O presente estudo demonstra que o produto de 2 números naturais, sejam aleatórios ou não, pelo produto dos quocientes destes têm como resultados números quadrados perfeitos cujas raízes são os próprios fatores desse produto.
Escolhendo-se 2 números consecutivos, obtêm-se as seguintes propriedades:
a) a soma dos termos
1 + 2 = 3
b) O produto de cada parcela pela soma
1 x 3 = 3
2 x 3 = 6
3 e 6 são números triangulares consecutivos
c) A soma dos produtos
3 + 6 = 9
9 é um quadrado perfeito e a sua raiz quadrada é 3.
3 é a soma da sequência: 1 e 2
Os divisores de números compostos formam pares multiplicativos.
D(6): {1, 2, 3, 6}
4 divisores
1 e 6 é um par multiplicativo
2 e 3 é um par multiplicativo
O quociente entre um divisor menor e um divisor maior de 6 multiplicado pelo próprio 6 têm como resultado um número quadrado perfeito do divisor menor.
| Número 6 | ||||||||
| Quocientes entre | ||||||||
| Pares de Divisores | ||||||||
| divisor | divisor | quociente | número | quadrado | ||||
| menor | maior | 6 | ||||||
| 1 | : | 6 | = | 0,0167 | x | 6 | = | 1 |
| 2 | : | 3 | = | 0,0667 | x | 6 | = | 4 |
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O quociente entre um divisor maior e um divisor menor de 6 multiplicado pelo próprio 6 têm como resultado um número quadrado perfeito do divisor maior.
| Número 6 | ||||||||
| Quocientes entre | ||||||||
| Pares de Divisores | ||||||||
| divisor | divisor | quociente | número | quadrado | ||||
| menor | maior | 6 | ||||||
| 6 | : | 1 | = | 6 | x | 6 | = | 36 |
| 3 | : | 2 | = | 1,5 | x | 6 | = | 9 |
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A mesma propriedade verificada com divisores de números compostos, acontece com números naturais aleatórios.
a) quocientes entre os números 3 e 7 e vice-versa;
3 : 7 = 0,428571
7 : 3 = 2,333 3
b) produto dos números 3 e 7;
3 x 7 = 21
c) o produto 21 multiplicado por cada quociente têm como resultados números quadrados perfeitos cujas raízes são os fatores do número 21;
21 x 0,428571
21 x 2,333 3
d) o produto da dízimas
0,428571
a) quocientes entre os números 8 e 14 e vice-versa;
8 : 14 = 0,571428571
14 : 8 = 1,75
b) produto dos números 8 e 14;
8 x 14 = 112
c) o produto 112 multiplicado por cada quociente têm como resultados números quadrados perfeitos cujas raízes são os fatores do número 112;
112 x 0,571428
112 x 1,75 = 196
d) o produto da dízimas
0,571428
Partindo-se dos exemplos acima, deduz-se as seguintes fórmulas:
| a | ||||
| ( a x b ) | x | (--------) | = | a^2 |
| b |
| b | ||||
| ( b x a ) | x | (--------) | = | b^2 |
| a |
A fração geratriz 1/7 gera a seguinte dízima periódica simples cujo período é 1 unidade menor que o denominador 7.
| 1 | ||
| --- | = | 0,142857 142857 142857 142857 142857 |
| 7 |
Período: 142 857 (6 algarismos)
O período 142 857 ao ser múltiplicado por números naturais de 2 a 6 tem como produto o próprio período mas com os algarismos permutados, daí dizermos que o número 142857 é um número cíclico.
| 2 | x | 142857 | = | 285714 |
| 3 | x | 142857 | = | 428571 |
| 4 | x | 142857 | = | 571428 |
| 5 | x | 142857 | = | 714285 |
| 6 | x | 142857 | = | 857142 |
Assim como a fração 1/7, há diversas outras frações cujos denominadores são primos e a quantidade de algarismos do período da dízima corresponde a p-1 algarismos, isto é, número primo menos 1 unidade.
Outra propriedade, esta observada pelo Entusiasta Matemático e Colaborador do WebSite Os Fantásticos Números Primos Ari Costa, é que a partir de uma fração unitária, neste exemplo, partindo-se da fração 1/7 e permutando-se os numeradores com números naturais, obtêm-se outras dizímas periódicas em que os algarismos do período 142857 também se permutam formando uma Progressão Aritmética cuja razão é também o período 142857.
Interessante observar que os algarismos do período 142857 após permutados se repetem em grupos de 6 em 6 números, isto é, 1 unidade menor que o denominador 7.
| Fração | |||||
| n / 7 | |||||
| e progressão aritmética | |||||
| denominador | numerador | dízima | razão | ||
| (ordem / posição) | periódica | diferença | |||
| 1 | 7 | = | 0,142857143 | ||
| 2 | 7 | = | 0,285714286 | 0,142857143 | |
| 3 | 7 | = | 0,428571429 | 0,142857143 | |
| 4 | 7 | = | 0,571428571 | 0,142857143 | |
| 5 | 7 | = | 0,714285714 | 0,142857143 | |
| 6 | 7 | = | 0,857142857 | 0,142857143 | |
| 7 | 7 | = | 1 | 0,142857143 | |
| 8 | 7 | = | 1,142857143 | 0,142857143 | |
| 9 | 7 | = | 1,285714286 | 0,142857143 | |
| 10 | 7 | = | 1,428571429 | 0,142857143 | |
| 11 | 7 | = | 1,571428571 | 0,142857143 | |
| 12 | 7 | = | 1,714285714 | 0,142857143 | |
| 13 | 7 | = | 1,857142857 | 0,142857143 | |
| 14 | 7 | = | 2 | 0,142857143 | |
| 15 | 7 | = | 2,142857143 | 0,142857143 | |
| 16 | 7 | = | 2,285714286 | 0,142857143 | |
| 17 | 7 | = | 2,428571429 | 0,142857143 | |
| 18 | 7 | = | 2,571428571 | 0,142857143 | |
| 19 | 7 | = | 2,714285714 | 0,142857143 | |
| 20 | 7 | = | 2,857142857 | 0,142857143 | |
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Fonte: Adaptado de Ari Costa
Observação importante: além da razão ser
As dízimas periódicas originadas das frações 1/7 a n/7, isto é, em que os númeradores são números naturais e o denominador o número primo 7 não são dízimas exclusivas dessas frações, isto porquê:
Um quadrado perfeito dividido pelo produto do númerador pelo númerador gera mesma dízima dessa fração.
Exemplos:
a)
fração 2 / 7
2 x 7 = 14
2^2 = 4
4 : 14 = 0,285714 2857142 857142 85714 285714 29
b)
fração 3 / 7
3 x 7 = 21
3^2 = 9
9 : 21 = 0,428571 428571 428571 428571 428571 43
c)
fração 4 / 7
4 x 7 = 28
4^2 = 16
16 : 28 = 0,571428 571428 571428 571428 571428 57
d)
fração 5 / 7
5 x 7 = 35
5^2 = 25
25 : 35 = 0,714285 714285 714285 714285 714285 71
Confome se observa, decimais exatos e dízimas periódicas são quocientes que correspondem a uma parte (fração) de um número quadrado perfeito em relação a 2 fatores e o produto destes.
Autor: Ricardo Silva - maio/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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