Número Racional é um número gerado da divisão de 2 números inteiros.
Números racionais podem ser representados:
a) por meio de uma fração;
b) ou por meio de um número decimal.
Quando transformamos uma fração em número decimal, podemos obter:
a) um decimal exato;
b) ou uma dízima periódica.
Dízimas Perióridas podem ser:
a) simples - quando a parte periódica começa logo após a vígula.
b) composta - quando após a vírgula vem uma parte não periódica e posteriormente a parte periódica.
O presente estudo demonstra novos métodos de se gerarem algarismos de períodos de dízimas periódicas de frações unitárias cujos denominadores são número primos, desenvolvidos por Ari Costa, Entusiasta Matemático e Colaborador do WebSite Os Fantásticos Números Primos.
A fração geratriz 1/7 gera a seguinte dízima periódica simples cujo período é 1 unidade menor que o denominador 7.
| 1 | ||
| --- | = | 0,142857 142857 142857 142857 142857 |
| 7 |
Período: 142 857 (6 algarismos)
O período 142 857 ao ser múltiplicado por números naturais de 2 a 6 tem como produto o próprio período mas com os algarismos permutados, daí dizermos que o número 142857 é um número cíclico.
| 2 | x | 142857 | = | 285714 |
| 3 | x | 142857 | = | 428571 |
| 4 | x | 142857 | = | 571428 |
| 5 | x | 142857 | = | 714285 |
| 6 | x | 142857 | = | 857142 |
Assim como a fração 1/7 cujo denoninador é um número primo, há outros números primos com as mesmas propriedades do denominador 7 em que as quantidades de algarismos do período da dízima periódica é 1 unidade menor que esse número primo.
Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas!
Na divisão de 1/7, utilizando-se o Algoritmo Usual de Divisão, complementam-se os restos/dividendos com 0 e continuam-se as divisões por 7 até a repetição do primeiro dividendo. Continuando-se as divisões, o período 142857 da dízima também se repetirá infinitamente.
No Novo Método de Cálculo de Dízima Periódica devemos utilizar o primeiro múltiplo do numerador da fração unitária / fração geratriz que termina em 9.
Múltiplos de 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70,...
a) 7 x 7 = 49
o mesmo que 7 x 7 + 0 = 49
b) decompõe-se o 49 em classes: dezena e unidade;
40 + 9 = 49
divide-se 40 por 10 = 4
Subtraem-se 4 de números terminados em 9
Divide-se cada diferença por 7, até se encontrar um resultado inteiro, neste caso o 5.
| números | menos | diferença | divisão por | quociente |
| terminados | 7 | |||
| em 9 | ||||
| 9 | 4 | 5 | 7 | 0,714285714 |
| 19 | 4 | 15 | 7 | 2,142857143 |
| 29 | 4 | 25 | 7 | 3,571428571 |
| 39 | 4 | 35 | 7 | 5 |
| 49 | 4 | 45 | 7 | 6,428571429 |
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7 x 5 = 35
7 x 5 + 4 = 39
c) decompõe-se o 39 em classes: dezena e unidade;
30 + 9 = 39
divide-se 30 por 10 = 3
Subtraem-se 3 de números terminados em 9
Divide-se cada diferença por 7, até se encontrar um resultado inteiro, neste caso o 8.
| números | menos | diferença | divisão por | quociente |
| terminados | 7 | |||
| em 9 | ||||
| 9 | 3 | 6 | 7 | 0,857142857 |
| 19 | 3 | 16 | 7 | 2,285714286 |
| 29 | 3 | 26 | 7 | 3,714285714 |
| 39 | 3 | 36 | 7 | 5,142857143 |
| 49 | 3 | 46 | 7 | 6,571428571 |
| 59 | 3 | 56 | 7 | 8 |
| 69 | 3 | 66 | 7 | 9,428571429 |
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7 x 8 = 56
7 x 8 + 3 = 59
d) decompõe-se o 59 em classes: dezena e unidade;
50 + 9 = 59
divide-se 50 por 10 = 5
Subtraem-se 5 de números terminados em 9
Divide-se cada diferença por 7, até se encontrar um resultado inteiro, neste caso o 2.
| números | menos | diferença | divisão por | quociente |
| terminados | 7 | |||
| em 9 | ||||
| 9 | 5 | 4 | 7 | 0,571428571 |
| 19 | 5 | 14 | 7 | 2 |
| 29 | 5 | 24 | 7 | 3,428571429 |
| 39 | 5 | 34 | 7 | 4,857142857 |
| 49 | 5 | 44 | 7 | 6,285714286 |
| 59 | 5 | 54 | 7 | 7,714285714 |
| 69 | 5 | 64 | 7 | 9,142857143 |
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7 x 2 = 14
7 x 2 + 5 = 19
e) decompõe-se o 19 em classes: dezena e unidade;
10 + 9 = 19
divide-se 10 por 10 = 1
Subtraem-se 1 de números terminados em 9
Divide-se cada diferença por 7, até se encontrar um resultado inteiro, neste caso o 4.
| números | menos | diferença | divisão por | quociente |
| terminados | 7 | |||
| em 9 | ||||
| 9 | 1 | 8 | 7 | 1,142857143 |
| 19 | 1 | 18 | 7 | 2,571428571 |
| 29 | 1 | 28 | 7 | 4 |
| 39 | 1 | 38 | 7 | 5,428571429 |
| 49 | 1 | 48 | 7 | 6,857142857 |
| 59 | 1 | 58 | 7 | 8,285714286 |
| 69 | 1 | 68 | 7 | 9,714285714 |
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7 x 4 = 28
7 x 4 + 1 = 29
f) decompõe-se o 29 em classes: dezena e unidade;
20 + 9 = 29
divide-se 20 por 10 = 2
Subtraem-se 2 de números terminados em 9
Divide-se cada diferença por 7, até se encontrar um resultado inteiro, neste caso o 1.
| números | menos | diferença | divisão por | quociente |
| terminados | ||||
| em 9 | ||||
| 9 | 2 | 7 | 7 | 1 |
| 19 | 2 | 17 | 7 | 2,428571429 |
| 29 | 2 | 27 | 7 | 3,857142857 |
| 39 | 2 | 37 | 7 | 5,285714286 |
| 49 | 2 | 47 | 7 | 6,714285714 |
| 59 | 2 | 57 | 7 | 8,142857143 |
| 69 | 2 | 67 | 7 | 9,571428571 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
7 x 1 = 7
7 x 1 + 2 = 9
g)
Fazendo a leitura dos segundos fatores de baixo para cima das multiplicações, tem-se 143857, que corresponde ao período da dízima periódica da fração 1/7.
| Etapas de cálculos | |
| etapa a | 7 x 7 + 0 = 49 |
| etapa b | 7 x 5 + 4 = 39 |
| etapa c | 7 x 8 + 3 = 59 |
| etapa d | 7 x 2 + 5 = 19 |
| etapa e | 7 x 4 + 1 = 29 |
| etapa f | 7 x 1 + 2 = 09 |
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Interessante observar que os números 4, 3, 5, 1, 2 são quocientes de números cujas classes são dezenas divididas por 10 e também são os restos das divisões por 7 de números terminados em 9 .
No Método Prático de Cálculo de Dízima Periódica devemos utilizar o primeiro múltiplo do numerador da fração unitária / fração geratriz que termina em 9.
Fração 1/7
Múltiplos de 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70,...
a) 7 x 7 = 49 (múltiplo de 7 que termina em 9)
49 = 40 + 9
40 : 10 = 4
9 - 4 = 5
b) 7 x 5 = 35 (múltiplo de 7 que termina em 5)
7 x 5 + 4 = 39
39 = 30 + 9
30 : 10 = 3
9 - 3 = 6
c) 7 x 8 = 56 (múltiplo de 7 que termina em 6)
7 x 8 + 3 = 59
59 = 50 + 9
50 : 10 = 5
9 - 5 = 4
d) 7 x 2 = 14 (múltiplo de 7 que termina em 4)
7 x 2 + 5 = 19
19 = 10 + 9
10 : 10 = 1
9 - 1 = 8
e) 7 x 4 = 28 (múltiplo de 7 que termina em 8)
7 x 4 + 1 = 29
29 = 20 + 9
20 : 10 = 2
9 - 2 = 7
f) 7 x 1 = 7 (múltiplo de 7 que termina em 7)
7 x 1 + 2 = 9
g) fazendo a leitura dos segundos fatores de baixo para cima das multiplicações, tem-se 143857, que corresponde ao período da dízima periódica da fração 1/7.
| Etapas de cálculos | |
| etapa a | 7 x 7 = 49 |
| etapa b | 7 x 5 = 35 |
| etapa c | 7 x 8 = 56 |
| etapa d | 7 x 2 = 14 |
| etapa e | 7 x 4 = 28 |
| etapa f | 7 x 1 = 07 |
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Comparando-se o Algoritmo Usual de Divisão com os Métodos de Ari Costa, nota-se que no Algoritmo Usual de Divisão, os quocientes (algarismos) vão aparecendo em sua ordem normal: 1/7 = 0,142857, isto é, sequencialmente da esquerda para à direita, nos Métodos de Ari Costa, da direita para à esquerda: 758241, invertendo as posições dos algarismos 142857, tem-se a ordem correta dos algarismos da dízima periódica da fração 1/7.
Partindo-se da comparações acima, deduz-se um outro método prático:
a) 7 x 1 = 7
7 x 1 + 2 = 9 (mais o resto 2)
b) 2 x 10 = 20 (resto 2 multiplicado por 10)
20 + 9 = 29
7 x 4 = 28
7 x 4 + 1 = 29 (mais o resto 1)
c) 1 x 10 = 10 (resto 1 multiplicado por 10)
10 + 9 = 19
7 x 2 = 14
7 x 2 + 5 = 19 (mais o resto 5)
d) 5 x 10 = 50 (resto 5 multiplicado por 10)
50 + 9 = 59
7 x 8 = 56
7 x 8 + 3 = 59 (mais o resto 3)
e) 3 x 10 = 30 (resto 3 multiplicado por 10)
30 + 9 = 39
7 x 5 = 35
7 x 5 + 4 = 39 (mais o resto 4)
f) 4 x 10 = 40 (resto 4 multiplicado por 10)
40 + 9 = 49
7 x 7 = 49
7 x 7 + 0 = 49 (mais o resto 0 - conta exata)
Fazendo-se a leitura dos segundos fatores das múltiplicações, tem-se os algarismos do período 142857 da dízima periódica da fração 1/7.
| Etapas de cálculos | |
| etapa a | 7 x 1 = 07 |
| etapa b | 7 x 4 = 28 |
| etapa c | 7 x 2 = 14 |
| etapa d | 7 x 8 = 56 |
| etapa e | 7 x 5 = 35 |
| etapa f | 7 x 7 = 49 |
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Autor: Ricardo Silva - abril/2025
[1]Costa, Ari. 005 - Uma Outra Maneira de Calcular os Algarismos do Período de Uma Dízima Periódica. Teresina-PI. 2025.
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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