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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Método de Fatoração de Fermat - 566

Número Quadrado Perfeito é um número inteiro que é produto de um número multiplicado por ele mesmo e quando extraída a sua raiz quadrada, o resultado é também um número inteiro.

Números quadrados perfeitos apresentam diversas propriedades matemáticas e relações com sequências numéricas famosas.

Uma de suas propriedades é que a diferença entre quadrados consecutivos têm como resultados números ímpares e, entre eles, números primos.

Pierre de Fermat (1601-1665), magistrado, entusiasta matemático e cientista francês, nos deixou um grande legado de teorias e estudos matemáticos e, entre seus trabalhos, se encontra o método de fatoração que leva o seu nome: Metódo de Fatoração de Fermat (diferença de quadrados) que é objeto de análise neste estudo.

Método de Fatoração de Fermat

Método de Fatoração de Fermat extraído do Google

Exemplo com o número 119 extraído e adaptado do Google Chrome (visão geral criada por Inteligência Artificial)

"O método de fatoração de Fermat é uma técnica para fatores inteiros, que se baseia na ideia de representar um número ímpar como a diferença de dois quadrados. Se for possível encontrar dois quadrados cujas diferenças resultem no número a ser fatorado, então este método encontra a fatoração do mesmo."

Número escolhido 119 é semiprimo

1) extraia a raiz quadrada do número escolhido;

√ 119 = 10,908...

2) a raiz quadrada não é exata, então aumente em 1 unidade a parte inteira da raiz e eleve-a ao quadrado;

112 = 121

3) efetue a diferença do quadrado com o número escolhido;

121 - 119 = 2

2 não é um quadrado perfeito.

4) aumente a raiz 11 em 1 unidade e eleve-a ao quadrado;

122 = 144

5) efetue a diferença do quadrado com o número escolhido;

144 - 119 = 25

25 é um quadrado perfeito

6) fatore 122 e 52 como a diferença de 2 quadrados;

122 - 52 = ( 12 + 5 ) x ( 12 - 5 ) = 17 x 7

7) o número 119 é um número semiprimo (produto de 2 números primos)

7 x 17 = 119

O Google, por meio da Inteligência Artificial, expõe o seguinte argumento:

"Limitações:

O método de Fermat é mais eficiente quando a diferença entre os fatores é pequena. Quando os fatores são muitos diferentes, o método se torna lento, Além disso, ele funciona melhor com números ímpares, pois a representação como diferença de dois quadrados é mais fácil para números ímpares."

Análise da Fatoração de Fermat com números ímpares

No exemplo acima, com o número 119, precisou-se fazer 2 cálculos para se chegar a raiz 12 e ao seu quadrado 144 e de forma semelhante com os números 143 e 135 abaixo.

Com os números: 95, 63, 23 precisaram-se de mais de 2 etapas: 3, 4, 8, respectivamente.

Porque que este fato acontece?

Para responder a este questionamento, veja a tabela 1 abaixo, Número Quadrado 144 e diferenças.

número 143 - é semiprimo

1) √ 143 = 11,958...

2) 11,958... a raiz não é exata, acrescente 1 unidade a parte inteira da raiz;

3) 122 = 144

4) 144 - 143 = 1

5) 122 e 12

122 - 12 = ( 12 + 1 ) x ( 12 - 1 ) = 13 x 11

13 é primo

11 é primo

número 135 - não é semiprimo

1) √ 135 = 11,618...

2) 11,618... a raiz não é exata, acrescente 1 unidade a parte inteira da raiz;

3) 122 = 144

4) 144 - 135 = 9

5) 122 e 32

122 - 92 = ( 12 + 3 ) x ( 12 - 3 ) = 15 x 9

15 é composto

9 é composto

número 95 - é semiprimo

1) √ 95 = 9,746...

2) 9,746... a raiz não é exata, acrescente 1 unidade a parte inteira da raiz;

9 + 1 = 102 = 100 - não serve

10 + 1 = 112 = 121 - não serve

11 + 1 = 122 = 144 - ok

3) 122 = 144

4) 144 - 95 = 49

5) 122 e 72

122 - 72 = ( 12 + 7 ) x ( 12 - 7 ) = 19 x 5

5 é primo

19 é primo

número 63 - não é semprimo

1) √ 63 = 7,937...

2) 7,937... a raiz não é exata, acrescente 1 unidade a parte inteira da raiz;

8 + 1 = 92 = 81 - não serve

9 + 1 = 102 = 100 - não serve

10 + 1 = 112 = 121 - não serve

11 + 1 = 122 = 144 - ok

3) 122 = 144

4) 144 - 63 = 81

5) 122 e 92

122 - 92 = ( 12 + 9 ) x ( 12 - 9 ) = 21 x 3

21 é composto

3 é primo

número 23

1) √ 23 = 4,795...

2) 4,795...... a raiz não é exata, acrescente 1 unidade a parte inteira da raiz;

4 + 1 = 5

52 = 25 não serve

62 = 36 não serve

72 = 49 não serve

82 = 64 não serve

92 = 81 - não serve

102 = 100 - não serve

112 = 121 - não serve

122 = 144 - ok

3) 122 = 144

4) 144 - 23 = 121

5) 122 e 112

122 - 112 = ( 12 + 11 ) x ( 12 - 11 ) = 23 x 1

23 é um número primo

Aqui há outras propriedades relacionadas a quadrados perfeitos, vejamos:

a) diferença entre dois quadrados consecutivos é um número ímpar;

b) a soma das raízes 11 e 12 é 23;

c) 23 + 1 = 24 e 24 : 2 = 12

d) 23 - 1 = 22 e 22 : 2 = 11

e) os fatores 1 e 23 são também os 2 únicos divisores do 23;

f) as raízes 11 e 12, bem como, seus respectivos quadrados aparecerem explicitamente nos cálculos.

g) outro fato interessante é que na tabela Número Quadrado Perfeito 144 e diferenças, os quadrados 144 e 121 aparecem alinhados (quadrados consecutivos), formando uma dupla numérica perfeita.

144 119 25
144 120 24
11 144 121 23 primo ímpar
144 122 22
144 123 21

Número Quadrado Perfeito 144 e diferenças

A tabela a seguir apresenta as diferenças entre o número quadrado perfeito 144 e a sequência de números de 1 a 144, na qual se extraem as seguintes regularidades numéricas que fundamenta o Método de Fatoração de Fermat:

a) número quadrado perfeito 144 menos um outro quadrado perfeito e até ele próprio tem com resultado número que pode ser primo, semiprimo ímpar, semiprimo par, bem como, número composto ou número quadrado perfeito;

b) quando o minuendo é um número quadrado perfeito ímpar a diferença é impar;

c) quando o minuendo é um número quadrado perfeito par a diferença é par;

d) considerando somente os minuendos quadrados perfeitos, eles aparecem sequencialmente nas operações de subtrações.

Conforme-se constata na estrutura da tabela, escolhendo-se qualquer quadrado perfeito e subtraindo-se quadrados sequencialmente de 1 até o quadrado escolhido (células laranjas), a diferença de 2 quadrado pode ser fatorada e se saber que tipo de número é esta diferença.

Conforme se observa também, a quantidade de números que não podem ser a diferença de 2 quadrados é quase a totalidade.

Tabela 1
Número Quadrado Perfeito 144
e diferenças
 
ordem / quadrado quadrado
posição subtraendo minuendo diferença
 
1 144 1 143 semiprimo ímpar
144 2 142
144 3 141
2 144 4 140 composto par
144 5 139
144 6 138
144 7 137
144 8 136
3 144 9 135 composto ímpar
144 10 134
144 11 133
144 12 132
144 13 131
144 14 130
144 15 129
4 144 16 128 composto par
144 17 127
144 18 126
144 19 125
144 20 124
144 21 123
144 22 122
144 23 121
144 24 120
5 144 25 119 semiprimo ímpar
144 26 118
144 27 117
144 28 116
144 29 115
144 30 114
144 31 113
144 32 112
144 33 111
144 34 110
144 35 109
6 144 36 108 composto par
144 37 107
144 38 106
144 39 105
144 40 104
144 41 103
144 42 102
144 43 101
144 44 100
144 45 99
144 46 98
144 47 97
144 48 96
7 144 49 95 semiprimo ímpar
144 50 94
144 51 93
144 52 92
144 53 91
144 54 90
144 55 89
144 56 88
144 57 87
144 58 86
144 59 85
144 60 84
144 61 83
144 62 82
144 63 81
8 144 64 80 composto par
144 65 79
144 66 78
144 67 77
144 68 76
144 69 75
144 70 74
144 71 73
144 72 72
144 73 71
144 74 70
144 75 69
144 76 68
144 77 67
144 78 66
144 79 65
144 80 64
9 144 81 63 composto ímpar
144 82 62
144 83 61
144 84 60
144 85 59
144 86 58
144 87 57
144 88 56
144 89 55
144 90 54
144 91 53
144 92 52
144 93 51
144 94 50
144 95 49
144 96 48
144 97 47
144 98 46
144 99 45
10 144 100 44 composto par
144 101 43
144 102 42
144 103 41
144 104 40
144 105 39
144 106 38
144 107 37
144 108 36
144 109 35
144 110 34
144 111 33
144 112 32
144 113 31
144 114 30
144 115 29
144 116 28
144 117 27
144 118 26
144 119 25
144 120 24
11 144 121 23 primo ímpar
144 122 22
144 123 21
144 124 20
144 125 19
144 126 18
144 127 17
144 128 16
144 129 15
144 130 14
144 131 13
144 132 12
144 133 11
144 134 10
144 135 9
144 136 8
144 137 7
144 138 6
144 139 5
144 140 4
144 141 3
144 142 2
  144 143 1 quadrado ímpar
12 144 144 0 quadrado par
 
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Tabela sintética de diferenças de quadrados

A tabela a seguir apresenta as diferenças entre o quadrado perfeito 144 e os quadrados perfeito de 1 a 144.

Conforme se observa é uma tabela muito mais sintética e com todas as propriedades demonstradas na tabela 1 acima.

Outro detalhe interessante é que as quantidades de linhas correpondem a raiz quadrada de 144 que é 12+1.

Tabela 2
Número Quadrado Perfeito 144
e diferenças
 
ordem / quadrado quadrado
posição subtraendo minuendo diferença
 
1 144 1 143 semiprimo ímpar
2 144 4 140 composto par
3 144 9 135 composto ímpar
4 144 16 128 composto par
5 144 25 119 semiprimo ímpar
6 144 36 108 composto par
7 144 49 95 semiprimo ímpar
8 144 64 80 composto par
9 144 81 63 composto ímpar
10 144 100 44 composto par
11 144 121 23 primo ímpar
  144 143 1 quadrado ímpar
12 144 144 0 quadrado par
 
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As diferenças entre os quadrados vão decrescendo a partir de 143 com a soma de duas raizes dos quadrados dos minuendos, isto é, vão decrescendo em quantidades de números ímpares.

143 - ( 1 + 2 ) = 140

140 - ( 2 + 3 ) = 135

135 - ( 3 + 4) = 128

128 - ( 4 + 5) = 119

...

Método Variante 2 de Fatoração de Fermat

Partindo-se do exemplo 119 cuja raiz é 10,90... e chegou-se a raiz 12 do quadrado 144, bastando subtrair sucessivamente do quadrado 144 a sequência de números ímpares e constatar que 119 é a diferença entre o quadrado 144 e outro quadrado, neste caso, o quadrado 9.

122 = 144

1) 144 - 1 = 143

2) 143 - 3 = 140

3) 140 - 5 = 135

4) 140 - 7 = 128

5) 128 - 9 = 119

A diferença 119 se encontra na quinta operação de subtração.

52 = 25

então:

122 = 144

52 = 25

Efetuando o produto notável de uma soma por uma diferença,

( 12 + 5 ) x ( 12 - 5 ) = 17 x 7

17 x 7 = 119

Interessante observar que o número 119 faz parte de um terno pitagórico raro, isto é, o terceiro terno pitagórico raro cujos 2 primeiros termos são números consecutivos: 119-120-169

1192 + 1202 = 1692

14.161 + 14.400 = 28.561

Número quadrado 144 e soma de quadrados

Somando-se o quadrado 144 e números quadrados perfeitos de 1 a 144, obtêm-se 2 grupos de trincas números quadrados perfeitos que fazem partes de ternos pitagóricos.

a) terno pitagórico 5-12-13;

52 + 122 = 132

25 + 144 = 169

b) terno pitagórico derivado 9-12-15;

92 + 122 = 152

81 + 144 = 225

Tabela 3
Número Quadrado Perfeito 144
e somas
     
ordem / quadrado quadrado
posição subtraendo minuendo diferença
 
1 144 1 145  
2 144 4 148  
3 144 9 153  
4 144 16 160  
5 144 25 169 quadrado
6 144 36 180  
7 144 49 193  
8 144 64 208  
9 144 81 225 quadrado
10 144 100 244  
11 144 121 265  
12 144 144 288  
 
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Fatoração de Fermat com números pares

Interessante observar que as somas dos dois fatores de cada um dos números não semiprimos é 24.

24 é o produto do número 4 pelo triangular 6.

número 140 - não é semiprimo

1) √ 140 = 11,832...

2) 11,832... a raiz não é exata, acrescente 1 unidade a parte inteira da raiz;

3) 122 = 144 ok

4) 144 - 140 = 4

5) 122 e 22

122 - 22 = ( 12 + 2 ) x ( 12 - 2 ) = 14 x 10

14 é composto

10 é composto

Soma dos fatores é 24.

número 128 - não é semiprimo

1) √ 128 = 11,313...

2) 11,313... a raiz não é exata, acrescente 1 unidade a parte inteira da raiz;

3) 122 = 144

4) 144 - 128 = 16

5) 122 e 42

122 - 42 = ( 12 + 4 ) x ( 12 - 4 ) = 16 x 8

16 é composto

8 é composto

Soma dos fatores é 24.

número 108 - não é semiprimo

1) √ 108 = 10,392...

2) 10,392... a raiz não é exata, acrescente 1 unidade a parte inteira da raiz;

112 = 121 não serve

11 + 1 = 122 ok

3) 122 = 144

4) 144 - 108 = 36

5) 122 e 62

122 - 62 = ( 12 + 6 ) x ( 12 - 6 ) = 18 x 6

18 é composto

6 é composto

Soma dos fatores é 24.

número 80 - não é semiprimo

1) √ 80 = 8,944...

2) 8,944... a raiz não é exata, acrescente 1 unidade a parte inteira da raiz;

92 = 81 não serve

9 + 1 = 102 = 100 não serve

10 + 1 = 112 = 121 não serve

11 + 1 = 122 ok

3) 122 = 144

4) 144 - 80 = 64

5) 122 e 82

122 - 82 = ( 12 + 8 ) x ( 12 - 8 ) = 20 x 4

20 é composto

4 é composto

Soma dos fatores é 24.

Autor: Ricardo Silva - maio/2025

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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