Os estudos que se seguem em parte estão publicados no livro digital Números Perfeitos e Sequências Numéricas, e aqui são apresentadas novas relações numéricas com as sequências de números triangulares e números piramidais tetraédricos com números perfeitos.
Números figurados são números que por meio de arranjos de pontos podemos formar figuras geométricas:
a) lineares - de uma só dimensão;
b) bidimensionais - de duas dimensões como: triângulos, quadrados, retângulos, etc...;
c) tridimensionais - de três dimensões como: pirâmides (números piramidais); poliedros (números poliédricos).
Números triangulares são números que podem representar figuras geométricas de triângulos.
Podemos obter números triangulares por meio:
a) da soma de números naturais consecutivos;
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
b) do produto de dois números consecutivos (números retangulares) dividido por 2;
(1 x 2) / 2 = 1
(2 x 3) / 2 = 3
(3 x 4) / 2 = 6
A tabela apresenta os 20 primeiros números triangulares.
A sequência de números naturais correspondem a própria ordem / posição de um número triangular.
Um número triangular cuja posição é impar é divisível por essa posição ímpar.
1 : 1 = 1
6 : 3 = 2
15 : 5 = 3
Somando-se números naturais consecutivos até um número ímpar, está soma será divisível pela última parcela dessa soma.
a) (1 + 2 + 3) / 3 =
= 6 / 3 = 2
b) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) / 5 =
= 15 / 5 = 3
c) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 ) / 7 =
= 28 / 7 = 4
Interessante observar que a cada dois números triangulares, um é divisível por sua ordem / posição.
| Números triangulares | |
|---|---|
| Números | Números |
| naturais | triangulares |
| ordem/ | |
| posição | |
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 6 |
| 4 | 10 |
| 5 | 15 |
| 6 | 21 |
| 7 | 28 |
| 8 | 36 |
| 9 | 45 |
| 10 | 55 |
| 11 | 66 |
| 12 | 78 |
| 13 | 91 |
| 14 | 105 |
| 15 | 120 |
| 16 | 136 |
| 17 | 153 |
| 18 | 171 |
| 19 | 190 |
| 20 | 210 |
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Número tetraédrico ou número piramidal triangular, é um número figurado que pode ser representado por uma pirâmide com uma base e três lados, isto é, um tetraedro.
Podemos obter números tetraédricos por meio:
a) da soma de números triangulares consecutivos;
1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 6 = 10
b) da fórmula algébrica (produto de 3 números consecutivos divido por 6);
| 1 x n x ( n + 1) x ( n + 2) |
| __________________ |
| 6 |
(1 x 2 x 3) / 6 = 1
(2 x 3 x 4) / 6 = 4
(3 x 4 x 5) / 6 = 10
A tabela apresenta os 20 primeiros números naturais, triangulares e tetraédricos.
Interessante observar que a cada três números tetraédricos, um é divisível por um número triangular e por sua ordem / posição.
1 divide o triangular 1 e a sua posição 1.
20 divide o triangular 10 e a sua posição 4.
84 divide o triangular 28 e a sua posição 7.
| Números piramidais | ||
|---|---|---|
| (números tetraédricos) | ||
| Números | Números | Números |
| naturais | triangulares | tetraédricos |
| ordem/ | ||
| posição | ||
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 |
| 3 | 6 | 10 |
| 4 | 10 | 20 |
| 5 | 15 | 35 |
| 6 | 21 | 56 |
| 7 | 28 | 84 |
| 8 | 36 | 120 |
| 9 | 45 | 165 |
| 10 | 55 | 220 |
| 11 | 66 | 286 |
| 12 | 78 | 364 |
| 13 | 91 | 455 |
| 14 | 105 | 560 |
| 15 | 120 | 680 |
| 16 | 136 | 816 |
| 17 | 153 | 969 |
| 18 | 171 | 1140 |
| 19 | 190 | 1330 |
| 20 | 210 | 1540 |
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Número perfeito é um número cuja a soma dos seus divisores, excluindo o próprio número, resulta no próprio número.
Os 7 primeiros números perfeitos são:
1) 6;
2) 28;
3) 496;
4) 8.128;
5) 33.550.336;
6) 8.589.869.056;
7) 137.438.691.328.
Número Perfeito pode ser obtido por meio:
a) do produto de uma potência de base 2 por um número quase-potência de base 2 (Número de Mersenne);
b) do produto de um número quase-potência de base 2 (Número de Mersenne) por uma potência de base 2 dividido por 2.
Exemplo 1)
2 x 3 (quase-potência de base 2) = 6
ou
3 (quase-potência de base 2) x 4 / 2 = 6
Exemplo 2)
4 x 7 (quase-potência de base 2) = 28
ou
7 (quase-potência de base 2) x 8 / 2 = 28
Determinados números triangulares e números tetraédricos apresentam interessantes relações com números perfeitos, vejamos:
| Números | Números | Números |
| naturais | triangulares | tetraédricos |
| ordem/ | ||
| posição | ||
| 6 | 56 | |
| 7 | 28 | 84 |
| 8 | ||
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a) 7 é um número quase-potência de base 2 (Número de Mersenne);
b) 2 x 2 x 2 = 22 = 8 (potência de base 2);
c) 28 é o segundo número perfeito;
d) 4 x 7 = 28;
e) (7 x 8) / 2 = 28;
f) 28 é um número triangular cuja ordem / posição é 7;
g) a soma dos 6 primeiros números triangulares (56) que é um número tetraédrico é divisível por 28;
h) a soma dos 7 primeiros números triangulares (84) que é um número tetraédrico é divisível por 28.
| Números | Números | Números |
| naturais | triangulares | tetraédricos |
| ordem/ | ||
| posição | ||
| 30 | 4960 | |
| 31 | 496 | 5456 |
| 32 | ||
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a) 31 é um número quase-potência de base 2 (Número de Mersenne);
b) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 = 32 (potência de base 2);
c) 496 é o terceiro número perfeito;
d) 16 x 31 = 496;
e) (31 x 32) / 2 = 496;
f) 496 é um número triangular cuja ordem / posição é 31;
g) a soma dos 30 primeiros números triangulares (4.960) que é um número tetraédrico, é divisível por 496;
h) a soma dos 31 primeiros números triangulares (5.456) que é um número tetraédrico, é divisível por 496.
| Números | Números | Números |
| naturais | triangulares | tetraédricos |
| ordem/ | ||
| posição | ||
| 126 | 341.376 | |
| 127 | 8.128 | 349.504 |
| 128 | ||
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a) 127 é um número quase-potência de base 2 (Número de Mersenne);
b) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 7 = 25 = 128 (potência de base 2);
c) 8.128 é o terceiro número perfeito;
d) 64 x 127 = 8.128;
e) (127 x 128) / 2 = 8.128;
f) 8.128 é um número triangular cuja ordem / posição é 127;
g) a soma dos 126 primeiros números triangulares (341.376) que é um número tetraédrico, é divisível por 8.128;
h) a soma dos 127 primeiros números triangulares (349.504) que é um número tetraédrico, é divisível por 8.128.
A tabela a seguir apresenta as 20 primeiras somas de números quadrados perfeitos consecutivos.
| Soma de números | ||
|---|---|---|
| quadrados perfeitos | ||
| consecutivos | ||
| números | números | soma de |
| naturais | quadrados | quadrados |
| consecutivos | ||
| 1 | 1 | |
| 2 | 4 | 5 |
| 3 | 9 | 14 |
| 4 | 16 | 30 |
| 5 | 25 | 55 |
| 6 | 36 | 91 |
| 7 | 49 | 140 |
| 8 | 64 | 204 |
| 9 | 81 | 285 |
| 10 | 100 | 385 |
| 11 | 121 | 506 |
| 12 | 144 | 650 |
| 13 | 169 | 819 |
| 14 | 196 | 1015 |
| 15 | 225 | 1240 |
| 16 | 256 | 1496 |
| 17 | 289 | 1785 |
| 18 | 324 | 2109 |
| 19 | 361 | 2470 |
| 20 | 400 | 2870 |
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Por meio da seguinte Fórmula:
| n (n + 1) ( 2n + 1) | ||
| SQ | = | ______________ |
| 6 |
podemos obter a soma de números quadrados perfeitos consecutivos.
Exemplo:
a) quanto é a soma dos números quadrados:
12 + 22 + 32 = ?
| n x (n + 1) x ( 2n + 1) | ||
| SQ | = | _________________ |
| 6 |
| 3 x (3 + 1) x ( 2 x 3 + 1) | ||
| SQ | = | __________________ |
| 6 |
| 3 x ( 4 ) x (7) | ||
| SQ | = | __________ |
| 6 |
| 84 | ||
| SQ | = | __________ |
| 6 |
| SQ | = | 14 |
A soma de 2 números tetraédricos consecutivos têm como resultado a soma de números quadrados perfeitos consecutivos.
| Soma de 2 | ||
|---|---|---|
| números tetraédricos | ||
| consecutivos | ||
| ordem/ | números | soma de 2 |
| posição | tetraedricos | números |
| tetraédricos | ||
| consecutivos | ||
| 1 | 1 | 5 |
| 2 | 4 | 14 |
| 3 | 10 | 30 |
| 4 | 20 | 55 |
| 5 | 35 | 91 |
| 6 | 56 | 140 |
| 7 | 84 | 204 |
| 8 | 120 | 285 |
| 9 | 165 | 385 |
| 10 | 220 | 506 |
| 11 | 286 | 650 |
| 12 | 364 | 819 |
| 13 | 455 | 1015 |
| 14 | 560 | 1240 |
| 15 | 680 | 1496 |
| 16 | 816 | 1785 |
| 17 | 969 | 2109 |
| 18 | 1140 | 2470 |
| 19 | 1330 | 2870 |
| 20 | 1540 | 3311 |
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Autor: Ricardo Silva - maio /2022
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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