O presente estudo demonstra que dízímas periódicas originadas de sequências de frações cujos numeradores são números naturais e denominadores determinados números primos formam progressões aritméticas cuja razão é o período dessa mesma dízima periódica.
Números Racionais são números que são resultados da divisão de 2 números inteiros.
Números Racionais podem ser representados:
a) por uma fração, na forma p / q, em que p e q são números inteiros e q um número diferente de 0 (zero);
Exemplos:
1)
| 3 |
| --- |
| 10 |
2)
| 4 |
| --- |
| 5 |
3)
| 13 |
| --- |
| 25 |
b) na forma decimal.
Exemplos:
1)
| 3 | ||
| --- | = | 0,3 |
| 10 |
2)
| 4 | ||
| --- | = | 0,8 |
| 5 |
3)
| 13 | ||
| --- | = | 0,52 |
| 25 |
Para transformar número racional da forma fracionária para número decimal, basta dividir o númerador pelo denominador.
Quando transformamos uma fração em número decimal podemos obter:
a) decimal exato - número finito de algarismos após a vírgula (diferente de 0 (zero));
1)
| 3 | ||
| --- | = | 0,3 |
| 10 |
2)
| 4 | ||
| --- | = | 0,8 |
| 5 |
3)
| 15 | ||
| - --- | = | - 1,875 |
| 8 |
b) dízima periódica - número com infinitos algarismos que se repetem após a vírgula.
1)
| 7 | ||
| --- | = | 2,333333... = 2,3 (período 3) |
| 3 |
2)
| 56 | ||
| --- | = | 5,090909 = 5, 09 (período 09) |
| 11 |
3)
| 25 | ||
| - --- | = | - 4,166666 = 4,16 (período 16) |
| 6 |
Fração cujo denominador é uma potência de base 10: 10, 100, 1000, 10.000, ... equivalem a número decimal exato.
Exemplos:
1)
| 3 | ||
| --- | = | 0,3 |
| 10 |
2)
| 22 | ||
| --- | = | 0,22 |
| 100 |
3)
| 35 | ||
| ----- | = | 0,035 |
| 1000 |
Os denominadores: 10, 100, 1000, etc. têm como fatores primos os números 2 e 5.
10 = 2 x 5
100 = 22 x 52
1000 = 23 x 53
Fração cujo denominador têm fatores primos diferentes dos números 2 e 5, a fração equivale a uma dízima periódica.
Exemplos:
1)
| 7 | ||
| --- | = | 0,094444... |
| 180 |
Fatores primos de 180 = 23 x 32 x 5
2)
| 32 | ||
| --- | = | 1,185185185... |
| 27 |
Fatores primos de 27 = 33
3)
| 4 | ||
| ----- | = | 0,444444... |
| 9 |
Fator primo de 9 = 32
Fração unitária em que o numerador é 1 e o denominador determinado número primo, apresenta uma interessante propriedade numérica que é a de gerar números cíclicos, propriedades estas e outras estudadas pelo Matemático frânces Étienne Midy em 1836, até ser redescoberto em 2004 por Brian Ginsberg. [1]
Martin Gardner, em seu livro Circo Matemático, relata: "que entre os números primos menores que 100 há exatamente nove que geram números cíclicos, a saber: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97.” [1]
Dizíma periódica cujo período possue quantidade de algarismos pares, apresenta uma propriedade muito interessante.
Dividindo-se o período em duas partes e somando-os, o resultado é um número somente com algarismos 9.
Exemplo:
Período: 142 857 (6 algarismos)
| 142 | |
| + | 857 |
| ----- | |
| 999 |
Propriedade esta descoberta pelo Matemático francês Étienne Midy em 1836. [1]
A fração geratriz 1/7 gera a seguinte dízima periódica simples cujo período é 1 unidade menor que o denominador 7.
| 1 | ||
| --- | = | 0,142857 142857 142857 142857 142857 |
| 7 |
Período: 142 857 (6 algarismos)
O período 142 857 ao ser múltiplicado por números naturais de 2 a 6 tem como produto o próprio período mas com os algarismos permutados, daí dizermos que o número 142857 é um número cíclico.
| 2 | x | 142857 | = | 285714 |
| 3 | x | 142857 | = | 428571 |
| 4 | x | 142857 | = | 571428 |
| 5 | x | 142857 | = | 714285 |
| 6 | x | 142857 | = | 857142 |
Outra propriedade, esta observada pelo Entusiasta Matemático e Colaborador do WebSite Os Fantásticos Números Primos Ari Costa, é que a partir de uma fração unitária, neste exemplo, partindo-se da fração 1/7 e permutando-se os numeradores com números naturais, obtêm-se outras dizímas periódicas em que os algarismos do período 142857 também se permutam formando uma Progressão Aritmética cuja razão é também o período 142857.
Interessante observar que os algarismos do período 142857 após permutados se repetem em grupos de 6 em 6 números, isto é, 1 unidade menor que o denominador 7.
| Fração | |||||
| n / 7 | |||||
| e progressão aritmética | |||||
| denominador | numerador | dízima | razão | ||
| (ordem / posição) | periódica | diferença | |||
| 1 | 7 | = | 0,142857143 | ||
| 2 | 7 | = | 0,285714286 | 0,142857143 | |
| 3 | 7 | = | 0,428571429 | 0,142857143 | |
| 4 | 7 | = | 0,571428571 | 0,142857143 | |
| 5 | 7 | = | 0,714285714 | 0,142857143 | |
| 6 | 7 | = | 0,857142857 | 0,142857143 | |
| 7 | 7 | = | 1 | 0,142857143 | |
| 8 | 7 | = | 1,142857143 | 0,142857143 | |
| 9 | 7 | = | 1,285714286 | 0,142857143 | |
| 10 | 7 | = | 1,428571429 | 0,142857143 | |
| 11 | 7 | = | 1,571428571 | 0,142857143 | |
| 12 | 7 | = | 1,714285714 | 0,142857143 | |
| 13 | 7 | = | 1,857142857 | 0,142857143 | |
| 14 | 7 | = | 2 | 0,142857143 | |
| 15 | 7 | = | 2,142857143 | 0,142857143 | |
| 16 | 7 | = | 2,285714286 | 0,142857143 | |
| 17 | 7 | = | 2,428571429 | 0,142857143 | |
| 18 | 7 | = | 2,571428571 | 0,142857143 | |
| 19 | 7 | = | 2,714285714 | 0,142857143 | |
| 20 | 7 | = | 2,857142857 | 0,142857143 | |
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Fonte: Adaptado de Ari Costa
Observação importante: além da razão ser uma constante, as dízimas periódicas possuem fatores primos semelhantes, fato este que não acontece por exemplo na sequência de números naturais que forma uma P.A. de razão 1 e que é uma constante, mas os fatores primos de cada termo são todos diferentes, sendo que há números primos, potências entre os termos, todos inteiros positivos.
Como se observa na tabela acima, os números cíclicos originados de frações cujos numeradores são números naturais e o denominador o número primo 7 se repetem de 6 em 6 números, isto é, p-1.
Quando os numeradores são múltiplos de 7, os quocientes são números inteiros e estes fazem a divisão "natural" das repetições dos números cíclicos da fração 1 / 7.
Os próprios numeradores também são ordens / posições dos respectivos números cíclicos.
Vejamos outras propriedades constatadas em frações unitárias que geram números cíclicos das quais se deduzem as seguintes fórmulas:
i)
Determinado número primo menos 1 unidade, multiplicado por 9 e dividido por este primo, tem como resultado número cíclico.
| [ ( p - 1 ) x 9 ] / p |
ii)
A diferença entre [ ( p - 1 ) x 9 ] e um múltiplo de p.n corresponde a ordem / posição de um número cíclico da fórmula acima.
| [ ( p - 1 ) x 9 ] - p.n |
Exemplos:
a) 7 - 1 = 6
6 x 9 = 54
54 / 7 = 7,714285 714285 714285 714285 714285 7
54 - ( 7 x 7 ) = 5
o período 714285 é o mesmo da fração 5 / 7 de ordem / posição 5.
| 1 | 7 | = | 0,142857 143 | ||
| 2 | 7 | = | 0,285714 286 | 0,142857143 | |
| 3 | 7 | = | 0,428571 429 | 0,142857143 | |
| 4 | 7 | = | 0,571428 571 | 0,142857143 | |
| 5 | 7 | = | 0,714285 714 | 0,142857143 | |
| 6 | 7 | = | 0,857142857 | 0,142857143 | |
| 7 | 7 | = | 1 | 0,142857143 |
b) 7 - 2 = 5
5 x 9 = 45
45 / 7 = 6,428571 428571 428571 428571 428571 4z
45 - ( 7 x 6 ) = 3
o período 428571 é o mesmo da fração 3 / 7 de ordem / posição 3.
| 1 | 7 | = | 0,142857 143 | ||
| 2 | 7 | = | 0,285714 286 | 0,142857143 | |
| 3 | 7 | = | 0,428571 429 | 0,142857143 | |
| 4 | 7 | = | 0,571428 571 | 0,142857143 | |
| 5 | 7 | = | 0,714285 714 | 0,142857143 | |
| 6 | 7 | = | 0,857142857 | 0,142857143 | |
| 7 | 7 | = | 1 | 0,142857143 |
c) 7 - 3 = 4
4 x 9 = 36
36 / 7 = 5, 142857 142857 142857 142857 142857 1
36 - ( 7 x 5 ) = 1
o período 142857 é o mesmo da fração 1 / 7 de ordem / posição 1.
| 1 | 7 | = | 0,142857 143 | ||
| 2 | 7 | = | 0,285714 286 | 0,142857143 | |
| 3 | 7 | = | 0,428571 429 | 0,142857143 | |
| 4 | 7 | = | 0,571428 571 | 0,142857143 | |
| 5 | 7 | = | 0,714285 714 | 0,142857143 | |
| 6 | 7 | = | 0,857142 857 | 0,142857143 | |
| 7 | 7 | = | 1 | 0,142857143 |
d) 7 - 4 = 3
3 x 9 = 27
27 / 7 = 3,857142 857142 857142 857142 857142
27 - ( 7 x 3 ) = 6
o período 857142 é o mesmo da fração 6 / 7 de ordem / posição 6.
| 1 | 7 | = | 0,142857 143 | ||
| 2 | 7 | = | 0,285714 286 | 0,142857143 | |
| 3 | 7 | = | 0,428571 429 | 0,142857143 | |
| 4 | 7 | = | 0,571428 571 | 0,142857143 | |
| 5 | 7 | = | 0,714285 714 | 0,142857143 | |
| 6 | 7 | = | 0,857142 857 | 0,142857143 | |
| 7 | 7 | = | 1 | 0,142857143 |
e) 7 - 5 = 2
2 x 9 = 18
18 / 7 = 2,571428 571428 571428 571428 571428
18 - ( 7 x 2 ) = 4
o período 571428 é o mesmo da fração 4 / 7 de ordem / posição 4.
| 1 | 7 | = | 0,142857 143 | ||
| 2 | 7 | = | 0,285714 286 | 0,142857143 | |
| 3 | 7 | = | 0,428571 429 | 0,142857143 | |
| 4 | 7 | = | 0,571428 571 | 0,142857143 | |
| 5 | 7 | = | 0,714285 714 | 0,142857143 | |
| 6 | 7 | = | 0,857142 857 | 0,142857143 | |
| 7 | 7 | = | 1 | 0,142857143 |
Conforme demonstrado anteriormente, o período 142 857 ( 6 algarismos ) multiplicados pelos números naturais de 2 a 6 geram números cíclicos.
Observando mais atentamente a seguinte tabela e destacando os algarismos do período 142857, percebe-se que números cíclicos também ocorrem nas divisões cujos númeradores são diferentes de 1, isto é, númeradores maiores que 1.
A medida que o númeradores vão aumentando, as dízimas vão aumentado também. As dízimas se repetem em blocos cujos intervalos são de 6 em 6 números.
| Fração | |||||
| n / 7 | |||||
| e progressão aritmética | |||||
| numerador | denominador | dízima | razão | ||
| n | periódica | diferença | |||
| 1 | 7 | = | 0,142857 143 | ||
| 2 | 7 | = | 0,285714 286 | 0,142857143 | |
| 3 | 7 | = | 0,428571 429 | 0,142857143 | |
| 4 | 7 | = | 0,571428 571 | 0,142857143 | |
| 5 | 7 | = | 0,714285 714 | 0,142857143 | |
| 6 | 7 | = | 0,857142 857 | 0,142857143 | |
| 7 | 7 | = | 1 | 0,142857143 | |
| 8 | 7 | = | 1,142857 143 | 0,142857143 | |
| 9 | 7 | = | 1,285714 286 | 0,142857143 | |
| 10 | 7 | = | 1,428571 429 | 0,142857143 | |
| 11 | 7 | = | 1,571428 571 | 0,142857143 | |
| 12 | 7 | = | 1,714285 714 | 0,142857143 | |
| 13 | 7 | = | 1,857142 857 | 0,142857143 | |
| 14 | 7 | = | 2 | 0,142857143 | |
| 15 | 7 | = | 2,142857 143 | 0,142857143 | |
| 16 | 7 | = | 2,285714 286 | 0,142857143 | |
| 17 | 7 | = | 2,428571 429 | 0,142857143 | |
| 18 | 7 | = | 2,571428 571 | 0,142857143 | |
| 19 | 7 | = | 2,714285 714 | 0,142857143 | |
| 20 | 7 | = | 2,857142 857 | 0,142857143 | |
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Outra propriedade observada nos números cíclicos originados do período 142857 ( 6 algarismos ) é que os fatores primos: 3, 11, 13, 37 são fatores comum a todos os números cíclicos e variando o 2 e 5.
| Período 142857 da fração 1 / 7 | |
| e números cíclicos | |
| números cíclicos | fatores primos |
| 142857 | 3^3 × 11 × 13 × 37 |
| 285714 | 2 × 3^3 × 11 × 13 × 37 |
| 428571 | 3^4 × 11 × 13 × 37 |
| 571428 | 2^2 × 3^3 × 11 × 13 × 37 |
| 714285 | 3^3 × 5 × 11 × 13 × 37 |
| 857142 | 2 × 3^4 × 11 × 13 × 37 |
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Observação: os cálculos de fatores primos foram realizados no WebSite:
https://numbermatics.com/
A fração geratriz 1/17 gera a seguinte dízima periódica simples cujo período é 1 unidade menor que o denominador 17.
| 1 | ||
| ----- | = | 0,0588235294117647 0588235294117647 |
| 17 |
Período: 0 588 235 294 117 647 (16 algarismos)
O período 0 588 235 294 117 647 ao ser múltiplicado por números naturais de 2 a 16 resultam em produtos cujos períodos têm os algarismos permutados, daí dizermos que o número 0 588 235 294 117 647 é um número cíclico.
| 2 | x | 0588235294117647 | = | 1176470588235294 |
| 3 | x | 0588235294117647 | = | 1764705882352941 |
| 4 | x | 0588235294117647 | = | 2352941176470588 |
| 5 | x | 0588235294117647 | = | 2941176470588235 |
| 6 | x | 0588235294117647 | = | 3529411764705882 |
| ... | ... | ... | ||
| ... | ... | ... | ||
| 16 | x | 0588235294117647 | = | 9411764705882352 |
Fonte: Adaptado de [1] Alves, Diego Pereira. Dízimas Periódicas: Números Cíclicos e Teorema de Midy / Diego Pereira Alves. – 2022.40 f. Dissertação (mestrado).
As dízimas periódicas originadas das frações cujos numeradores são números naturais e o denominador o número primo 17 formam progressão aritmética cuja razão é o período 0 588 235 294 117 647 (número cíclico).
| Fração | ||||
| n / 17 | ||||
| e progressão aritimética | ||||
| fração | dízima | razão | ||
| 1 / 17 | = | 0588235294117647 | = | |
| 2 / 17 | = | 1176470588235294 | = | 0588235294117647 |
| 3 / 17 | = | 1764705882352941 | = | '' |
| 4 / 17 | = | 2352941176470588 | = | '' |
| 5 / 17 | = | 2941176470588235 | = | '' |
| 6 / 17 | = | 3529411764705882 | = | ' |
| 7 / 17 | = | 4117647058823529 | = | '' |
| 8 / 17 | = | 4705882352941176 | = | '' |
| 9 / 17 | = | 5294117647058823 | = | '' |
| 10 / 17 | = | 5882352941176470 | = | '' |
| 11 / 17 | = | 6470588235294117 | = | '' |
| 12 / 17 | = | 7058823529411764 | = | '' |
| 13 / 17 | = | 7647058823529411 | = | '' |
| 14 / 17 | = | 8235294117647058 | = | '' |
| 15 / 17 | = | 8823529411764705 | = | '' |
| 16 / 17 | = | 9411764705882352 | = | '' |
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Os números cíclicos originados do período 0 588 235 294 117 647 (16 algarismos) apresentam os fatores primos 3, 11, 73, 137, 5882353 comuns a todos eles e variando os fatores 2 e 5.
Um fato curioso é que dividindo o número cíclico em duas partes (8 algarismos cada):
1) 05882352;
2) 94117647;
e eliminarmos o 0 (zero) da primeira parte, o número 5882352 é 1 unidade menor que o fator primo 5882353.
| Período 0 588 235 294 117 647 | |
| da fração 1 / 17 | |
| e fatores primos | |
| números | fatores |
| cíclicos | primos |
| 0588235294117647 | |
| 1176470588235294 | 2 × 3^2 × 11 × 73 × 101 × 137 × 5882353 |
| 1764705882352941 | 3^3 × 11 × 73 × 101 × 137 × 5882353 |
| 2352941176470588 | 2^2 × 3^2 × 11 × 73 × 101 × 137 × 5882353 |
| 2941176470588235 | 3^2 × 5 × 11 × 73 × 101 × 137 × 5882353 |
| 3529411764705882 | 2 × 3^3 × 11 × 73 × 101 × 137 × 5882353 |
| 4117647058823529 | 3^2 × 7 × 11 × 73 × 101 × 137 × 5882353 |
| 4705882352941176 | 2^3 × 3^2 × 11 × 73 × 101 × 137 × 5882353 |
| 5294117647058823 | 3^4 × 11 × 73 × 101 × 137 × 5882353 |
| 5882352941176470 | 2 × 3^2 × 5 × 11 × 73 × 101 × 137 × 5882353 |
| 6470588235294117 | 3^2 × 11^2 × 73 × 101 × 137 × 5882353 |
| 7058823529411764 | 2^2 × 3^3 × 11 × 73 × 101 × 137 × 5882353 |
| 7647058823529411 | 3^2 × 11 × 13 × 73 × 101 × 137 × 5882353 |
| 8235294117647058 | 2 × 3^2 × 7 × 11 × 73 × 101 × 137 × 5882353 |
| 8823529411764705 | 3^3 × 5 × 11 × 73 × 101 × 137 × 5882353 |
| 9411764705882352 | 2^4 × 3^2 × 11 × 73 × 101 × 137 × 5882353 |
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Observação: os cálculos de fatores primos foram realizados no WebSite:
https://numbermatics.com/
A fração geratriz 1 / 19 gera a seguinte dízima periódica simples cujo período é 1 unidade menor que o denominador 19.
| 1 | ||
| --- | = | 0,052 631 578 947 368 421 |
| 19 |
Período: 052 631 578 947 368 421 (18 algarismos)
O período 052 631 578 947 368 421 múltiplicado por números naturais de 2 a 18 têm os mesmos resultados (números cíclicos) das frações cujos numeradores são de 2 a 18 e o denominador 19, após a vígula.
Exemplos:
a) 2 x 052631578947368421 = 105263157894736842
b) 3 x 052631578947368421 = 157894736842105263
c) 4 x 052631578947368421 = 210526315789473684
Confome se observa, os números cíclicos também são gerados das frações em que os númeradores vão de 2 a 18, não havendo a necessidade de se multiplicar número natural pelo período 052 631 578 947 368 421 (18 algarismos).
| Frações |
| 1/19 a 18/19 |
| dízimas periódicas (números cíclicos) |
| 1 / 19 = 0,052631578947368421 |
| 2 / 19 = 0,105263157894736842 |
| 3 / 19 = 0,157894736842105263 |
| 4 / 19 = 0,210526315789473684 |
| 5/19 = 0,263157894736842105 |
| 6 / 19 = 0,315789473684210526 |
| 7 / 19 = 0,368421052631578947 |
| 8 / 19 = 0,421052631578947368 |
| 9 / 19 = 0,473684210526315789 |
| 10/19 = 0,526315789473684210 |
| 11/19 = 0,578947368421052631 |
| 12 /19 = 0,631578947368421052 |
| 13 / 19 = 0,684210526315789473 |
| 14 / 19 = 0,736842105263157894 |
| 15 / 19 = 0,789473684210526315 |
| 16 / 19 = 0,842105263157894736 |
| 17 / 19 = 0,894736842105263157 |
| 18 / 19 = 0,947368421052631578 |
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As dízimas periódicas originadas das frações cujos numeradores são números naturais e o denominador o número primo 19 formam progressão aritmética cuja razão é o período 052 631 578 947 368 421 (número cíclico).
| Frações | |
| 1/19 a 18/ 19 | |
| dízimas periódicas | diferença |
| razão | |
| 1 / 19 = 0,052631578947368421 | |
| 052631578947368421 | |
| 2 / 19 = 0,105263157894736842 | |
| 052631578947368421 | |
| 3 / 19 = 0,157894736842105263 | |
| 052631578947368421 | |
| 4 / 19 = 0,210526315789473684 | |
| 052631578947368421 | |
| 5 / 19 = 0,263157894736842105 | |
| 052631578947368421 | |
| 6 / 19 = 0,315789473684210526 | |
| 052631578947368421 | |
| 7/ 19 = 0,368421052631578947 | |
| 052631578947368421 | |
| 8 / 19 = 0,421052631578947368 | |
| 052631578947368421 | |
| 9 / 19 = 0,473684210526315789 | |
| 052631578947368421 | |
| 10 / 19 = 0,526315789473684210 | |
| 052631578947368421 | |
| 11 / 19 = 0,578947368421052631 | |
| 052631578947368421 | |
| 12 / 19 = 0,631578947368421052 | |
| 052631578947368421 | |
| 13 / 19 = 0,684210526315789473 | |
| 052631578947368421 | |
| 14 / 19 = 0,736842105263157894 | |
| 052631578947368421 | |
| 15 / 19 = 0,789473684210526315 | |
| 052631578947368421 | |
| 16 / 19 = 0,842105263157894736 | |
| 052631578947368421 | |
| 17 / 19 = 0,894736842105263157 | |
| 052631578947368421 | |
| 18 / 19 = 0,947368421052631578 | |
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Os números cíclicos originados do período 052 631 578 947 368 421 (18 algarismos) apresentam os fatores primos 3, 7, 11, 13, 37, 52579 e 333667 comuns a todos eles e variando os fatores 2 e 5.
052631 578947 368421
| Fração | |
| n / 19 | |
| números cíclicos | fatores |
| primos | |
| 052631578947368421 | 3^4 × 7 × 11 × 13 × 37 × 52579 × 333667 |
| 105263157894736842 | 2 × 3^4 × 7 × 11 × 13 × 37 × 52579 × 333667 |
| 157894736842105263 | 3^5 × 7 × 11 × 13 × 37 × 52579 × 333667 |
| 210526315789473684 | 2^2 × 3^4 × 7 × 11 × 13 × 37 × 52579 × 333667 |
| 0263157894736842105 | 3^4 × 5 × 7 × 11 × 13 × 37 × 52579 × 333667 |
| 315789473684210526 | 2 × 3^5 × 7 × 11 × 13 × 37 × 52579 × 333667 |
| 368421052631578947 | 3^4 × 7^2 × 11 × 13 × 37 × 52579 × 333667 |
| 421052631578947368 | 2^3 × 3^4 × 7 × 11 × 13 × 37 × 52579 × 333667 |
| 473684210526315789 | 3^6 × 7 × 11 × 13 × 37 × 52579 × 333667 |
| 526315789473684210 | 2 × 3^4 × 5 × 7 × 11 × 13 × 37 × 52579 × 333667 |
| 578947368421052631 | 3^4 × 7 × 11^2 × 13 × 37 × 52579 × 333667 |
| 631578947368421052 | 2^2 × 3^5 × 7 × 11 × 13 × 37 × 52579 × 333667 |
| 684210526315789473 | 3^4 × 7 × 11 × 13^2 × 37 × 52579 × 333667 |
| 736842105263157894 | 2 × 3^4 × 7^2 × 11 × 13 × 37 × 52579 × 333667 |
| 789473684210526315 | 3^5 × 5 × 7 × 11 × 13 × 37 × 52579 × 333667 |
| 842105263157894736 | 2^4 × 3^4 × 7 × 11 × 13 × 37 × 52579 × 333667 |
| 894736842105263157 | 3^4 × 7 × 11 × 13 × 17 × 37 × 52579 × 333667 |
| 947368421052631578 | 2 × 3^6 × 7 × 11 × 13 × 37 × 52579 × 333667 |
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Observação: os cálculos de fatores primos foram realizados no WebSite:
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Martin Gardner, em seu livro Circo Matemático, relata: "que entre os números primos menores que 100 há exatamente nove que geram números cíclicos, a saber: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97.” [1]
Analisando os números primos:
a) 7 é Primo de Mersenne, será que 127 e outros Primos de Mersenne que terminam em 7 podem gerar números cíclicos?
b) 17 é um Primo de Fermat, será que 257 e 65.537 que terminam em 7 podem gerar números cíclicos?
c) 7 é 1 unidade maior que o número perfeito 6.
d) 29 é 1 unidade maior que o número perfeito 28.
e) será que 33.550.337 e 137.438.691.329 que são primos e 1 unidade maior que os perfeitos 33.550.336 e 137.438.691.328 respectamente e outros podem gerar números cíclicos?
Autor: Ricardo Silva - abril/2025
[1] ALVES, Diego Pereira. Dízimas Periódicas: Números Cíclicos e Teorema de Midy / Diego Pereira Alves. – 2022.40 f. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional, Fortaleza, 2022.
Iezzi, Gelson. Matemática e Realidade: 8 ano. Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce. Antonio Machado - 6a ed - São Paulo: Atual, 2009
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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