2 = 10
O presente estudo demonstram que a soma de 2 números quadrados de triangulares consecutivos têm como resultados números triangulares cujas ordens / posições são números quadrados perfeitos.
Observação importante:
a) número triangular quadrado perfeito é um número que é ao mesmo tempo número triangular e quadrado;
Exemplos: 36, 1225, 41.616, 1.413.721,...
Para mais informações veja:
011-estudos-443-numeros-triangulares-quadrados-perfeitos
b) nem todo número quadrado de triangular é um número triangular quadrado perfeito.
A tabela a seguir apresenta as 50 primeiras somas entre 2 números quadrados de triangulares consecutivos.
Na coluna G, a soma é um número triangular cuja ordem / posição é número quadrado perfeito.
Exemplos:
a) 4 é a ordem / posição do triangular 10;
b) 9 é a ordem / posição do triangular 45;
c) 16 é a ordem / posição do triangular 136.
| Números Quadrados de Triangulares | ||||||
| A | B | C | E | F | G | |
| conse | número | número | quadrado | quadrado | soma | |
| cutivos | retangular | triangular | de | de | ||
| triangular | triangular | (triangular) | ||||
| 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 9 | 10 |
| 2 | 3 | 6 | 3 | 9 | 36 | 45 |
| 3 | 4 | 12 | 6 | 36 | 100 | 136 |
| 4 | 5 | 20 | 10 | 100 | 225 | 325 |
| 5 | 6 | 30 | 15 | 225 | 441 | 666 |
| 6 | 7 | 42 | 21 | 441 | 784 | 1225 |
| 7 | 8 | 56 | 28 | 784 | 1296 | 2080 |
| 8 | 9 | 72 | 36 | 1296 | 2025 | 3321 |
| 9 | 10 | 90 | 45 | 2025 | 3025 | 5050 |
| 10 | 11 | 110 | 55 | 3025 | 4356 | 7381 |
| 11 | 12 | 132 | 66 | 4356 | 6084 | 10440 |
| 12 | 13 | 156 | 78 | 6084 | 8281 | 14365 |
| 13 | 14 | 182 | 91 | 8281 | 11025 | 19306 |
| 14 | 15 | 210 | 105 | 11025 | 14400 | 25425 |
| 15 | 16 | 240 | 120 | 14400 | 18496 | 32896 |
| 16 | 17 | 272 | 136 | 18496 | 23409 | 41905 |
| 17 | 18 | 306 | 153 | 23409 | 29241 | 52650 |
| 18 | 19 | 342 | 171 | 29241 | 36100 | 65341 |
| 19 | 20 | 380 | 190 | 36100 | 44100 | 80200 |
| 20 | 21 | 420 | 210 | 44100 | 53361 | 97461 |
| 21 | 22 | 462 | 231 | 53361 | 64009 | 117370 |
| 22 | 23 | 506 | 253 | 64009 | 76176 | 140185 |
| 23 | 24 | 552 | 276 | 76176 | 90000 | 166176 |
| 24 | 25 | 600 | 300 | 90000 | 105625 | 195625 |
| 25 | 26 | 650 | 325 | 105625 | 123201 | 228826 |
| 26 | 27 | 702 | 351 | 123201 | 142884 | 266085 |
| 27 | 28 | 756 | 378 | 142884 | 164836 | 307720 |
| 28 | 29 | 812 | 406 | 164836 | 189225 | 354061 |
| 29 | 30 | 870 | 435 | 189225 | 216225 | 405450 |
| 30 | 31 | 930 | 465 | 216225 | 246016 | 462241 |
| 31 | 32 | 992 | 496 | 246016 | 278784 | 524800 |
| 32 | 33 | 1056 | 528 | 278784 | 314721 | 593505 |
| 33 | 34 | 1122 | 561 | 314721 | 354025 | 668746 |
| 34 | 35 | 1190 | 595 | 354025 | 396900 | 750925 |
| 35 | 36 | 1260 | 630 | 396900 | 443556 | 840456 |
| 36 | 37 | 1332 | 666 | 443556 | 494209 | 937765 |
| 37 | 38 | 1406 | 703 | 494209 | 549081 | 1043290 |
| 38 | 39 | 1482 | 741 | 549081 | 608400 | 1157481 |
| 39 | 40 | 1560 | 780 | 608400 | 672400 | 1280800 |
| 40 | 41 | 1640 | 820 | 672400 | 741321 | 1413721 |
| 41 | 42 | 1722 | 861 | 741321 | 815409 | 1556730 |
| 42 | 43 | 1806 | 903 | 815409 | 894916 | 1710325 |
| 43 | 44 | 1892 | 946 | 894916 | 980100 | 1875016 |
| 44 | 45 | 1980 | 990 | 980100 | 1071225 | 2051325 |
| 45 | 46 | 2070 | 1035 | 1071225 | 1168561 | 2239786 |
| 46 | 47 | 2162 | 1081 | 1168561 | 1272384 | 2440945 |
| 47 | 48 | 2256 | 1128 | 1272384 | 1382976 | 2655360 |
| 48 | 49 | 2352 | 1176 | 1382976 | 1500625 | 2883601 |
| 49 | 50 | 2450 | 1225 | 1500625 | 1625625 | 3126250 |
| 50 | 51 | 2550 | 1275 | 1625625 | 0 | 1625625 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||||
Autor: Ricardo Silva - novembro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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