Os números primos é um grande um mistério, um grande enigma, um ente que quanto mais os analisamos, estudamos, temos que aceitá-los do jeito que eles são, eles estão bem na nossa frente e ainda não conseguimos construir uma fórmula geral para obter sua sequência e saber qual será o próximo primo.
Pegue um número par aleatoriamente e divida o por 2, ou a metade será um número ímpar, ou será um número par e o resto será zero.
Pegue um número ímpar aleatoriamente, pode até usar calculadora, um número grande, de preferência com 3 algarismos que não termine em 5, e divida o por 2 e o resto será 1, agora divida o por 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 ou próximo de sua raiz quadrada aproximada, se o quociente for igual ou menor que o divisor sem que a divisão tenha sido exata, o número escolhido é um número primo.
Se você escolheu, por exemplo, o número 997, verificou que é primo e tem somente dois divisores e há 167 números primos anteriores a ele que não o divide de jeito nenhum.
Esses são os misteriosos números primos que não apresenta regularidade na formação em sua sequência, mas apresentam regularidades nas quantidades de divisores de suas potências e de números compostos gerados por eles.
A quantidade de divisores de um número natural apresenta padrões numéricos relacionados à progressões aritméticas e geométricas, bem como sequências numéricas famosas.
Há dois grupos distintos de números naturais, os números primos e os números compostos.
Números primos são números que são divisíveis por 1 e por ele mesmo.
Exemplos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
O número 1 não é primo e nem composto.
O número 2 é o único par que é primo.
O número 5 é o único primo terminado em 5.
Números compostos são números que possuem mais de 2 divisores.
Exemplos:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,...
Todos os números pares, com exceção do número 2, são compostos.
O produto de números primos geram números compostos.
Exemplos:
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
3 x 3 = 9
3 x 5= 15
O algoritmo da Decomposição em Fatores Primos permite saber:
a) os fatores primos;
b) a quantidade de divisores;
c) os divisores de determinado número natural;
d) o menor múltiplo comum (MMC);
e) o máximo divisor comum (MDC);
entre dois ou mais números e também saber se um número é primo, composto, número quadrado perfeito, número cúbico, etc.
Exemplo:
Decompondo o número 6 em fatores primos, através de divisões sucessivas encontramos:
| Decomposição em | |||
|---|---|---|---|
| fatores primos | |||
| número 6 | |||
| Fatores Primos | Divisores | ||
| 1 | |||
| 6 | 2 | 2 | |
| 3 | 3 | 3 | 6 |
| 1 | |||
D(6): {1, 2, 3, 6}
4 são os divisores de 6.
6 = 21 x 31
Soma-se 1 (uma) unidade a cada expoente e multiplica-os.
21+1 x 31+1
2 x 2 = 4
Números primos possuem quantidade pares de divisores.
D(2): 1, 2
2 divisores
D(3): 1, 3
2 divisores
D(5): 1, 5
2 divisores
D(7): 1, 7
2 divisores
D(11): 1, 11
2 divisores
Números quadrados perfeitos possuem quantidade ímpares de divisores.
Quadrados de números primos possuem exatamente 3 divisores.
Quadrados de números compostos possuem de 5 a mais divisores.
D(4): 1, 2, 4
3 divisores
D(9): 1, 3, 9
3 divisores
D(16): 1, 2, 4, 8, 16
5 divisores
D(25): 1, 5, 25
3 divisores
D(36): 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
9 divisores
D(49): 1, 7, 49
3 divisores
D(64): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
7 divisores
Potências de números primos quando decompostas em fatores primos apresentam um único fator primo.
Para se saber a quantidade de divisores de potências de números primos, soma-se 1 (uma unidade ao expoente), não havendo necessidade de decompor em fatores primos a potência.
20 = 1
21 = 2 - (2 divisores)
1 + 1 = 2
22 = 4 - (3 divisores - quadrado perfeito)
2 + 1 = 3
23 = 8 - (4 divisores)
3 + 1 = 4
24 = 16 - (5 divisores - quadrado perfeito)
4 + 1 = 5
25 = 32 - (6 divisores)
5 + 1 = 6
A quantidade de divisores de potências de números primos é uma progressão aritmética {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..}
Para se saber a quantidade de divisores de potências de números primos, soma-se 1 (uma unidade ao expoente), não havendo necessidade de decompor em fatores primos a potência.
30 = 1
31 = 3 - (2 divisores)
1 + 1 = 2
32 = 9 - (3 divisores - quadrado perfeito)
2 + 1 = 3
23 = 27 - (4 divisores)
3 + 1 = 4
24 = 81 - (5 divisores - quadrado perfeito)
4 + 1 = 5
25 = 243 - (6 divisores)
5 + 1 = 6
A quantidade de divisores de potências de números primos é uma progressão aritmética {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}
Fatorial é o produto de números naturais consecutivos
1 = 1
1 x 2 = 2 (2 divisores)
1 x 2 x 3 = 6 (4 divisores)
1 x 2 x 3 x 4 = 24 (8 divisores)
1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 (16 divisores)
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 (30 divisores)
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5.040 (60 divisores)
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40.320 (96 divisores)
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 362.880 (160 divisores)
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3.628.800 (270 divisores)
A sequência das quantidades de divisores de números fatoriais é aleatória.
Primorial é o produto de números primos consecutivos.
2 = 2 (2 divisores)
2 x 3 = 6 (4 divisores)
2 x 3 x 5 = 30 (8 divisores)
2 x 3 x 5 x 7 = 210 (16 divisores)
2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2.310 (32 divisores)
2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 = 30.030 (64 divisores)
2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 = 510.510 (128 divisores)
2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 =
9.699.690 (256 divisores)
2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 =
223.092.870 (512 divisores)
2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 =
6.469.693.230 (1024 divisores)
A sequência das quantidades de divisores de números primoriais formam uma progressão geométrica com potências de base 2.
Os produtos de 2 números primos distintos não são potências de números primos ou de outros números compostos.
O produto de 2 números primos geram números que são bases de potências cujas quantidades de divisores são em números quadrados perfeitos.
O número 6 é o primeiro número composto que não é potência de número primo ou de outro número composto.
6 = 2 x 3
Observação importante: o número 4 é potência de base 2.
60 = 1 - (1 divisor - quadrado perfeito)
61 = 6 - (4 divisores)
62 = 36 - (9 divisores - quadrado perfeito)
63 = 216 - (16 divisores)
64 = 1.296 - (25 divisores - quadrado perfeito)
65 = 7.776 - (36 divisores)
66 = 46.656 - (49 divisores - quadrado perfeito)
67 = 279.936 - (64 divisores)
68 = 1.679.616 - (81 divisores - quadrado perfeito)
69 = 10.077.696 - (100 divisores)
610 = 60.466.176 - (121 divisores - quadrado perfeito)
A quantidade de divisores de potências de base 6 gera a sequência de números quadrados perfeitos consecutivos {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...}.
O número 10 é o segundo número composto que não é potência de número primo e de outro número composto.
10 = 2 x 5
Observação importante: o número 16 é potência de base 2.
100 = 1 - (1 divisor - quadrado perfeito)
101 = 10 - (4 divisores)
102 = 100 - (9 divisores - quadrado perfeito)
103 = 1000 - (16 divisores)
A quantidade de divisores de potências de base 10 gera a sequência de números quadrados perfeitos consecutivos {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...}.
Os produtos de 3 números primos distintos não são potências de números primos ou de outros números compostos.
O produto de 3 números primos geram números que são bases de potências cujas quantidades de divisores são em números cúbicos perfeitos consecutivos.
30 = 2 x 3 x 5
300 = 1 - (1 divisor)
301 = 30 - (8 divisores)
302 = 900 - (27 divisores)
303 = 27.000 - (64 divisores)
A quantidade de divisores de potências de base 30 gera a sequência de números cúbicos perfeitos consecutivos {1, 8, 27, 64, ...}.
42 = 2 x 3 x 7
420 = 1 - (1 divisor)
421 = 42 - (8 divisores)
422 = 1.764 - (27 divisores)
423 = 74.088 - (64 divisores)
A quantidade de divisores de potências de base 42 gera a sequência de números cúbicos perfeitos consecutivos {1, 8, 27, 64, ...}.
Os produtos de 4 números primos distintos não são potências de números primos ou de outros números compostos.
O produto de 4 números primos geram números que são bases de potências cujas quantidades de divisores são em números quadrados perfeitos não consecutivos.
210 = 2 x 3 x 5 x 7
2100 = 1 - (1 divisor)
2101 = 210 - (16 divisores)
2102 = 44.100 - (81 divisores)
2103 = 9.261.000 - (256 divisores)
A quantidade de divisores de potências de base 210 gera a sequência de números quadrados perfeitos não consecutivos {1, 16, 81, 256, ...}.
330 = 2 x 3 x 5 x 11
3300 = 1 - (1 divisor)
3301 = 330 - (16 divisores)
3302 = 108.900 - (81 divisores)
3303 = 35.937.000 - (256 divisores)
A quantidade de divisores de potências de base 330 gera a sequência de números quadrados perfeitos não consecutivos {1, 16, 81, 256, ...}.
Os produtos de 5 números primos distintos não são potências de números primos ou de outros números compostos.
O produto de 5 números primos geram números que são bases de potências cujas quantidades de divisores são em números de quinta potência.
2310 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11
23100 = 1 - (1 divisor)
23101 =2310 - (32 divisores)
23102 = 5.336.100 - (243 divisores)
23103 = 12.326.391.000 - (1024 divisores)
Os produtos de um par de primos por outro primo não são potências de números primos ou de outros números compostos.
Os produtos de um par de primos por outro primo geram números que são bases de potências cujas quantidades de divisores são em números triangulares não consecutivos.
12 = 2 x 2 x 3
Observação: 2 x 2 x 3 = 4 x 3 (número quadrado x um número primo)
120 = 1 - (1 divisor)
121 =12 - (6 divisores)
122 = 144 - (15 divisores)
123 = 1.728 - (28 divisores)
124 = 20.736 - (45 divisores)
125 = 248.832 - (66 divisores)
126 = 2.985.984 - (91 divisores)
A quantidade de divisores de potências de base 12 gera a sequência de números triangulares não consecutivos {1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, ...}
20 = 2 x 2 x 5
Observação: 2 x 2 x 3 = 4 x 5 (número quadrado x um número primo)
200 = 1 - (1 divisor)
201 = 20 - (6 divisores)
202 = 400 - (15 divisores)
203 = 8.000 - (28 divisores)
204 = 160.000 - (45 divisores)
205 = 3.200.000 - (66 divisores)
206 = 64.000.000 - (91 divisores)
A quantidade de divisores de potências de base 20 gera a sequência de números triangulares não consecutivos {1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, ...}.
A quantidade de números primos consecutivos, bem como a quantidade de divisores de cada sequência que gera um número primoral é a base construtiva que determina outras sequências que se queira produzir, pois:
a) escolhendo-se dois números primos consecutivos aleatoriamente, suas potências terão divisores em quantidade de números quadrados perfeitos, números de segunda potência;
b) escolhendo-se três números primos consecutivos aleatoriamente, suas potências terão divisores em quantidade de números cúbicos perfeitos, números de terceira potências;
c) escolhendo-se quatro números primos consecutivos aleatoriamente, suas potências terão divisores em quantidade de números de quarta potência e assim sucessivamente.
Sequências numéricas em que há dois pares de primos e outro primo diferente, os divisores resultam em números triangulares não consecutivos.
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2019
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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