Nos estudos com números naturais, os estudiosos gregos, mais especificamente, os Pitagóricos, descobriram diversas propriedades matemáticas. Eles perceberam que determinado número quando dividido por um outro número deixava resto zero, isto é, a divisão era exata, enquanto outros a divisão não era exata, deixando sempre um resto.
No primeiro caso, quando a divisão é exata, diz-se que o segundo número é divisor do primeiro número, ou que também, que o primeiro número é múltiplo do segundo número.
A partir desses estudos, eles verificaram também que determinados números possuiam somente 2 divisores: o número 1 e o próprio número, os quais passaram a denominarem de primordiais, os quais atualmente são chamados de números primos, enquanto outros números, possuiam mais de 2 divisores, os quais denominaram de números compostos.
Em relação aos divisores de um número, os Pitágóricos denominavam de divisores próprios, os divisores de um número, excetuando-se o próprio número.
Exemplos:
D(2):{1, 2)
divisor próprio de 2 é 1.
D(3):{1, 3)
divisor próprio de 3 é 1.
Observação: todo divisor próprio de um número primo é o número 1.
D(4):{1, 2, 4)
divisores próprios de 4 é 1 e 2.
D(12):{1, 2, 3, 4, 6, 12)
divisores próprios de 12 são 1, 2, 3, 4 e 6.
Outro fato matemático que descobriram é que determinado número quando somados os seus divisores próprios (exceto o próprio número) resultavam nesse mesmo número e que passaram a ser chamados de números perfeitos.
6, 28, 496, 8128 são exemplos de alguns números perfeitos.
O algoritmo da Decomposição em Fatores Primos permite saber:
a) os fatores primos de um número;
b) a quantidade de divisores de um número;
c) os divisores de determinado número natural;
d) o menor múltiplo comum (MMC) entre dois ou mais números;
e) o máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números;
e também saber se um número é primo, composto, número quadrado perfeito, número cúbico, etc.
| Decomposição em | |||
|---|---|---|---|
| fatores primos | |||
| número 6 | |||
| Coluna 1 | Coluna 2 | Coluna 3 | coluna 4 |
| Fatores Primos | Divisores | ||
| 1 | |||
| 6 | 2 | 2 | |
| 3 | 3 | 3 | 6 |
| 1 | |||
coloca-se o 6 na coluna 1;
dividi-se o 6 pelo menor número primo, o 2 (coluna 2);
o resultado é 3, coloca-se abaixo do 6 (coluna 1);
dividi-se o 3 pelo próximo número primo, o 3 (coluna 2);
o resultado é 1 (coluna 1);
os fatores primos de 6 são os números 2 e o 3 (coluna 2).
coloca-se o número 1 na coluna 3;
multiplica-se o 2 (coluna 2) por 1 (coluna 3);
coloca-se o produto 2 abaixo do 1 (coluna 3);
multiplica-se 3 (coluna 2) por 1 (coluna 3);
coloca-se o produto 3 abaixo do 2 (coluna 3);
multiplica-se 3 (coluna 2) por 2 (coluna 3);
coloca-se o produto 6 ao lado do 3 (coluna 4);
os divisores de 6 são: 1, 2, 3, 6.
D(6): {1, 2, 3, 6}
4 são os divisores de 6.
6 = 21 x 31
Soma-se 1 (uma) unidade a cada expoente e os multiplicam.
21+1 x 31+1
2 x 2 = 4
4 são os divisores de 6.
1, 2 e 3 são os divisores próprios de 6.
1 + 2 + 3 = 6
Por meio da seguinte fórmula algébrica pode-se saber a soma de uma progressão geométrica (P.G.)
| qn - 1 | ||||
| Sn | = | a1 | x | ______ |
| q - 1 |
Por meio da seguinte fórmula algébrica pode-se saber a soma dos divisores de um número natural.
Observação: reparar que a fórmula da soma dos divisores de um número natural tem estrutura semelhante a da fórmula da soma de uma progressão geométrica (P.G.)
| p1α1+1 - 1 | p2α2+1 - 1 | pkαk+1 - 1 | ||||
| Sn | = | ______ | x | ______ | ... | ______ |
| p1 - 1 | p2 - 1 | pk - 1 |
Conforme demostrado acima, os fatores primos do número 6 são o 2 e o 3.
Substituindo-os na fórmula da soma dos divisores de um número natural e somando-se 1 (uma unidade aos expontes) e efetuando as operações...
i)
| 2 1 + 1 - 1 | 3 1 + 1 - 1 | |||
| S6 | = | ______ | x | ______ |
| 2 - 1 | 3 - 1 |
ii)
| 22 - 1 | 3 2 - 1 | |||
| S6 | = | ______ | x | ______ |
| 2 - 1 | 3 - 1 |
iii)
| 4 - 1 | 9 - 1 | |||
| S6 | = | (______) | x | (______) |
| 1 | 2 |
iv)
| 3 | 8 | |||
| S6 | = | (______) | x | (______) |
| 1 | 2 |
v)
| S6 | = | 3 | x | 4 |
vi)
... obtem-se a soma dos divisores próprios e imprópio (todos os divisores) do número perfeiro 6.
| S6 | = | 12 |
A soma dos divisores de 6 é 12 (12 é o dobro de 6).
Subtraindo o número 6 de 12 temos como resultado 6 que é um número perfeito.
Observação: assim como o número 6, o número 11 também tem a soma de seus divisores 12, mas subtraindo 11 de 12 o resultado é 1.
28 é um número perfeito e triangular, fazendo a decomposição em fatores primos temos:
| Números Perfeito 28 | ||||
|---|---|---|---|---|
| Fatores Primos | Divisores | |||
| 1 | ||||
| 28 | 2 | 2 | ||
| 14 | 2 | 4 | ||
| 7 | 7 | 7 | 14 | 28 |
| 1 | ||||
D(28): 1, 2, 4, 7, 14, 28
A soma dos divisores próprios, excluído o próprio número:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
2, 2, 7
Substituindo os os fatores primos de 28 na fórmula da soma dos divisores de um número natural e somando-se 1 (uma unidade aos expontes) e efetuando as operações...
i)
| 2 2 + 1 - 1 | 7 1 + 1 - 1 | |||
| S28 | = | ______ | x | ______ |
| 2 - 1 | 7 - 1 |
ii)
| 23 - 1 | 7 2 - 1 | |||
| S28 | = | ______ | x | ______ |
| 2 - 1 | 7 - 1 |
iii)
| 8 - 1 | 49 - 1 | |||
| S28 | = | (______) | x | (______) |
| 1 | 6 |
iv)
| 7 | 48 | |||
| S28 | = | (______) | x | (______) |
| 1 | 6 |
v)
| S28 | = | 7 | x | 8 |
vi)
... obtem-se a soma dos divisores próprios e imprópio (todos os divisores) do número perfeiro 28.
| S28 | = | 56 |
A soma dos divisores de 28 é 56 (56 é o dobro de 28).
Subtraindo o número 28 de 56 temos como resultado 28 que é um número perfeito.
Observação: assim como o número 28, o número 39 também tem a soma de seus divisores 56, mas subtraindo 39 de 56 o resultado é 17.
Autor: Ricardo Silva - março/2023
SILVA, Claudio Xavier da. Matemática aula por aula / Claudio Xavier da Silva, Benigno Barreto Filho. - 2 ed. renov. - São Paulo : FTD, 2006. - Coleção matemática aula por aula)
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
WETCOTT, W. Wynn. Os Poderes Ocultos dos Números. Tradução Editora Tecnoprint S.A., 1987
TIAGO, Cícero. Aritmética: Multiplos e Divisores. PAPMEM - julho 2023 -
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