Saber se um número é ímpar ou par é uma coisa que aprendemos naturalmente, pois estamos rodeados por números, quando criança brincamos e jogamos quase o tempo inteiro fazendo uso de números; como a bricandeira do par ou ímpar com os dedos das mãos, jogo de bafo (figurinhas), amarelinha, jogos de tabuleiro, jogos de cartas, etc.
Na sequência de números naturais, além de um número ser par ou ímpar, há também outros diversos tipos de números com características próprias, digo, outras sequências de números naturais que compartilham propriedades semelhantes.
Para se saber essas características, bem como, essas propriedades de determinado número, podemos utilizar o Algoritmo de Decomposição em Fatores Primos.
O algoritmo de decomposição de um número natural em fatores primos é um importante método com o qual é possível saber: os divisores e a quantidade de divisores de um número natural, se é primo ou composto, bem como, extrair a raiz quadrada, cúbica, etc. e ainda saber o mmc (mínimo mútiplo comum) e mdc (máximo divisor comum) de dois ou mais números.
O presente estudo demonstra o Método de Fatoração de Fermat, bem como, variantes de seu método com os quais também são possíveis de saberem fatores primos, bem como, divisores de um determinado número.
O presente estudo também demonstra o Método de Números Atraentes.
Divide-se o número, exemplo 60, sucessivamente por números primos até se ter como resultado quociente 1.
| Fatores | divisores | ||||||
| Primos | |||||||
| 1 | |||||||
| 60 | 2 | 2 | |||||
| 30 | 2 | 4 | |||||
| 15 | 3 | 3 | 6 | 12 | |||
| 5 | 5 | 5 | 10 | 20 | 15 | 30 | 60 |
| 1 | |||||||
a) Divisores
D (60): {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Observação: os divisores equidistantes formam pares multiplicativos.
1 x 60 = 60
2 x 30 = 60 e assim por diante.
b) Fatores primos
60 = 2 x 2 x 3 x 5
60 = 2² x 3¹ x 5¹
c) Quantidade de divisores
Separe os expoentes e some 1 a cada um deles:
( 2 + 1 ) x ( 1+1 ) x ( 1+1 ) =
= 3 x 2 x 2
= 12
60 tem 12 divisores.
Pierre de Fermat (1601-1665), magistrado, entusiasta matemático e cientista francês, nos deixou um grande legado de teorias e estudos matemáticos e, entre seus trabalhos, se encontra o método de fatoração que leva o seu nome: Metódo de Fatoração de Fermat (diferença de quadrados).
"Em 1643, Mersenne enviou a Fermat o desafio de fatorar o número 100.895.598.169, uma tarefa bastante árdua, se levarmos em consideração os recursos então disponíveis para a execução rápida de cálculos. Fermat resolveu o problema utilizando um método sistemático, baseado na procura de números x e y tais que:
N = x2 - y2 = ( x + y ) . ( x - y )
sendo N o número a ser fatorado.
Como veremos adiante, essa identidade leva a um algoritmo que, apesar de ainda envolver cálculos trabalhosos, simplificou suficientemente o problema para permitir a Fermat vencer o desafio."[1]
O método parte-se do fato de que todo número ímpar é a diferença entre 2 números quadrados perfeitos.
O Método de Fatoração de Fermat consiste em escolher um número aleatório, extrair a raiz quadrada, sendo esta raiz não exata, vai se testando com raízes maiores, incrementando 1 unidade até ser encontrado um quadrado perfeito.
1) extraia a raiz quadrada do número escolhido;
√ 119 = 10,908...
2) a raiz quadrada não é exata, então aumente em 1 unidade a parte inteira da raiz e eleve-a ao quadrado;
112 = 121
3) efetue a diferença do quadrado com o número escolhido;
121 - 119 = 2
2 não é um quadrado perfeito.
4) aumente a raiz 11 em 1 unidade e eleve-a ao quadrado;
122 = 144
5) efetue a diferença do quadrado com o número escolhido;
144 - 119 = 25
25 é um quadrado perfeito
6) fatore 122 e 52 como a diferença de 2 quadrados;
122 - 52 = ( 12 + 5 ) x ( 12 - 5 ) = 17 x 7
7) o número 119 é um número semiprimo ( produto de 2 números primos )
7 x 17 = 119
* Exemplo com o número 119 extraído e adaptado do Google Chrome (visão geral criada por Inteligência Artificial)
Método extraído do livro Teoria dos Números de Edgard de Alencar Filho [2]
"Dado um número inteiro positivo ímpar n, a decomposição de n num produto de dois fatores distintos se pode obter pelo seguinte método devido a Fermat.
Constrói-se uma tabela com ( n -1 ) / 2 linhas, obtidas pela adição sucessiva de inteiros ímpares consecutivos a n. Se na r-ésima linha aparece o quadrado perfeito t2, então n = ( t + r ) . ( t - r ).
Assim, p. ex., com n = 21, temos a seguinte tabela de ( 21 - 1 ) / 2 = 10 linhas:
| 1 | 21 | + | 1 | = | 22 | |||
| 2 | 22 | + | 3 | = | 25 | = | 52 | |
| 3 | 25 | + | 5 | = | 30 | |||
| 4 | 30 | + | 7 | = | 37 | |||
| 5 | 37 | + | 9 | = | 46 | |||
| 6 | 46 | + | 11 | = | 57 | |||
| 7 | 57 | + | 13 | = | 70 | |||
| 8 | 70 | + | 15 | = | 85 | |||
| 9 | 85 | + | 17 | = | 102 | |||
| 10 | 102 | + | 12 | = | 121 | = | 112 |
Na segunda linha figura 52 e na décima linha figura 112, de modo que temos:
21 = ( 5 + 2 ) . ( 5 - 2 ) = 7 x 3
21 = ( 11 + 10 ) . ( 11 - 10 ) = 21 x 1
São estas as duas únicas maneiras de decompor o inteiro positivo ímpar 21 num produto de dois fatores distintos, pois todas as outras são variações triviais destas, tais como
21 = 3 x 7 = (-7) . (-3)"
Partindo-se do exemplo 119 cuja raiz é 10,90..., chegou-se a raiz 12 do quadrado 144, bastando subtrair sucessivamente do quadrado 144 a sequência de números ímpares e constatar se 119 é a diferença entre o quadrado 144 e quadrado 9.
122 = 144
1) 144 - 1 = 143
2) 143 - 3 = 140
3) 140 - 5 = 135
4) 140 - 7 = 128
5) 128 - 9 = 119
A diferença 119 foi encontrada na quinta operação.
52 = 25
( 12 + 5 ) x ( 12 - 5 ) = 17 x 7
O número 119 é um número semiprimo.
Número semiprimo é produto de 2 números ímpares distintos.
17 x 7 = 119
Para mais informações e detalhes sobre este método, veja o estudo:
011-estudos-566-metodo-fatoracao-de-fermat
O Método Números Atraentes é originado de estudos de adições sucessivas e subtrações sucessivas.
O Método Números Atraentes também possibilita se saber se um número é primo ou composto, bem como, saber os divisores desse número.
O método consite em emparelhar números de 1 a ao número escolhido, no exemplo 21, na coluna 1 e os números de 22 até o dobro de 21 na coluna 2.
Os números da coluna 2 que dividem os números da coluna 1, são números atraentes.
Os números destacados da coluna 1 são dos divisores de 21: 1, 3, 7, 21.
Os demais quocientes são todos números decimais.
| Número 21 | ||
| e Números Atraentes | ||
| Coluna 1 | Coluna 2 | divisão |
| (quociente) | ||
| 1 | 22 | 22 |
| 2 | 23 | 11,5 |
| 3 | 24 | 8 |
| 4 | 25 | 6,25 |
| 5 | 26 | 5,2 |
| 6 | 27 | 4,5 |
| 7 | 28 | 4 |
| 8 | 29 | 3,625 |
| 9 | 30 | 3,333333 |
| 10 | 31 | 3,1 |
| 11 | 32 | 2,909091 |
| 12 | 33 | 2,75 |
| 13 | 34 | 2,615385 |
| 14 | 35 | 2,5 |
| 15 | 36 | 2,4 |
| 16 | 37 | 2,3125 |
| 17 | 38 | 2,235294 |
| 18 | 39 | 2,166667 |
| 19 | 40 | 2,105263 |
| 20 | 41 | 2,05 |
| 21 | 42 | 2 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||
Partindo-se do fato que nenhum número tem divisor maior que a sua metade, a tabela pode ser mais sintética, isto é, tendo menor quantidade de linhas, a metade do antecessor ou do sucessor do número escolhido.
| Número 21 | ||
| e Números Atraentes | ||
| Coluna 1 | Coluna 2 | divisão |
| (quociente) | ||
| 1 | 22 | 22 |
| 2 | 23 | 11,5 |
| 3 | 24 | 8 |
| 4 | 25 | 6,25 |
| 5 | 26 | 5,2 |
| 6 | 27 | 4,5 |
| 7 | 28 | 4 |
| 8 | 29 | 3,625 |
| 9 | 30 | 3,333333 |
| 10 | 31 | 3,1 |
| ... | ... | ... |
| 21 | 42 | 2 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||
Para mais informações e detalhes sobre este método, veja o estudo:
011-estudos-403-numeros-primos-e-numeros-atraentes
011-estudos-404-divisores-fatores-primos-e-metodo-numeros-atraentes
Autor: Ricardo Silva - maio/2025
[2] FILHO, Edgard de Alencar, 1913 - . Teoria dos Números / Edgard de Alencar Filho. -- São Paulo: Nobel, 1981
[1] SAMPAIO, Fausto Arnaud. Usando Ábacos para Fatoração. RMP 53. disponível em https:
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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