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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrado Semi-Mágico 16x16 e Dízimas Periódicas e Números Cíclicos - 556

Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos formados por matrizes quadiculadas em quantidades de números quadrados perfeitos nos quais dispondo em certa ordem sequências numéricas que podem ser tanto progressões aritméticas e progressões geométricas, como conjuntos de divisores de determinados números naturais que não são nem progressões aritméticas e nem progressões geométricas.

Quadrado Semi-Mágico 16x16 e Dízimas Periódicas e Números Cíclicos

As soma de termos de progressões aritméticas nas linhas, colunas e diagonais tem como resultado um mesmo número, denominado de constante mágica.

Os produtos de termos de progressões geométricas, bem como, divisores de determinados números naturais nas linhas, colunas e diagonais geram um mesmo produto, denominado de constante mágica

O presente estudo demonstra a construção de quadrado semi-mágico 16 x 16 originado de algarismos de números cíclicos que por sua vez são originados do período da dízima periódica da fração 1/17: 0,0 588 235 294 117 647.

Números cíclicos

Fração unitária em que o numerador é 1 e o denominador determinado número primo, apresenta uma interessante propriedade numérica que é a de gerar números cíclicos, propriedades estas e outras estudadas pelo Matemático frânces Étienne Midy em 1836, até ser redescoberto em 2004 por Brian Ginsberg. [1]

Martin Gardner, em seu livro Circo Matemático, relata: "que entre os números primos menores que 100 há exatamente nove que geram números cíclicos, a saber: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97.” [1]

Fração 1/17 e o período 0 588 235 294 117 647

A fração geratriz 1/17 gera a seguinte dízima periódica simples cujo período é 1 unidade menor que o denominador 17.

1    
----- = 0,0588235294117647 0588235294117647
17    

Período: 0 588 235 294 117 647 (16 algarismos)

O período 0 588 235 294 117 647 ao ser múltiplicado por números naturais de 2 a 16 tem como produtos o período com os algarismos permutados, daí dizermos que o número 0588235294117647 é um número cíclico.

2 x 0588235294117647 = 1176470588235294
3 x 0588235294117647 = 1764705882352941
4 x 0588235294117647 = 2352941176470588
5 x 0588235294117647 = 2941176470588235
6 x 0588235294117647 = 3529411764705882
...   ...   ...
...   ...   ...
16 x 0588235294117647 = 9411764705882352

Fonte: Adaptado de Alves, Diego Pereira. Dízimas Periódicas: Números Cíclicos e Teorema de Midy / Diego Pereira Alves. – 2022.40 f. Dissertação (mestrado) [1].

Frações de 1/17 a 16/17 e números cíclicos

As dízimas periódicas originadas das frações cujos numeradores são números naturais de 1 a 16 e o denominador o número primo 17 formam os números cíclicos do período 0 588 235 294 117 647 naturalmente, sem a necessidade de fazer multiplicações como demonstrado anteriormente.

Frações de 1/17 a 16/17
e números cíclicos
     
frações   dízimas periódicas /
    números cíclicos
     
1 / 17 = 0588235294117647
2 / 17 = 1176470588235294
3 / 17 = 1764705882352941
4 / 17 = 2352941176470588
5 / 17 = 2941176470588235
6 / 17 = 3529411764705882
7 / 17 = 4117647058823529
8 / 17 = 4705882352941176
9 / 17 = 5294117647058823
10 / 17 = 5882352941176470
11 / 17 = 6470588235294117
12 / 17 = 7058823529411764
13 / 17 = 7647058823529411
14 / 17 = 8235294117647058
15 / 17 = 8823529411764705
16 / 17 = 9411764705882352
     
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Dízimas Periódicas e períodos

Dizíma periódica cujo período possui quantidade de algarismos pares apresenta uma propriedade muito interessante.

Dividindo-se o período em duas partes e somando-os, o resultado é um número somente com algarismos 9.

Exemplo:

Período: 05882352 94117647 (16 algarismos)

  05882352
+ 94117647
  ------------
  99999999

Propriedade esta descoberta pelo Matemático francês Étienne Midy em 1836. [1]

Quadrado Semi-Mágico 16x16

Alocando os algarismos de cada número cíclico originados das frações de 1/17 a 16/17 numa matriz quadriculada de 16 x 16 células, obtem-se quadrado semi-mágico de constante mágica 72 nas linhas e colunas.

Soma de todos os números: 1152

Constante Mágica: 72

Martin Gardner cita a seguinte fala de W. S. Andrews, sobre o primeiro Quadrado Mágico 18 x 18 construído com números cíclicos: "Não é fácil entender a razão pela qual cada uma das principais diagonais tem soma 81; De qualquer forma, ao escrever um em cima do outro vemos que cada par de números correspondentes somam 9".[2]

Para mais informações veja o estudo:

011-estudos-555-quadrados-magicos-18x18-numeros-ciclicos-fracoes-n-19

Posteriormente, Martin Gardner cita também a fala de John W. Ward: "Ward também mostrou que em todos quadrados semiperfeitos baseados em números cíclicos, a soma dos números obtido pela soma dos dígitos de cada diagonal é sempre o dobro da constante mágica." [2]

Cada uma das diagonais: a principal e a secundária não somam 72, que é a constante mágica, mas a soma das duas diagonais é o dobro da constante mágica.

104 + 40 = 144

Quadrado Semi-Mágico 16x16
número cíclico
0 588 235 294 117 647
  104
0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 72
1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 72
1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 72
2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 72
2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 72
3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 72
4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 72
4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 72
5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 72
5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 72
6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 72
7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 72
7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 72
8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 72
8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 72
9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 72
                                 
72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 40
                                 
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Quadrado Semi-Mágico 16x16 e propriedades

a) quadrantes:

Sub-quadrados 8x8 na diagonal principal (verde e azul) somam cada um: 262;

Sub-quadrados 8x8 na diagonal secundaria (vermelho e lilás) somam cada um: 314.

Quadrado Semi-Mágico 16x16
número cíclico
0 588 235 294 117 647
  104
0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 72
1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 72
1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 72
2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 72
2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 72
3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 72
4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 72
4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 72
5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 72
5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 72
6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 72
7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 72
7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 72
8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 72
8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 72
9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 72
                                 
72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 40
                                 
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b) sobreposições:

sobrepondo o quadrado vermelho sobre o verde (vice-versa) e somando-os;

sobrepondo o quadrado azul sobre o lilás (vice-versa) e somando-os.

Quadrado Semi-Mágico 16x16
número cíclico
0 588 235 294 117 647
  104
0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 72
1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 72
1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 72
2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 72
2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 72
3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 72
4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 72
4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 72
5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 72
5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 72
6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 72
7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 72
7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 72
8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 72
8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 72
9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 72
                                 
72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 40
                                 
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Obter-se-ão dois quadrados somente com algarismos 9.

Quadrado Semi-Mágico 16x16
número cíclico
0 588 235 294 117 647
  104
9 9 9 9 9 9 9 9                 72
9 9 9 9 9 9 9 9                 72
9 9 9 9 9 9 9 9                 72
9 9 9 9 9 9 9 9                 72
9 9 9 9 9 9 9 9                 72
9 9 9 9 9 9 9 9                 72
9 9 9 9 9 9 9 9                 72
9 9 9 9 9 9 9 9                 72
                9 9 9 9 9 9 9 9 72
                9 9 9 9 9 9 9 9 72
                9 9 9 9 9 9 9 9 72
                9 9 9 9 9 9 9 9 72
                9 9 9 9 9 9 9 9 72
                9 9 9 9 9 9 9 9 72
                9 9 9 9 9 9 9 9 72
                9 9 9 9 9 9 9 9 72
                                 
72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 40
                                 
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c) retângulos horizontais:

formando-se 2 retângulos horizontais e somando números, isto é, os (algarismos) equidistantes verticalmente, o resultado é 9;

(é como se dobrar o quadrado horizontalmente ao meio a 180 graus).

Quadrado Semi-Mágico 16x16
número cíclico
0 588 235 294 117 647
  104
0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 72
1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 72
1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 72
2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 72
2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 72
3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 72
4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 72
4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 72
5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 72
5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 72
6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 72
7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 72
7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 72
8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 72
8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 72
9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 72
                                 
72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 40
                                 
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c) retângulos verticais:

cada linha do retâgulo vermelho de cima para baixo é igual ao do retângulo azul de baixo para cima.

Quadrado Semi-Mágico 16x16
número cíclico
0 588 235 294 117 647
  104
0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 72
1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 72
1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 72
2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 72
2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 72
3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 72
4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 72
4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 72
5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 72
5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 72
6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 72
7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 72
7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 72
8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 72
8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 72
9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 72
                                 
72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 40
                                 
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c) linhas e colunas:

na primeira coluna, os algarismos de de 1, 2, 4, 5, 7, 8 se repetem um ao lado do outro de cima para baixo;

na nona coluna, os algarismos de 1, 2, 4, 5, 7, 8 se repetem um ao lado do outro de baixo para cima;

os algarismos 0, 3, 6, 9 não se repetem nem nas linhas e nem nas colunas;

8
Quadrado Semi-Mágico 16x16
número cíclico
0 588 235 294 117 647
1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 16
  104
0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 72
1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 72
1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 72
2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 72
2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 72
3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 72
4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 72
4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 72
5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 72
5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 72
6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 72
7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 72
7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 72
8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 72
8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 72
9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 72
                                 
72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 40
                                 
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c) diagonais quebradas:

as diagonais quebradas dos sub-quadrados verde e lilás somam 72 (constante mágica);

as diagonais quebradas dos sub-quadrados vermelho e azul somam 72 (constante mágicas);

Quadrado Semi-Mágico 16x16
número cíclico
0 588 235 294 117 647
  104
0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 72
1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 72
1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 72
2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 72
2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 72
3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 72
4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 72
4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 72
5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 72
5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 72
6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 72
7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 72
7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 72
8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 72
8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 72
9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 72
                                 
72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 72 40
                                 
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Observações / Indagações

Martin Gardner, em seu livro Circo Matemático, relata: "que entre os números primos menores que 100 há exatamente nove que geram números cíclicos, a saber: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97.” [1]

Analisando os números primos:

a) 7 é Primo de Mersenne, será que 127 e outros Primos de Mersenne que terminam em 7 podem gerar números cíclicos?

b) 17 é um Primo de Fermat, será que 257 e 65.537 que terminam em 7 podem gerar números cíclicos?

c) 7 é 1 unidade maior que o número perfeito 6.

d) 29 é 1 unidade maior que o número perfeito 28.

e) será que 33.550.337 e 137.438.691.329 que são primos e 1 unidade maior que os perfeitos 33.550.336 e 137.438.691.328 respectamente e outros podem gerar números cíclicos?

 

Autor: Ricardo Silva - abril/2025

Fontes Bibliográficas:

[1] ALVES, Diego Pereira. Dízimas Periódicas: Números Cíclicos e Teorema de Midy / Diego Pereira Alves. – 2022.40 f. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional, Fortaleza, 2022.

[2] GARDNER, Martin. Circo matemático. Madri: Alianza Editorial, 1979. Disponível em:
http://www.librosmaravillosos.com/circomatematico/pdf/Circo%20matematico%20-%20Mart
in%20Gardner.pdf. Acesso em: 03 abril. 2025.

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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