Gerar um número quadrado perfeito é uma tarefa relativamente fácil quando se trata de números naturais, bastando multiplicar tal número por ele mesmo, levando-se em conta a quantidade de algarismos desse número, faz-se o cálculo até mentalmente.
Extrair raiz quadrada de tal número não é tarefa fácil, as vezes, leva-se tempo e requer utilização de métodos e algoritmos apropriados, um dos métodos divulgados em livros escolares é o da decomposição em fatores primos de um dado número.
O presente estudo demonstra o AERQ-1 - Algoritmo de Extração de Raiz Quadrada - 1 que tem como base decomposições um número como soma de 2 números consecutivos e como produto de 2 números consecutivos.
O algoritmo demonstra várias relações entre sequências de números quadrados, retangulares e triangulares na extração de raiz quadrada, como também, na geração de números da forma 4x + 1 que podem ser escritos como soma de 2 quadrados.
| AERQ-1 | ||||||
| Algoritmo de Extração | ||||||
| de Raiz Quadrada | ||||||
| Número 9 | ||||||
| i | 9 | quadrado | ||||
| . | ||||||
| ii | 4 | + | 5 | = | 9 | consecutivos |
| . | ||||||
| iii | 2 | + | 3 | = | 5 | consecutivos |
| . | ||||||
| iv | 1 | x | 2 | = | 2 | consecutivos |
| . | ||||||
| v | 1 | x | 1 | = | 1 | |
| . | ||||||
| vi | 2 | x | 2 | = | 4 | |
| . | ||||||
| vii | 1 | + | 4 | = | 5 | |
| . | ||||||
| viii | 1 | + | 2 | = | 3 | raiz quadrada |
| www.osfantasticosnúmerosprimos | ||||||
i) qual a raiz quadrada de 9?
ii) escreve-se 9 como soma de 2 números consecutivos;
( 9 - 1 ) / 2 = 4
( 9 + 1 ) / 2 = 5
4 + 5 = 9
iii) escreve-se a parcela 5 como soma de 2 números consecutivos;
( 5 - 1 ) / 2 = 2
( 5 + 1 ) / 2 = 3
2 + 3 = 5
Observação importante: o número 2 é um número retangular.
iv) escreve-se o número 2 como produto de 2 números consecutivos;
Nesta etapa extrai-se a raiz quadrada de 2 e pega-se a parte inteira 1.
√2 = 1,4142....
1 x 2 (consecutivo da raiz de 2) = 2
a etapas v) , vi) e vii) serão explicadas posteriormente.
viii) soma-se os fatores 1 e 2;
1 + 2 = 3
3 é raiz quadrada de 9.
| AERQ-1 | ||||||
| Algoritmo de Extração | ||||||
| de Raiz Quadrada | ||||||
| Número 9 | ||||||
| i | 25 | quadrado | ||||
| . | ||||||
| ii | 12 | + | 13 | = | 25 | consecutivos |
| . | ||||||
| iii | 6 | + | 6 | = | 13 | consecutivos |
| . | ||||||
| iv | 2 | x | 3 | = | 6 | consecutivos |
| . | ||||||
| v | 2 | x | 2 | = | 4 | |
| . | ||||||
| vi | 3 | x | 3 | = | 9 | |
| . | ||||||
| vii | 4 | + | 9 | = | 13 | |
| . | ||||||
| viii | 2 | + | 3 | = | 5 | raiz quadrada |
| www.osfantasticosnúmerosprimos | ||||||
i) qual a raiz quadrada de 25?
ii) escreve-se 25 como soma de 2 números consecutivos;
( 25 - 1 ) / 2 = 12
( 25 + 1 ) / 2 = 13
4 + 5 = 9
iii) escreve-se a parcela 13 como soma de 2 números consecutivos;
( 13 - 1 ) / 2 = 6
( 13 + 1 ) / 2 = 7
6 + 7 = 13
Observação importante: o número 6 é um número retangular.
iv) escreve-se o número 6 como produto de 2 números consecutivos;
Nesta etapa extrai-se a raiz quadrada de 6 e pega-se a parte inteira 2.
√6 = 2,44...
2 x 3 (consecutivo da raiz de 6) = 6
a etapas v) , vi) e vii) serão explicadas posteriormente.
viii) soma-se os fatores 2 e 3;
2 + 3 = 5
5 é raiz quadrada de 25.
Números da forma 4x + 1, são números que podem ser escritos como soma de 2 quadrados.
Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas!
| AERQ-1 | ||||||
| Número 5 | ||||||
| como soma de 2 quadrados | ||||||
| i | 9 | quadrado | ||||
| . | ||||||
| ii | 4 | + | 5 | = | 9 | consecutivos |
| . | ||||||
| iii | 2 | + | 3 | = | 5 | consecutivos |
| . | ||||||
| iv | 1 | x | 2 | = | 2 | consecutivos |
| . | ||||||
| v | 1 | x | 1 | = | 1 | |
| . | ||||||
| vi | 2 | x | 2 | = | 4 | |
| . | ||||||
| vii | 1 | + | 4 | = | 5 | |
| . | ||||||
| viii | 1 | + | 2 | = | 3 | raiz quadrada |
| www.osfantasticosnúmerosprimos | ||||||
v) multiplica-se o fator 1 por ele mesmo;
vi) multiplica-se o fator 2 por ele mesmo;
vii) soma-se os produtos (quadrados 1 e 4);
1 + 4 = 5
O número 5 pode ser escrito com a soma dos quadrados 1 e 4.
O número 5 é um número da forma 4x + 1.
| AERQ-1 | ||||||
| Número 9 | ||||||
| como soma de 2 quadrados | ||||||
| i | 25 | quadrado | ||||
| . | ||||||
| ii | 12 | + | 13 | = | 25 | consecutivos |
| . | ||||||
| iii | 6 | + | 6 | = | 13 | consecutivos |
| . | ||||||
| iv | 2 | x | 3 | = | 6 | consecutivos |
| . | ||||||
| v | 2 | x | 2 | = | 4 | |
| . | ||||||
| vi | 3 | x | 3 | = | 9 | |
| . | ||||||
| vii | 4 | + | 9 | = | 13 | |
| . | ||||||
| viii | 2 | + | 3 | = | 5 | raiz quadrada |
| www.osfantasticosnúmerosprimos | ||||||
v) multiplica-se o fator 2 por ele mesmo;
vi) multiplica-se o fator 3 por ele mesmo;
vii) soma-se os produtos (quadrados 4 e 9);
4 + 9 = 13
O número 13 pode ser escrito com a soma dos quadrados 4 e 9.
O número 13 é um número da forma 4x + 1.
Autores: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - setembro /2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
