A imagem a seguir é um detalhe da Tabela de Divisores publicada no WebSite Wikipedia a qual apresenta um fato matemático interessante: a soma dos divisores próprios de 120 é o seu dobro e a soma de todos os seus divisores é seu o triplo.
Número Perfeito é um número cuja soma de seus divisores próprios, exceto o próprio número, tem como resultado esse número.
Números Perfeitos estão estritamente relacionados à potências de base 2.
Euclides de Alexandria enuncia em Os Elementos no livro IX:
“Se tantos números quantos quisermos, começando com a unidade, forem colocados continuamente em dupla proporção até que a soma de todos seja um número primo, e se a soma for multiplicada pelo último, então o produto será um número perfeito”.
A fórmula algébrica desta proposição é:
| 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) |
Euclides faz referências às somas de potências de base 2.
Exemplos:
a) 1 + 2 = 3 ( número primo )
2 x 3 = 6 ( número perfeito )
b) 1 + 2 + 4 = 7 ( número primo )
4 x 7 = 28 ( número perfeito )
c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 ( número primo )
16 x 31 = 496 (número perfeito)
Propriedades do número 6:
a) 6 é o primeiro número que é produto de 2 números primos distintos;
b) 6 é o primeiro número perfeito;
c) fatores primos;
2 e 3
d) divisores de 6;
D(6): { 1, 2, 3, 6 }
e) 4 divisores;
f) soma de todos os divisores de 6 é 12, o dobro de 6;
1 + 2 + 3 + 6 = 12
g) soma dos divisores próprios de 6 é 6;
1 + 2 + 3 = 6
Para se saber o produto de todos os divisores de um número natural, há a seguinte fórmula:
Fórmula do Produto dos Divisores Positivos de um Número Natural.
| d ( n ) | |||
| _______ | |||
| p (n) | = | n ^ | 2 |
onde:
n - número natural
p (n) - produto do divisores de n
d (n) - quantidade de divisores de n
Aplicando a fórmula ao número perfeito 6:
i) 6 4 / 2
ii) 6 2
iii) 36
Tem-se como produto, o quadrado perfeito de 6 que é 36.
Dividindo-se 36 pela metade do número 6...
36 : 3 = 12
... tem-se como quociente a soma de todos os divisores do número perfeito 6.
12 é o dobro do número perfeito 6.
12 menos 6 é igual 6.
De onde se deduz que:
Se o quociente entre um quadrado perfeito e a metade de sua raiz quadrada for o dobro da soma dos divisores próprios, bem como, a soma de todos os divisores dessa raiz quadrada, então essa raiz é um número perfeito.
Para se saber soma de divisores de um número natural, há a seguinte fórmula:
Fórmula da Soma de Divisores de Número Natural
| p1α1+1 - 1 | p2α2+1 - 1 | pkαk+1 - 1 | ||||
| Sn | = | ______ | x | ______ | ... | ______ |
| p1 - 1 | p2 - 1 | pk - 1 |
A Fórmula da Soma de Divisores de Número Natural é uma variante da Fórmula da Soma de Progressão Geométrica.
Os fatores primos de 6 são 2 e 3.
Troque 2 por 3...
...troque 3 por 4 e os multipliquem.
3 x 4 = 12
12 é a soma de todos dos divisores do número 6.
Número Multi-Perfeito é um número cuja soma de todos os seus divisores é múltiplo do próprio número.
O termo multi-perfeito foi cunhado por Derrick Henry “Dick” Lehmer (1905-1991), matemático estadunidense, filho de Derrick Norman Lehmer em 1941 [1].
O primeiro número multi-perfeito foi descoberto por Robert Recorde que é o número 120 e que encontra-se publicado em sua obra Whetstone of Witte de 1557 [1].
O número 120 é um número tri-perfeito (3-perfeito), pois a soma de todos os seus divisores é o seu triplo.
D(120) : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 240 }
16 divisores
Fatores primos: 2 x 2 x 2 x 3 x 5
23 x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120
8 x 15 = 120
120 é produto de um cubo perfeito por 2 números primos distintos.
A soma dos divisores próprios de 120 é seu dobro.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 = 240
A soma de todos os divisores de 120 é seu triplo.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360
Posteriormente, diversos matemáticos se interessaram por números multi-perfeitos. Em 1631, Marin Mersenne desafiou René Descartes a encontrar um número tri-perteito maior que 120. Anos depois, Pierre de Fermat descobre o segundo número tri-perfeito 672, por meio das seguintes fórmulas e afirmou que se o quociente da fórmula 1) for número primo então o resultado da fórmula 2) é um número tri-perfeito [1].
1)
| ( 2 n + 3 - 1 ) | ||
| q | = | ________ |
| ( 2 n + 1 ) |
2)
| 3 . q . 2 n + 2 |
para n = 1
Etapa 1
i)
( 2 1 + 1 )
| ( 2 1 + 3 - 1 ) | ||
| q | = | ________ |
| ( 2 1 + 1 ) |
ii)
| ( 2 4 - 1 ) | ||
| q | = | ________ |
| ( 2 1 + 1 ) |
iii)
| 15 | ||
| q | = | ________ |
| 3 |
iv)
| q | = | 5 |
5 é número primo.
Etapa 2)
para n = 1
i)
| 3 . 5 . 2 1 + 2 |
ii)
| 3 . 5 . 8 |
iii)
| 120 |
120 é um número tri-perfeito.
para n = 2
i) q = ( 2 2 + 3 - 1) / ( 2 2 + 1 )
ii) = ( 2 5 - 1) / ( 2 2 + 1 )
iii) ( 32 - 1 ) / ( 4 + 1 )
iv) q = 31 / 5
v) q = 6,2 não é número primo
Etapa 1)
para n = 3
i) q = ( 2 3 + 3 - 1) / ( 2 3 + 1 )
ii) q = ( 2 6 - 1) / ( 2 3 + 1 )
iii) q = ( 64 - 1) / ( 8 + 1 )
iv) q = 63 / 9
v) q = 7 é número primo
Etapa 2)
para n = 3
i) 3 . 7 . 2 3 + 2
ii) 3 . 7 . 2 5
iii) 3 . 7 . 32
iv) 672 é um número tri-perfeito.
A tabela a seguir apresenta os 6 primeiros números tri-perfeitos.
| Alguns Números Multi-Perfeitos | |||
| Tri-Perfeitos | |||
| números | fatores | descoberto por | |
| 1 | 120 | 2^3 . 3 . 5 | Recorde (1557) |
| 2 | 672 | 2^5 . 3 . 7 | Fermat (1637) |
| 3 | 523 776 | 2^9 . 3 . 11 . 31 | Jumeau (1638) |
| 4 | 1 476 304 896 | 2^13 . 3 . 11 . 43 . 127 | Descartes (1638) |
| 5 | 459 818 240 | 2^8 . 5 . 7 . 19 . 37 . 73 | Mersenne (1639) |
| 6 | 51 001 180 160 | 2^14 . 5 . 7 . 19 . 31 . 151 | Fermat (1643) |
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Fonte: tabela adaptada e complementada de: TATTERSALL, James J. Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press. 1999
Como demonstrado anteriormente:
Se o quociente entre um quadrado perfeito e a metade de sua raiz quadrada for o dobro da soma dos divisores próprios, bem como, a soma de todos os divisores dessa raiz quadrada, então essa raiz é um número perfeito.
Número Multi-Perfeito elevado ao quadrado e dividido por sua metade tem como quociente o seu dobro, mas esse quociente nem sempre será a dobro da soma dos divisores próprios, bem como, a soma de todos os divisores desse número multi-perfeito.
Estes fatos são os que diferem os números realmente perfeitos de números multi-perfeitos.
Descoberto por Robert Record em 1557 [1]
| fatores primos de 120 | produto | ||
| 2^3 | 3 | 5 | |
| 8 | 3 | 5 | 120 |
120 2 = 14400
14400 : 60 = 240
240 é o dobro do 120.
| soma todos divisores | ||||
| (método prático) | ||||
| produto | ||||
| 2^4 | 3^2 | 5^2 | ||
| 15 | 4 | 6 | = | 360 |
A diferença entre a soma de todos os divisores e o divisor impróprio tem como resultado a soma dos divisores próprios.
360 - 120 = 240
360 : 120 = 3
360 é o triplo de 120
240 é 2/3 de 360
O quociente 240 é também a soma dos divisores próprios.
240 + 120 = 360 (soma de todos os divisores)
120 2 é múltiplo de 240 e 360.
a) 120 é 15 0 número triangular
observação 1: 15 é 1 unidade menor que a potência 16 de base 2.
b) soma dos 15 primeiros números naturais é 120
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 120
observação 2: 15 é a última parcela da soma.
O produto de 2 números consecutivos dividido por 2 tem com resultado número triangular.
( 15 x 16 ) / 2 =
= 240 / 2 = 120
observação 3: o fator 15 é um Número de Mersenne e o fator 16 uma potência de base 2.
c) D(120) : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 240 }
observação 4: quantidade de divisores 16 (potência de base 2).
d) pares multiplicativos de 120
| Divisores de 120 | |||||||||||||||
| pares multiplicativos | |||||||||||||||
| (divisores equidistantes) | |||||||||||||||
| 01 | 120 | ||||||||||||||
| 02 | 60 | ||||||||||||||
| 03 | 40 | ||||||||||||||
| 04 | 30 | ||||||||||||||
| 05 | 24 | ||||||||||||||
| 06 | 20 | ||||||||||||||
| 08 | 15 | ||||||||||||||
| 10 | 12 | ||||||||||||||
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observação 5: pares multiplicativos / divisores equidistantes 8 e 15.
8 é uma potência de base 2.
15 é o dobro de 8 menos 1 unidade.
15 é quase potência de base 2 com também um Número de Mersenne.
e) fatores primos de 120
2 x 2 x 2 x 3 x 5
2 3 x 3 x 5 = 120
8 x 15 = 120
observação 6: os fatores 8 e 15 são justamente um dos pares multiplicativos / divisores equidistantes de 120.
Os produtos dos fatores primos de 120 podem ser separados em 2 partes distintas:
fatores cujos produtos é uma potência de base 2 ...
2 x 2 x 2 = 8
...e fatores cujos produtos é um número quase potência de base 2 / Número de Mersenne que são números que são 1 unidade menor que uma potência de base 2.
3 x 5 = 15
Descoberto por Pierre de Fermat em 1637 [1]
| fatores primos de 672 | produto | ||
| 2^5 | 3 | 7 | |
| 32 | 3 | 7 | 672 |
672 2 = 451584
451584 : 336 = 1344
1344 é o dobro do 672.
| soma todos divisores | |||
| (método prático) | |||
| produto | |||
| 2^6 | 3^2 | 7^2 | |
| 63 | 4 | 8 | 2016 |
A diferença entre a soma de todos os divisores e o divisor impróprio tem como resultado a soma dos divisores próprios.
2016 - 672 = 1344
2016 : 672 = 3
2016 é o triplo de 672
1344 é 2/3 de 2016
O quociente 1344 é também a soma dos divisores próprios.
1344 + 672 = 2016 (soma de todos os divisores)
672 2 é múltiplo de 1344 e de 2026.
a) 672 não é número triangular;
b) D(672): { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 16, 21, 24, 28, 32, 42, 48, 56, 84, 96, 112, 168, 224, 336, 672 }
c) pares multiplicativos
| Divisores de 672 | |||||||||||||||||||||||
| pares multiplicativos | |||||||||||||||||||||||
| (divisores equidistantes) | |||||||||||||||||||||||
| 01 | 672 | ||||||||||||||||||||||
| 02 | 336 | ||||||||||||||||||||||
| 03 | 224 | ||||||||||||||||||||||
| 04 | 168 | ||||||||||||||||||||||
| 06 | 112 | ||||||||||||||||||||||
| 07 | 96 | ||||||||||||||||||||||
| 08 | 84 | ||||||||||||||||||||||
| 12 | 56 | ||||||||||||||||||||||
| 14 | 48 | ||||||||||||||||||||||
| 16 | 42 | ||||||||||||||||||||||
| 21 | 32 | ||||||||||||||||||||||
| 24 | 28 | ||||||||||||||||||||||
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d) separando em 2 partes seus fatores primos;
o produto da primeira parte é uma potência de base 2.
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
o produto da segunda parte não é Número de Mersenne.
3 x 7 = 21
Descoberto por Jumeau (1638) [1]
| fatores primos de 523 776 | produto | |||
| 2^9 | 3 | 11 | 31 | |
| 512 | 3 | 11 | 31 | 523 776 |
523 776 2 = 274341298176
274341298176 : 261888 = 1047552
1047552 é o dobro do 523 776.
| soma todos divisores | ||||
| (método prático) | ||||
| produto | ||||
| 2^10 | 3^2 | 11^2 | 31^2 | |
| 1023 | 4 | 12 | 32 | 1571328 |
A diferença entre a soma de todos os divisores e o divisor impróprio tem como resultado a soma dos divisores próprios.
1571328 - 523776 = 1047552
1571328 : 523 776 = 3
1571328 é o triplo de 523776
1047552 é 2/3 de 1571328
O quociente 1047552 é também a soma dos divisores próprios.
523776 + 1047552 = 1571328 (soma de todos os divisores)
523 776 2 é múltiplo de 1047552 e de 1571328.
a) 523776 é um número triangular de ordem / posição 1023;
b) separando em 2 partes seus fatores primos;
2^9 x 3 x 11 x 31
o produto da primeira parte é uma potência de base 2.
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512
o produto dos fatores da segunda parte é um número quase potência de base 2 / Número de Mersenne que são números que são 1 unidade menor que uma potência de base 2.
3 x 11 x 31 = 1023
O produto de 512 por 1023 têm como resultado o número tri-perfeito 523776.
Descoberto por René Descartes (1638) [1]
| fatores primos de 30240 | produto | |||
| 2^5 | 3^3 | 5 | 7 | |
| 32 | 27 | 5 | 7 | 30240 |
30240 2 = 914457600
914457 600 : 15120 = 60480
60480 é o dobro do 30240.
| soma todos divisores | ||||
| (método prático) | ||||
| produto | ||||
| 2^6 | 3^4 | 5^2 | 7^2 | |
| 63 | 40 | 6 | 8 | 120960 |
A diferença entre a soma de todos os divisores e o divisor impróprio tem como resultado a soma dos divisores próprios.
120960 - 30240 = 90720
120960 : 30240 = 4
120960 é o quádruplo de 30240
120960 é o dobro de 60480
60480 é 2/3 de 90720
60480 + 30240 = 90720 (soma dos divisores próprios)
30240 2 é múltiplo de 90720 e de 120960
Descoberto por René Descartes (1638) [1]
| fatores primos | produto | ||||||
| 2^7 | 3^4 | 5 | 7 | 11^2 | 17 | 19 | |
| 128 | 81 | 5 | 7 | 121 | 17 | 19 | 14182439040 |
14182439040 2 = 201141577123316121600
201141577123316121600 : 7091219520 = 28364878080
28364878080 é o dobro de 14182439040
| soma todos divisores | |||||||
| (método prático) | |||||||
| produto | |||||||
| 2^8 | 3^5 | 5^2 | 7^2 | 11^3 | 17^2 | 19^2 | |
| 255 | 121 | 6 | 8 | 133 | 18 | 20 | 70912195200 |
A diferença entre a soma de todos os divisores e o divisor impróprio tem como resultado a soma dos divisores próprios.
70912195200 - 14182439040 = 56729756160
70912195200 : 14182439040 = 5
7091219520 é o quintúplo de 14182439040
70912195200 é 2,5 de 28364878080
28364878080 + 14182439040 = 42547317120 (3/4 soma dos divisores próprios)
14182439040 2 é múltiplo de 70912195200
A Fórmula:
| 8n^2 - 2n |
foi desenvolvida pelo Sr. Aristóteles Costa, Colaborador do WebSite Os Fantásticos Números Primos.
a) a fórmula gera números triangulares de ordens / posições ímpares intercaladas;
b) a fórmula gera números perfeitos 6, 28, 496, ... cujas ordens / posições são originais, isto é, de números primos...
6 é de ordem / posição 3;
28 é de ordem / posição 7;
496 é de ordem / posição 31;
c) a fórmula gera números tri-perfeitos 120, 523776...cujas ordens / posições são originais, isto é, de números quase potências de base 2.
120 é de ordem / posição 15;
523776 é de ordem / posição 1023;
Interessante observar que quando n (ene) é uma potência de base 2, as diferenças têm como resultados números triangulares e, entre elas, números perfeitos e determinados números tri-perfeitos.
| Números Triangulares | |||||
| Números Tri-Perfeitos | |||||
| diferença | |||||
| produto | 8n^2 - 2n | ordem / | |||
| n | n^2 | 2n | 8n^2 | (triangular) | posição |
| 1 | 1 | 2 | 8 | 6 | 3 |
| 2 | 4 | 4 | 32 | 28 | 7 |
| 3 | 9 | 6 | 72 | 66 | 11 |
| 4 | 16 | 8 | 128 | 120 | 15 |
| 5 | 25 | 10 | 200 | 190 | 19 |
| 6 | 36 | 12 | 288 | 276 | 23 |
| 7 | 49 | 14 | 392 | 378 | 27 |
| 8 | 64 | 16 | 512 | 496 | 31 |
| 9 | 81 | 18 | 648 | 630 | 35 |
| 10 | 100 | 20 | 800 | 780 | 39 |
| 11 | 121 | 22 | 968 | 946 | 43 |
| 12 | 144 | 24 | 1152 | 1128 | 47 |
| 13 | 169 | 26 | 1352 | 1326 | 51 |
| 14 | 196 | 28 | 1568 | 1540 | 55 |
| 15 | 225 | 30 | 1800 | 1770 | 59 |
| 16 | 256 | 32 | 2048 | 2016 | 63 |
| 17 | 289 | 34 | 2312 | 2278 | 67 |
| 18 | 324 | 36 | 2592 | 2556 | 71 |
| 19 | 361 | 38 | 2888 | 2850 | 75 |
| 20 | 400 | 40 | 3200 | 3160 | 79 |
| 21 | 441 | 42 | 3528 | 3486 | 83 |
| 22 | 484 | 44 | 3872 | 3828 | 87 |
| 23 | 529 | 46 | 4232 | 4186 | 91 |
| 24 | 576 | 48 | 4608 | 4560 | 95 |
| 25 | 625 | 50 | 5000 | 4950 | 99 |
| 26 | 676 | 52 | 5408 | 5356 | 103 |
| 27 | 729 | 54 | 5832 | 5778 | 107 |
| 28 | 784 | 56 | 6272 | 6216 | 111 |
| 29 | 841 | 58 | 6728 | 6670 | 115 |
| 30 | 900 | 60 | 7200 | 7140 | 119 |
| 31 | 961 | 62 | 7688 | 7626 | 123 |
| 32 | 1024 | 64 | 8192 | 8128 | 127 |
| 256 | 65536 | 512 | 524288 | 523776 | 1023 |
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Interessante observar que determinados números que são quase potências de base 2 / Números de Mersenne, isto é, da forma ( 2 n − 1 ), o produto de seus fatores são exatamente números da forma ( 2 n − 1 ) e que multiplicados por potências de base 2 ( 2 n − 1 ) têm como resultados números tri-perfeitos que são os casos dos números 120 e 523776 demonstrados neste estudo. Será que há mais números tri-perfeitos com estas mesmas propriedades?
Números perfeitos são números cujas somas dos divisores próprios é o próprio número.
Determinados números tri-perfeitos são também números cujos produtos de números primos distintos, exceto o primo 2, têm como resultado número composto da forma ( 2 n − 1 ).
Autor: Ricardo Silva - fevereiro/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
[1] TATTERSALL, James J. Elementary number theory
in nine chapters. Cambridge University Press. 1999
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores
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