Equação do Segundo Grau, também conhecida por Equação Quadrática, pode ser resolvida pela Fórmula Resolutiva de Equação do Segundo Grau, denominada no Brasil por Fórmula de Bháskara e também por diversos outros métodos. (veja relação abaixo).
O grande diferencial de se utilizar a Fórmula de Bháskara é que com ela podem ser resolvidas tanto equações completas quanto equações incompletas do segundo grau.
A Fórmula de Bháskara também possui o número Δ (Delta), que é chamado de Discriminante da Equação do Segundo Grau: ax2 + bx + c = 0, pelo qual podemos saber quantas raízes reais uma equação tem antes de desenvolvê-la.
Números triangulares, também denominados de figurados, geométricos, são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de triângulos.
a) soma de números naturais consecutivos
1
O número 1 por convenção é um número figurado.
1 + 2 = 3
2, a última parcela da soma é a ordem / posição do triangular 3.
1 + 2 + 3 = 6
3, a última parcela da soma é a ordem / posição do triangular 6.
1 + 2 + 3 + 4 = 10
4, a última parcela da soma é a ordem / posição do triangular 10.
b) produto de dois números consecutivos dividido por 2.
(1 x 2) / 2 = 1
o primeiro fator 1 é a ordem / posição do triangular 1.
(2 x 3) / 2 = 3
o primeiro fator 2 é a ordem / posição do triangular 3.
(3 x 4) / 2 = 6
o primeiro fator 3 é a ordem / posição do triangular 6.
Observação importante: o produto de 2 números naturais consecutivos têm como resultados números retagulares, também denominados de números oblongos.
Nos exemplos demonstrados acima, está explícito nas operações de adições e multiplicações a ordem / posição que um número triangular ocupa na Sequência de Números Triangulares.
Alguns números triangulares em sua respectiva ordem / posição.
| Ordem / posição | Número Triangular |
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 6 |
| 4 | 10 |
| 5 | 15 |
| 6 | 21 |
| 7 | 28 |
| 8 | 36 |
| 9 | 45 |
| 10 | 55 |
Precisa se saber se o número 28 é um número triangular, olhando na tabela acima, constata-se que se sim.
Fazemos de conta que não é triangular e precisamos verificar.
Para isso, podemos fazemos uso da seguinte fórmula:
i)
| n2 + n | ||
| Tn | = | _____________ |
| 2 |
ii)
| n2 + n | ||
| 28 | = | _____________ |
| 2 |
iii)
| 2 x 28 | = | n2 + n |
iv)
| 56 | = | n2 + n |
e chegamos à uma equação completa do segundo grau em que o primeiro membro não é um Trinômio Quadrado Perfeito.
n2 + n - 56 = 0
Observação importante: o termo independente "c" 56, um número retangular / oblongo, é o dobro do triangular 28.
Para se saber qual é a posição do número triangular 28 e consequentemente o primeira fator do produto de dois números consecutivos, precisa-se utilizar a Fórmula Resolutiva de Equação do Segundo Grau / Fórmula de Bháskara.
Acesse a matéria:
005-texto-030-equacao-segundo-grau-numeros-triangulares
para ver a resolução deste problema.
Como exposto acima, o diferencial da Fórmula de Bháskara é que por meio do Número Δ (Delta), o Discriminante da Equação do Segundo Grau, podemos saber quantas raízes reais uma equação tem antes de desenvolvê-la.
| - b ± √b 2 - 4 . a .c | ||
| x | = | _____________ |
| 2.a |
| Δ = b2 - 4 . a . c |
Quando Δ > 0 (maior que 0) , a equação tem duas raízes reais distintas.
Quando Δ = 0 (igual a 0), a equação tem duas raízes reais iguais.
Quando Δ < 0 (menor que 0), a equação não tem raízes reais.
Equação do Segundo Grau em que o Δ < 0 (menor que zero) apresenta raiz quadrada de número negativo.
Raiz quadrada de número negativo não tem solução no Conjunto dos Números Reais.
Resolver uma Equação do Segundo Grau é encontrar dois números cuja soma e o produto são dados.
Partindo-se do exemplo da equação:
n2 + n - 56 = 0
podemos formar diversas outras equações semelhantes cujo termo independente "c" é o dobro de um número triangular com sinal negativo.
Mundando-se o termo "c" para qualquer número diferente do dobro de um número triangular com sinal negativo, o Δ (Delta) tem como resultados raízes quadradas não exatas, isto é, resultados de números irracionais.
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Interessante observar, que nos intervalos entre os números Δ (Delta) com números quadrados perfeitos ímpares, as quantidades de números irracionais formam progressão aritmética de números naturais: 1, 2, 3, 4, 5,...
Na equação: n2 + n - 1 = 0, com o termo independente "c" sendo -1, o resultado é o Número de Ouro: 1,6180..., conhecido também como Número Áureo, Número Dourado, Razão Dourada.
| Números Triangulares | ||||
|---|---|---|---|---|
| e valores do Δ (Delta) | ||||
| Posição/ | Número | Equação | Δ | |
| ordem | natural | an2 + bn + c = 0 | (Delta) | |
| 1 | 1 | triangular | n2 + n - 2 = 0 | 9 |
| 2 | n2 + n - 4 = 0 | irracional | ||
| 2 | 3 | triangular | n2 + n - 6 = 0 | 25 |
| 4 | n2 + n - 8 = 0 | irracional | ||
| 5 | n2 + n - 10 = 0 | irracional | ||
| 3 | 6 | triangular | n2 + n - 12 = 0 | 49 |
| 7 | n2 + n - 14 = 0 | irracional | ||
| 8 | n2 + n - 16 = 0 | irracional | ||
| 9 | n2 + n - 18 = 0 | irracional | ||
| 4 | 10 | triangular | n2 + n - 20 = 0 | 81 |
| 11 | n2 + n - 22 = 0 | irracional | ||
| 12 | n2 + n - 24 = 0 | irracional | ||
| 13 | n2 + n - 26 = 0 | irracional | ||
| 14 | n2 + n - 28 = 0 | irracional | ||
| 5 | 15 | triangular | n2 + n - 30 = 0 | 121 |
| 16 | n2 + n - 32 = 0 | irracional | ||
| 17 | n2 + n - 34 = 0 | irracional | ||
| 18 | n2 + n - 36 = 0 | irracional | ||
| 19 | n2 + n - 38 = 0 | irracional | ||
| 20 | n2 + n - 40 = 0 | irracional | ||
| 6 | 21 | triangular | n2 + n - 42 = 0 | 169 |
| 22 | n2 + n - 44 = 0 | irracional | ||
| 23 | n2 + n - 46 = 0 | irracional | ||
| 24 | n2 + n - 48 = 0 | irracional | ||
| 25 | n2 + n - 50 = 0 | irracional | ||
| 26 | n2 + n - 52 = 0 | irracional | ||
| 27 | n2 + n - 54 = 0 | irracional | ||
| 7 | 28 | triangular | n2 + n - 56 = 0 | 225 |
| 29 | n2 + n - 58 = 0 | irracional | ||
| 30 | n2 + n - 60 = 0 | irracional | ||
| 31 | n2 + n - 61 = 0 | irracional | ||
| 32 | n2 + n - 64 = 0 | irracional | ||
| 33 | n2 + n - 66 = 0 | irracional | ||
| 34 | n2 + n - 68= 0 | irracional | ||
| 35 | n2 + n - 70 = 0 | irracional | ||
| 8 | 36 | triangular | n2 + n - 72 = 0 | 289 |
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Método de Resolução Convencional
Método da Semi-Soma e do Produto
Método Alternativo
Demonstração Independente do Conhecimento da Fórmula
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Outro Método Geométrico
Método da Falsa Posição Dupla
Autor: Ricardo Silva - setembro /2022
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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