Crivo de Eratóstenes é um método pelo qual podemos extrair números primos e que consiste em construir uma tabela começando do número 1 até determinado número natural. Posteriormente, risca-se o número 1 e riscam-se todos os múltiplos de 2, conservando o 2 que é primo, riscam-se todos os múltiplos de 3, conservando o 3 que é primo, riscam-se todos os múltiplos de 5, conservando o 5 que é primo. Seguindo este procedimento para o demais números ímpares da sequência que não foram riscados e sempre conservando esse número ímpar que é primo e riscando os seus múltiplos. No final, os números que não foram riscados, são números primos.
O presente crivo foi desenvolvido pelo Professor Fernando Manso (Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR-CM), com as seguintes características construtivas;
a) tabela com 3 colunas formada por números ímpares;
b) inicia-se na primeira linha e primeira coluna com o número 5;
c) todos os números da coluna 1 são congruentes a -1 mod 6. Nessa coluna não aparecerá nenhum quadrado perfeito;
d) todos os números da coluna 2 são congruentes a 1 mod 6. Nessa coluna aparecerá todos os quadrados dos números das colunas 1 e 2.
e) todos os números da coluna 3 são múltiplos de 3 e
todos os seus quadrados estarão nessa mesma coluna.
Seguindo procedimentos semelhantes ao Crivo de Eratóstenes, começa-se riscando todos os múltiplos de 5 nas colunas A e B, conservando o 5 que é primo, riscam-se todos os múltiplos de 7 nas colunas A e B, conservando o 7 que é primo, riscam-se todos os múltiplos de 11 nas colunas A e B, conservando o 11 que é primo e assim para os demais primos.
Observação: números destacados na cor laranja são números primos e, entre eles, números primos gêmeos.
Números primos gêmeos são números primos cuja diferença entre eles são 2 unidades.
| Crivo de Números Primos | |||
| A | B | C | |
| ordem / | primos | primos | múltiplos |
| posição | gêmeos | gêmeos | de 3 |
| 1 | 5 | 7 | 9 |
| 2 | 11 | 13 | 15 |
| 3 | 17 | 19 | 21 |
| 4 | 23 | 25 | 27 |
| 5 | 29 | 31 | 33 |
| 6 | 35 | 37 | 39 |
| 7 | 41 | 43 | 45 |
| 8 | 47 | 49 | 51 |
| 9 | 53 | 55 | 57 |
| 10 | 59 | 61 | 63 |
| 11 | 65 | 67 | 69 |
| 12 | 71 | 73 | 75 |
| 13 | 77 | 79 | 81 |
| 14 | 83 | 85 | 87 |
| 15 | 89 | 91 | 93 |
| 16 | 95 | 97 | 99 |
| 17 | 101 | 103 | 105 |
| 18 | 107 | 109 | 111 |
| 19 | 113 | 115 | 117 |
| 20 | 119 | 121 | 123 |
| 21 | 125 | 127 | 129 |
| 22 | 131 | 133 | 135 |
| 23 | 137 | 139 | 141 |
| 24 | 143 | 145 | 147 |
| 25 | 149 | 151 | 153 |
| 26 | 155 | 157 | 159 |
| 27 | 161 | 163 | 165 |
| 28 | 167 | 169 | 171 |
| 29 | 173 | 175 | 177 |
| 30 | 179 | 181 | 183 |
| 31 | 185 | 187 | 189 |
| 32 | 191 | 193 | 195 |
| 33 | 197 | 199 | 201 |
| 34 | 203 | 205 | 207 |
| 35 | 209 | 211 | 213 |
| 36 | 215 | 217 | 219 |
| 37 | 221 | 223 | 225 |
| 38 | 227 | 229 | 231 |
| 39 | 233 | 235 | 237 |
| 40 | 239 | 241 | 243 |
| 41 | 245 | 247 | 249 |
| 42 | 251 | 253 | 255 |
| 43 | 257 | 259 | 261 |
| 44 | 263 | 265 | 267 |
| 45 | 269 | 271 | 273 |
| 46 | 275 | 277 | 279 |
| 47 | 281 | 283 | 285 |
| 48 | 287 | 289 | 291 |
| 49 | 293 | 295 | 297 |
| 50 | 299 | 301 | 303 |
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A soma de determinados 2 números primos gêmeos (células laranjas) têm como resultados números pares que são produtos do número 3 por um múltiplo de 4.
Determinadas somas de 2 números gêmeos também são produtos do número 4 por determinado número triangular (coluna C - celulas azuis).
Os fatores 4 com números triangulares apresentam as seguintes regularidades:
a) a cada dois grupos de fatores, a soma dos segundos fatores é um quadrado perfeito;
Exemplo 1)
4 x 3
4 x 6
6 + 3 = 9
Exemplo 2)
4 x 15
4 x 21
15 + 21 = 36
b) a cada 2 grupos de fatores, os intervalos são regulares, há intervalos pares: 2, 4, 6,...(números entre parentêses) e intervalos sequênciais: 1, 2, 3, 4, 5,...(números entre colchetes).
| Soma de 2 Números Primos Gêmeos | ||||
| A | B | C | D | |
| ordem / | primos | primos | soma de | produto de |
| posição | gêmeos | gêmeos | 2 | 4 |
| primos | por | |||
| gêmeos | triangular | |||
| 1 | 5 | 7 | 12 | 4 x 3 |
| 2 | 11 | 13 | 24 | 4 x 6 |
| 3 | 17 | 19 | 36 | ( 1 ) |
| 4 | 23 | 25 | 48 | ( 2 ) |
| 5 | 29 | 31 | 60 | 4 x 15 |
| 6 | 35 | 37 | 72 | [ 1 ] |
| 7 | 41 | 43 | 84 | 4 x 21 |
| 8 | 47 | 49 | 96 | ( 1 ) |
| 9 | 53 | 55 | 108 | ( 2 ) |
| 10 | 59 | 61 | 120 | ( 3 ) |
| 11 | 65 | 67 | 132 | ( 4 ) |
| 12 | 71 | 73 | 144 | 4 x 36 |
| 13 | 77 | 79 | 156 | [ 1 ] |
| 14 | 83 | 85 | 168 | [ 2 ] |
| 15 | 89 | 91 | 180 | 4 x 45 |
| 16 | 95 | 97 | 192 | ( 1 ) |
| 17 | 101 | 103 | 204 | ( 2 ) |
| 18 | 107 | 109 | 216 | ( 3 ) |
| 19 | 113 | 115 | 228 | ( 4 ) |
| 20 | 119 | 121 | 240 | ( 5 ) |
| 21 | 125 | 127 | 252 | ( 6 ) |
| 22 | 131 | 133 | 264 | 4 x 66 |
| 23 | 137 | 139 | 276 | [ 1 ] |
| 24 | 143 | 145 | 288 | [ 2 ] |
| 25 | 149 | 151 | 300 | [ 3 ] |
| 26 | 155 | 157 | 312 | 4 x 78 |
| 27 | 161 | 163 | 324 | ( 1 ) |
| 28 | 167 | 169 | 336 | ( 2 ) |
| 29 | 173 | 175 | 348 | ( 3 ) |
| 30 | 179 | 181 | 360 | ( 4 ) |
| 31 | 185 | 187 | 372 | ( 5 ) |
| 32 | 191 | 193 | 384 | ( 6 ) |
| 33 | 197 | 199 | 396 | ( 7 ) |
| 34 | 203 | 205 | 408 | ( 8 ) |
| 35 | 209 | 211 | 420 | 4 x 105 |
| 36 | 215 | 217 | 432 | [ 1 ] |
| 37 | 221 | 223 | 444 | [ 2 ] |
| 38 | 227 | 229 | 456 | [ 3 ] |
| 39 | 233 | 235 | 468 | [ 4 ] |
| 40 | 239 | 241 | 480 | 4 x 120 |
| 41 | 245 | 247 | 492 | ( 1 ) |
| 42 | 251 | 253 | 504 | ( 2 ) |
| 43 | 257 | 259 | 516 | ( 3 ) |
| 44 | 263 | 265 | 528 | ( 4 ) |
| 45 | 269 | 271 | 540 | ( 5 ) |
| 46 | 275 | 277 | 552 | ( 6 ) |
| 47 | 281 | 283 | 564 | ( 7 ) |
| 48 | 287 | 289 | 576 | ( 8 ) |
| 49 | 293 | 295 | 588 | ( 9 ) |
| 50 | 299 | 301 | 600 | (10 ) |
| 51 | 305 | 307 | 612 | 4 x 153 |
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Os produtos do número 3 por múltiplo de 4 têm como resultados termos de progressão aritmética cujo primeiro termo é 12 e razão 12.
12, 24, 36, 48, 60, 72,...
Determinados produtos do número 3 por múltiplo de 4, bem como, produtos de 4 por determinado número triangular podem ser escritos como soma de 2 números primos gêmeos.
Exemplos:
a) 12 = 5 + 7
b) 24 = 11 + 13
c) 60 = 29 + 31
| Produtos do Número 3 por Múltiplo de 4 | ||
| número 3 | múltiplos 4 | produtos |
| 3 | 4 | 12 |
| 3 | 8 | 24 |
| 3 | 12 | 36 |
| 3 | 16 | 48 |
| 3 | 20 | 60 |
| 3 | 24 | 72 |
| 3 | 28 | 84 |
| 3 | 32 | 96 |
| 3 | 36 | 108 |
| 3 | 40 | 120 |
| 3 | 44 | 132 |
| 3 | 48 | 144 |
| 3 | 52 | 156 |
| 3 | 56 | 168 |
| 3 | 60 | 180 |
| 3 | 64 | 192 |
| 3 | 68 | 204 |
| 3 | 72 | 216 |
| 3 | 76 | 228 |
| 3 | 80 | 240 |
| 3 | 84 | 252 |
| 3 | 88 | 264 |
| 3 | 92 | 276 |
| 3 | 96 | 288 |
| 3 | 100 | 300 |
| 3 | 104 | 312 |
| 3 | 108 | 324 |
| 3 | 112 | 336 |
| 3 | 116 | 348 |
| 3 | 120 | 360 |
| 3 | 124 | 372 |
| 3 | 128 | 384 |
| 3 | 132 | 396 |
| 3 | 136 | 408 |
| 3 | 140 | 420 |
| 3 | 144 | 432 |
| 3 | 148 | 444 |
| 3 | 152 | 456 |
| 3 | 156 | 468 |
| 3 | 160 | 480 |
| 3 | 164 | 492 |
| 3 | 168 | 504 |
| 3 | 172 | 516 |
| 3 | 176 | 528 |
| 3 | 180 | 540 |
| 3 | 184 | 552 |
| 3 | 188 | 564 |
| 3 | 192 | 576 |
| 3 | 196 | 588 |
| 3 | 200 | 600 |
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12 é produto do 3 por 4.
3 x 4 = 12
12 é também produto do 4 pelo triangular 3.
4 x 3 = 12
Subtraindo números de 1 a 6 do número 12, na penúltima linha, têm-se os números primos gêmeos 5 e 7.
| minuendo | subtraendo | diferença |
| 12 | 1 | 11 |
| 12 | 2 | 10 |
| 12 | 3 | 9 |
| 12 | 4 | 8 |
| 12 | 5 | 7 |
| 12 | 6 | 6 |
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24 é produto de 3 pelo múltiplo de 4, o 8.
3 x 8 = 24
24 é também produto do 4 pelo triangular 6.
4 x 6 = 24
Subtraindo números de 1 a 12 do número 24, na penúltima linha, têm-se os números primos gêmeos 11 e 13.
| minuendo | subtraendo | diferença |
| 24 | 1 | 23 |
| 24 | 2 | 22 |
| 24 | 3 | 21 |
| 24 | 4 | 20 |
| 24 | 5 | 19 |
| 24 | 6 | 18 |
| 24 | 7 | 17 |
| 24 | 8 | 16 |
| 24 | 9 | 15 |
| 24 | 10 | 14 |
| 24 | 11 | 13 |
| 24 | 12 | 12 |
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36 é produto de 3 pelo múltiplo de 4, o 12.
3 x 12 = 36
Subtraindo números de 1 a 18 do número 36, na penúltima linha, têm-se os números primos gêmeos 17 e 19.
| minuendo | subtraendo | diferença |
| 36 | 1 | 35 |
| 36 | 2 | 34 |
| 36 | 3 | 33 |
| 36 | 4 | 32 |
| 36 | 5 | 31 |
| 36 | 6 | 30 |
| 36 | 7 | 29 |
| 36 | 8 | 28 |
| 36 | 9 | 27 |
| 36 | 10 | 26 |
| 36 | 11 | 25 |
| 36 | 12 | 24 |
| 36 | 13 | 23 |
| 36 | 14 | 22 |
| 36 | 15 | 21 |
| 36 | 16 | 20 |
| 36 | 17 | 19 |
| 36 | 18 | 18 |
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6 não é múltiplo de 4.
6 é produto de 3 por 2.
3 x 2 = 6
Subtraindo números de 1 a 3 do número 6, na penúltima linha, não se têm números primos gêmeos.
| minuendo | subtraendo | diferença |
| 6 | 1 | 5 |
| 6 | 2 | 4 |
| 6 | 3 | 3 |
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18 não é múltiplo de 4.
18 é produto de 3 por 6.
3 x 6 = 18
Subtraindo números de 1 a 9 do número 18, na penúltima linha, não se têm números primos gêmeos.
| minuendo | subtraendo | diferença |
| 18 | 1 | 17 |
| 18 | 2 | 16 |
| 18 | 3 | 15 |
| 18 | 4 | 14 |
| 18 | 5 | 13 |
| 18 | 6 | 12 |
| 18 | 7 | 11 |
| 18 | 8 | 10 |
| 18 | 9 | 9 |
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30 não é múltiplo de 4.
30 é produto de 3 por 10.
3 x 10 = 30
Subtraindo números de 1 a 15 do número 30, na penúltima linha, não se têm números primos gêmeos.
| minuendo | subtraendo | diferença |
| 30 | 1 | 29 |
| 30 | 2 | 28 |
| 30 | 3 | 27 |
| 30 | 4 | 26 |
| 30 | 5 | 25 |
| 30 | 6 | 24 |
| 30 | 7 | 23 |
| 30 | 8 | 22 |
| 30 | 9 | 21 |
| 30 | 10 | 20 |
| 30 | 11 | 19 |
| 30 | 12 | 18 |
| 30 | 13 | 17 |
| 30 | 14 | 16 |
| 30 | 15 | 15 |
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Determinados produtos de 3 por múltiplo de 4, bem como, determinados produtos de 4 por número triangular, podem ser escritos como soma de 2 números primos gêmeos.
Autor: Ricardo Silva - fevereiro/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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