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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Progressões Aritméticas Cíclicas - 660

Progressão Aritmética, ou simplesmente P.A. é uma sequência numérica em que a razão (diferença entre dois termos) é uma constante.

Progressão Aritmética Finita possue propriedades muito importantes:

a) a soma de dois termos equistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual a soma dos termos dos extremos.

b) a média aritmética de dois termos equistantes dos extremos é igual ao termo do meio, tendo a P.A. finita, quantidade de termos ímpares;

c) a média aritmética, considerando 3 termos consecutivos de uma P.A finita, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois termos.

O presente estudo demonstra que uma mesma progressão aritmética pode ser formada tanto pela soma de uma razão quanto por um divisor constante.

Demonstra também que progressão aritmética gerada por um divisor constante pode ser uma progressão aritmética cíclica, pois ela pode ser gerada mais de uma vez a partir de uma progressão aritmética matriz.

Dispositivos Numéricos

Dispositivos numéricos, como o próprio nome diz, são instrumentos que nos auxiliam em operações matemáticas como a famosa Tabuada de Multiplicação, como também, conter em sua estrutura diversas relações matemáticas entre números naturais, números figurados, números combinatórios, números binominais, bem como, com a geometria como o também famoso Triângulo de Pascal.

Podemos construir infinitas tabelas com números naturais com colunas fixas, de forma que a última coluna, seja formada por múltiplos de um número natural.

Exemplos:

Tabela com 2 colunas

A segunda coluna é formada por múltiplos de 2.

Tabela 1
   
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
15 16
17 18
19 20

Tabela com 3 colunas

A terceira coluna é formada por múltiplos de 3.

Tabela 2
     
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15
16 17 18
19 20 21
22 23 24
25 26 27
28 29 30

Tabela com 4 colunas

A quarta coluna é formada por múltiplos de 4.

Tabela 3
       
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
17 18 19 20
21 22 23 24
25 26 27 28
29 30 31 32
33 34 35 36
37 38 39 40

Cruz de Números Primos

Construindo-se tabelas e as estudando para encontrar quadrados semi-mágicos 3x3 que possa ter cruz de números primos (células verdes), construiu-se a seguinte tabela numérica cujo primeiro termo é 2 e razão 3 e que apresenta em sua construção múltiplos de 5 que quando destacados (células laranjas) se encontram alinhados diagonalmente (como movimentos zigue-zague).

Para mais informações sobre Quadrados Mágicos e Cruzes de Números Primos veja:

011-estudos-659-quadrados-magicos-3x3-cruzes-de-numeros-primos

Tabela 4
 
Progressão Aritmética
primeiro termo 2 - razão 3
             
2 5 8 11 14 17 20
23 26 29 32 35 38 41
44 47 50 53 56 59 62
65 68 71 74 77 80 83
86 89 92 95 98 101 104
107 110 113 116 119 122 125
128 131 134 137 140 143 146
149 152 155 158 161 164 167
170 173 176 179 182 185 188
191 194 197 200 203 206 209
212 215 218 221 224 227 230
233 236 239 242 245 248 251
254 257 260 263 266 269 272
275 278 281 284 287 290 293
296 299 302 305 308 311 314
317 320 323 326 329 332 335
338 341 344 347 350 353 356
359 362 365 368 371 374 377
380 383 386 389 392 395 398
401 404 407 410 413 416 419
             
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Múltiplos de 5 e divisões por 5 (PA - 10 termo 5, razão 30)

Organizando os múltiplos de 5 em ordem crescente da Tabela 4 e dividindo-os por 5 contata-se que:

a) os múltiplos de 5 formam uma progressão aritmética de razão 30 (coluna B);

b) na primeira divisão por 5, os quocientes formam uma progressão aritmética de razão 6 (coluna C) e entre os termos há múltiplos de 5, bem como, números primos;

c) na segunda divisão por 5, os quocientes formam uma progressão aritmética de razão 6 (coluna E) e entre os termos há múltiplos de 5, bem como, números primos;

d) na terceira divisão por 5 (coluna G) , os quocientes formam a mesma progressão aritmética de razão 6 (coluna C) e entre os termos há múltiplos de 5, bem como, números primos;

e) nas colunas B, C, E e G não há múltiplos de 3.

Aqui um fato matemático interessantíssimo, senão inédito, progressão aritmética cujos termos terminados em um mesmo algarismo, o 5, em que divisões sucessivas pelo próprio número terminado no algarismo 5 retorna à mesma progressão aritmética da primeira divisão.

Tabela 5
       
Múltiplos de 5
e Divisões por 5
       
A B C D E F G
       
ordem/ múltiplos primeira segunda terceira
posição de divisão divisão divisão
  5      
    quocientes quocientes quocientes
       
1 5 1 -
2 35 7 Primo
3 65 13 Primo
4 95 19 Primo
5 125 25 - 5 Primo 1
6 155 31 Primo
7 185 37 Primo
8 215 43 Primo
9 245 49 -
10 275 55 - 11 Primo
11 305 61 Primo
12 335 67 Primo
13 365 73 Primo
14 395 79 Primo
15 425 85 - 17 Primo
16 455 91 -
17 485 97 Primo
18 515 103 Primo
19 545 109 Primo
20 575 115 - 23 Primo
21 605 121 -
22 635 127 Primo
23 665 133 -
24 695 139 Primo
25 725 145 - 29 Primo
26 755 151 Primo
27 785 157 Primo
28 815 163 Primo
29 845 169 -
30 875 175 - 35 - 7
31 905 181 Primo
32 935 187 -
33 965 193 Primo
34 995 199 Primo
35 1025 205 - 41 Primo
36 1055 211 Primo
37 1085 217 -
38 1115 223 Primo
39 1145 229 Primo
40 1175 235 - 47 Primo
41 1205 241 Primo
42 1235 247 -
43 1265 253 -
44 1295 259 -
45 1325 265 - 53 Primo
46 1355 271 Primo
47 1385 277 Primo
48 1415 283 Primo
49 1445 289 -
50 1475 295 - 59
51 1505 301 -
52 1535 307 Primo
53 1565 313 Primo
54 1595 319 -
55 1625 325 - 65 13
56 1655 331 Primo
57 1685 337 Primo
58 1715 343 -
59 1745 349 Primo
60 1775 355 - 71 Primo
61 1805 361 -
62 1835 367 Primo
63 1865 373 Primo
64 1895 379 Primo
65 1925 385 - 77
66 1955 391 -
67 1985 397 Primo
68 2015 403 -
69 2045 409 Primo
70 2075 415 - 83 Primo
         
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Tabela Numérica de 6 Colunas

Na tabela numérica formada por 6 colunas com números naturais contata-se as seguintes propriedades numéricas:

a) a coluna F (cor laranja) é formada exclusivamente por múltiplos de 6;

b) em cada coluna, as razões das progressões aritméticas é 6;

c) na primeira linha, os números 1, 2, 3, 4, 5 são os possíveis restos quando um número natural, não múltiplos de 6, for dividido por 6;

d) nas colunas A, B, D e E não há múltiplos de 3.

e) nas colunas A (cor verde) e E (cor azul), as progressões aritméticas são as mesmas que aparerem nas colunas C, E e G na Tabela 5 acima;

Importante observar que:

a) as progressões aritméticas nas colunas A e E abaixo são originárias, isto é, naturais da Tabela Numérica de 6 Colunas porque foram formadas somando-se uma razão;

b) as progressões aritméticas nas colunas C, E e G na Tabela 5 acima foram formadas a partir de um divisor constante.

Tabela 6
 
Tabela Numérica de 6 Colunas
 
A B C D E F
           
1 2 3 4 5 6
           
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54
55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102
103 104 105 106 107 108
 
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Múltiplos de 5 e divisões por 5 (PA - 10 termo 5, razão 5)

Na PA - 10 termo 5 e razão 5, nas divisões por 5 geram ciclicamente a sequência de números naturais.

Tabela 7
 
Múltiplos de 5
e Divisões por 5
 
ordem/ múltiplos primeira segunda terceira
posição de divisão divisão divisão
5      
  quociente quociente quociente
     
1 5 1
2 10 2
3 15 3
4 20 4
5 25 5 1
6 30 6
7 35 7
8 40 8
9 45 9
10 50 10 2
11 55 11
12 60 12
13 65 13
14 70 14
15 75 15 3
16 80 16
17 85 17
18 90 18
19 95 19
20 100 20 4
21 105 21
22 110 22
23 115 23
24 120 24
25 125 25 5 1
     
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Múltiplos de 5 e divisões por 5 (PA - 10 termo 5, razão 10)

Na PA - 10 termo 5 e razão 10, nas divisões por 5 geram ciclicamente a sequência de números ímpares.

10 é o dobro de 5.

A razão (diferença) entre dois números ímpares é 2.

Tabela 8
 
Múltiplos de 5
e Divisões por 5
 
ordem/ múltiplos primeira segunda terceira
posição de divisão divisão divisão
5      
  quociente quociente quociente
     
1 5 1
2 15 3
3 25 5 1
4 35 7
5 45 9
6 55 11
7 65 13
8 75 15 3
9 85 17
10 95 19
11 105 21
12 115 23
13 125 25 5 1
14 135 27
15 145 29
16 155 31
17 165 33
18 175 35 7
19 185 37
20 195 39
21 205 41
22 215 43
23 225 45 9
24 235 47
25 245 49
26 255 51
27 265 53
28 275 55 11
29 285 57
30 295 59
31 305 61
32 315 63
33 325 65 13
34 335 67
35 345 69
36 355 71
37 365 73
38 375 75 15 3
     
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Múltiplos de 5 e divisões por 5 (PA - 10 termo 5, razão 15)

Na PA - 10 termo 5 e razão 15, nas divisões por 5 geram ciclicamente 2 PAs distintas de razão 3.

15 é o triplo de 5.

15 é um múltiplo de 3.

Nas PAs cíclicas não há múltiplos de 3.

A razão 3 é um número primo.

Tabela 9
 
Múltiplos de 5
e Divisões por 5
 
ordem/ múltiplos primeira segunda terceira
posição de divisão divisão divisão
5      
  quociente quociente quociente
     
1 5 1
2 20 4
3 35 7
4 50 10 2
5 65 13
6 80 16
7 95 19
8 110 22
9 125 25 5 1
10 140 28
11 155 31
12 170 34
13 185 37
14 200 40 8
15 215 43
16 230 46
17 245 49
18 260 52
19 275 55 11
20 290 58
21 305 61
22 320 64
23 335 67
24 350 70 14
25 365 73
26 380 76
27 395 79
28 410 82
29 425 85 17
30 440 88
31 455 91
32 470 94
33 485 97
34 500 100 20 4
35 515 103
36 530 106
37 545 109
38 560 112
39 575 115 23
40 590 118
41 605 121
42 620 124
43 635 127
44 650 130 26
45 665 133
46 680 136
47 695 139
48 710 142
49 725 145 29
50 740 148
51 755 151
52 770 154
53 785 157
54 800 160 32
55 815 163
56 830 166
57 845 169
58 860 172
59 875 175 35 7
     
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Múltiplos de 5 e divisões por 5 (PA - 10 termo 5, razão 20)

Na PA - 10 termo 5 e razão 20, nas divisões por 5 geram ciclicamente uma mesma PA de razão 4.

20 é o quádruplo de 5.

20 é múltiplo de 4.

A razão 4 não é um número primo.

Tabela 9
 
Múltiplos de 5
e Divisões por 5
 
ordem/ múltiplos primeira segunda terceira
posição de divisão divisão divisão
5      
  quociente quociente quociente
     
1 5 1
2 25 5 1
3 45 9
4 65 13
5 85 17
6 105 21
7 125 25 5 1
8 145 29
9 165 33
10 185 37
11 205 41
12 225 45 9
13 245 49
14 265 53
15 285 57
16 305 61
17 325 65 13
18 345 69
19 365 73
20 385 77
21 405 81
22 425 85 17
23 445 89
24 465 93
25 485 97
26 505 101
27 525 105 21
28 545 109
29 565 113
30 585 117
31 605 121
32 625 125 25 5
33 645 129
34 665 133
35 685 137
36 705 141
37 725 145 29
38 745 149
39 765 153
40 785 157
41 805 161
42 825 165 33
43 845 169
44 865 173
45 885 177
46 905 181
47 925 185 37
48 945 189
49 965 193
50 985 197
51 1005 201
52 1025 205 41
53 1045 209
54 1065 213
55 1085 217
56 1105 221
57 1125 225 45 9
     
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Múltiplos de 5 e divisões por 5 (PA - 10 termo 5, razão 25)

Na PA - 10 termo 5 e razão 25, nas divisões por 5 geram uma única PA de razão 5.

25 é o quíntuplo de 5.

25 é o quadrado de 5.

A razão 5 é um número primo.

Diferentemente das outras tabelas acima, nesta tabela não se gerou PA cíclica.

  Tabela 9
 
  Múltiplos de 5
  e Divisões por 5
 
ordem/ múltiplos primeira
posição de divisão
5  
  quociente
     
1 5 1
2 30 6
3 55 11
4 80 16
5 105 21
6 130 26
7 155 31
8 180 36
9 205 41
10 230 46
11 255 51
12 280 56
13 305 61
14 330 66
15 355 71
16 380 76
17 405 81
18 430 86
19 455 91
20 480 96
21 505 101
22 530 106
23 555 111
24 580 116
25 605 121
     
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Autor: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - maio/2026

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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