Número Quadrado Perfeito é um número inteiro que é produto de um número por ele mesmo e quando extraído a sua raiz quadrada, o resultado é também um número inteiro.
Gerar um número quadrado perfeito é uma tarefa aparente simples, desde que o número não tenha muitas e muitas casas decimais.
Descobrir a raiz quadrada de determinado número, sem recorrer a calculadora ou a computador, pode-se fazer o uso do Método de Decomposição em Fatores Primos ou por meio de métodos de aproximações e dependendo do número, pode-se levar tempo.
O presente estudo tem por objetivo demonstrar fórmulas de estruturas semelhantes à Fórmula de Regressão da Pequena Grande Júlia e comprovar que cálculos estão estritamente relacionados a um número e seus divisores, bem como, com progressão aritmética.
Número ímpar igual ou maior que 3 é a diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos.
3 é a diferença de quais 2 quadrados perfeitos consecutivos?
i) escreve-se o número 3 como soma de 2 números consecutivos;
Observação importante 1: todo número ímpar pode ser escrito como soma de 2 números consecutivos.
ii) 3 = 1 + 2
iii) elevam-se os fatores ao quadrado e os somam;
1² + 2 ² = 1 + 4
iv) diferença entre os quadrados 4 e 1 é 3;
4 - 1 = 3
i) soma-se 1 unidade ao número ímpar e dividi-se por 2;
( 3 + 1 ) / 2 = 2
Nesta expressão pode ser utilizada a seguinte fórmula algébrica:
| ( 2n + 1 ) + 1 |
| ___________ |
| 2 |
como também:
| ( 2n + 1 ) + 1 ² |
| ___________ |
| 2 . 1 ² |
ii) subtrái-se 1 unidade do número ímpar e dividi-se por 2
( 3 - 1 ) / 2 = 1
Nesta expressão pode ser utilizada a seguinte fórmula:
| ( 2n - 1 ) - 1 |
| ___________ |
| 2 |
como também:
| ( 2n + 1 ) - 1 ² |
| ___________ |
| 2 . 1 ² |
iii) elevam-se os quocientes ao quadrado e os somam;
1² + 2 ² = 1 + 4
v) diferença entre os quadrados 4 e 1 é 3;
4 - 1 = 3
Observação importante 2:
i) 3 é um número primo;
ii) número primo têm 2 divisores, o número 1 e ele próprio;
D (3): { 1, 3 }
iii) no Método Prático 2, utilizou-se Média Aritmética entre divisores de um número;
Observação importante 3:
Números primos são diferenças exclusivas entre 2 números quadrados perfeitos consecutivos.
Não há outros 2 números quadrados perfeitos consecutivos ou não cuja diferença são 3 unidades, isto é, o número primo 3.
Estes métodos podem ser utilizados para quaisquer números ímpares (primos ou compostos) e o divisor 1.
Ternos Pitagóricos são grupos de 3 números inteiros que tem relação com o Teorema de Pitágoras, onde:
a² + b ² = c ²
"A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa" ou "O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos".
Em abril de 2023, o Professor de Química Fernando Manso, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR-CM, lançou o seguinte desafio: "Um outro problema interessante para você: Dado um cateto qualquer (inteiro), encontrar todos os ternos pitagóricos em função do cateto dado. Por exemplo, se te dou o cateto 342, em quantos ternos pitagóricos esse cateto está presente e quais são esses ternos?
Em resposta ao desafio, foi apresentado a seguinte solução:
Nesta solucão teve como base especificamente os divisores ímpares do número 342.
D (342): { 1, 2, 3, 6, 9, 18, 19, 38, 57, 114, 171, 342 }
Cada divisor ímpar é o primeiro termo de um terno pitagórico primitivo.
Observação importante 4: esta solução apresentada pelo WebSite Os Fantásticos Números Primos determinou PARCIALMENTE ternos pitagóricos a partir de um número dado.
Observação importante 5: até então, não se tinha conhecimento das fórmulas desenvolvidas pelo Fernando Manso e por Pedro R. (Blog Manthano).
Para mais informações, veja estudos:
011-estudos-428-triangulos-retangulos-pitagoricos-comprimentos-seus-lados
011-estudos-429-descobrindo-ternos-pitagoricos-a-partir-de-um-numero-dado
Em maio de 2023, o Professor Fernando Manso envia artigo o qual fora publicado no Blog Manthano em março 2013 sobre desenvolvimento de 2 fórmulas com as quais são possíveis de se:
a) gerarem todos os ternos pitagóricos a partir de um cateto dado;
b) obterem ternos pitagóricos primitivos.
| a2 - d2 | a2 + d2 | ||||||
| (a, b, c) | = | ( | a, | ____ | , | ___ | ) |
| 2d | 2d |
| a2 - d2 | a2 + d2 | a2 | ||||||||
| P | = | a | + | ____ | + | ___ | = | a | + | __ |
| 2d | 2d | d |
Para mais informações, veja estudo:
011-estudos-430-ternos-pitagoricos-a-partir-de-um-lado-do-triângulo-retangulo
Observação importante 6: nas fórmulas do Professor Fernando Manso e do Pedro R., reparar que há termos elevados ao quadrado (numeradores) e há termos nos denominadores que são os dobros de um termo do numerador.
Observação importante 7: as fórmulas fazem uso do quadrado perfeito do número dado e divisores ao quadrado menores que a raiz quadrada do número dado.
Em seu livro Desvendando os Segredos do Triângulo Retângulo..., publicado em 2018, o Professor Sebastião Vieira do Nascimento, carinhosamente conhecido por Professor Sebá, demonstra diversas fórmulas para se gerarem ternos pitagóricos a partir de um cateto dado e, entre elas, na pág. 10 se encontram as seguintes fórmulas:
| a2 | |||
| 2c | = | k + | ____ |
| k |
ou
| a2 - k2 | ||
| c | = | ____ |
| 2k |
Observação importante 8: as fórmulas fazem uso do quadrado perfeito do número dado e divisores ao quadrado menores que a raiz quadrada do número dado.
Observação importante 9: nas fórmulas do Professor Sebá, reparar que há termos elevados ao quadrado (numeradores) e há termo no denominador que é o dobro de um termo do numerador.
Para mais informações, veja estudo:
011-estudos-628-numeros-fermat-4x+1-e-potencias
Desde a reportagem da Pequena Grande Júlia em novembro de 2023, estudos e pesquisas vem sendo realizados aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos a partir das fórmulas desenvolvidas pelo Professor Frederico Ferreira para se tentar criar fórmula que não necessite de se arrendondar uma constante.
E o que é interessante é que as Fórmulas de Regressão de Júlia tem estruturas algébricas semelhantes às Fórmulas do Professor Fernando Manso e do Pedro R. e às Fórmulas do Professor Sebá.
Estudando as fórmulas descritas acima e também as da Pequena Grande Júlia, constata-que:
as fórmulas derivadas a seguir, onde:
Dq = Diferença entre dois quadrados perfeitos
Dr² = Diferença entre duas raízes ao quadrado
2r = Dobro da diferença entre duas raízes
podem-ser comprovadas:
a) a raiz quadrada sucessora - Fórmula da Soma
| Dq + Dr² |
| ____ |
| 2 x r |
b) a raiz quadrada antecessora - Fórmula da Diferença
| Dq - Dr² |
| ____ |
| 2 x r |
por meio de progressão aritmérica.
Progressão Aritmética cujo primeiro termo é 1 e razão 3.
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | |||||
| termo | termo | termo | termo | termo | |||||
| 01 | 04 | 07 | 10 | 13 | |||||
| 03 | 03 | 03 | 03 | 03 | |||||
| razão | razão | razão | razão | razão | |||||
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Primeiro e Segundo Termos: 1 e 4
| raízes | Quadrados | ||||
| 1 | 1 | ||||
| 03 | diferença | 15 | diferença | ||
| 4 | das raízes | 16 | dos quadrados | ||
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
O produto da diferença pela soma de quaisquer 2 termos é igual a diferença dos quadrados desses 2 termos de uma Progressão Aritmética (P.A.).
3 x ( 1 + 4 ) =
3 x 5 = 15
A diferença das raízes (termos da P.A.) ao quadrado (3²) subtraída da diferença dos quadrados (15) e dividida pelo dobro da diferença da raízes têm como quociente a √1 = 1.
| 15 - 3² | 6 | |||
| ____ | = | ___ | = | 1 |
| 2 x 3 | 6 |
A diferença das raízes (termos da P.A.) ao quadrado (3²) somada com a diferença dos quadrados (15) e dividida pelo dobro da diferença da raízes têm como quociente a √16 = 4.
| 15 + 3² | 24 | |||
| ____ | = | ___ | = | 4 |
| 2 x 3 | 6 |
Observação importante 10: o número composto 15 também é a diferença dos quadrados 64 e 49, vejamos:
D(15) = { 1, 3, 5, 15 }
| 15 - 1² | 14 | |||
| ____ | = | ___ | = | 7 |
| 2 x 1 | 2 |
7 x 7 = 49
| 15 + 1² | 16 | |||
| ____ | = | ___ | = | 8 |
| 2 x 1 | 2 |
8 x 8 = 64
64 - 49 = 15
Exemplo extraído e adaptado do WebSite:
https://regressaodejulia.com.br/exemplos-formula-regressao-de-julia/
i) qual a raiz quadrada de 7921?
ii) estimativa de uma possível raiz quadrada 81 ( w );
iii) 81 x 81 = 6561
iv) diferença entre 7921 e 6561
7921 - 6561 = 1360 ( d )
v) 1360 : 81 = 16, 79
vi) 16,79 : 2 = 8,39
vii) arredondando para 8 ( k );
Observação importante 11: o arredondamento da constante ( k ) como veremos a seguir, está relacionada a razão de uma progressão aritmética.
viii) aplicando a fórmula:
| d - k2 | 1360 + 82 | 1630 + 64 | 1424 | |||||||
| w | = | ____ | = | ___ | = | _____ | = | ___ | = | 89 |
| 2k | 2(8) | 16 | 16 |
i) qual a raiz quadrada de 7921?
ii) estimativa para a raiz quadrada 81;
iii) formando P.A. cujo primeiro termo é 81 e razão 2;
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | |||||
| termo | termo | termo | termo | termo | |||||
| 81 | 83 | 85 | 87 | 89 | |||||
| 02 | 02 | 02 | 02 | 02 | |||||
| razão | razão | razão | razão | razão | |||||
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Primeiro e Quinto Termos: 81 e 89
| termos | Quadrados | ||||
| 81 | 6561 | ||||
| 08 | diferença | 1360 | diferença | ||
| 89 | das raízes | 7921 | dos quadrados | ||
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O produto da diferença pela soma de quaisquer 2 termos é igual a diferença dos quadrados desses 2 termos de uma Progressão Aritmética (P.A.).
8 x ( 81 + 89 ) = 8 x 170 = 1360
D(1360) = { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 17, 20, 34, 40, 68, 80, 85, 136, 170, 272, 340, 680, 1360 }
Os divisores equidistantes de 1360 formam pares multiplicativos.
A diferença 8 e a soma 170 são pares multiplicativos do número 1360.
| Divisores de 1360 | |||||||||||||||||||
| 01 | 1360 | ||||||||||||||||||
| 02 | 680 | ||||||||||||||||||
| 04 | 340 | ||||||||||||||||||
| 05 | 272 | ||||||||||||||||||
| 08 | 170 | ||||||||||||||||||
| 10 | 136 | ||||||||||||||||||
| 16 | 85 | ||||||||||||||||||
| 17 | 80 | ||||||||||||||||||
| 20 | 68 | ||||||||||||||||||
| 34 | 40 | ||||||||||||||||||
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a) a raiz quadrada sucessora - Fórmula da Soma
| 1360 + 8² | 1424 | |||
| ____ | = | ___ | = | 89 |
| 2 x 8 | 16 |
b) a raiz quadrada antecessora - Fórmula da Diferença
| 1360 - 8² | 1296 | |||
| ____ | = | ___ | = | 81 |
| 2 x 8 | 16 |
i) qual a raiz quadrada de 324?
ii) estimativa para a raiz quadrada 12 ( w );
iii) 12 x 12 = 144
iv) diferença de quadrados
324 - 144 = 180 ( d )
v) 180 : 12 = 15
vi) 15 : 2 = 7,5
vii) primeiro arredondamento para 7 ( k );
viii) aplicando a fórmula:
| d - k2 | 180 + 72 | 180 + 49 | 229 | |||||||
| w | = | ____ | = | ___ | = | _____ | = | ___ | = | 16,35 |
| 2k | 2(7) | 14 | 14 |
Verificação 16 x 16 = 256 (incorreto)
ix) segundo arredondamento para 6 ( k );
x) aplicando a fórmula:
| d - k2 | 180 + 62 | 180 + 36 | 216 | |||||||
| w | = | ____ | = | ___ | = | _____ | = | ___ | = | 18 |
| 2k | 2(6) | 12 | 12 |
Verificação 18 x 18 = 324 (correto)
i) qual a raiz quadrada de 324?
ii) estimativa para a raiz quadrada 12;
iii) formando P.A. cujo primeiro termo é 12 e razão 2;
12 (2) 14 (2) 16 (2) 18 (2) 20
iv) proposição
O produto da diferença pela soma de quaisquer 2 termos é igual a diferença dos quadrados desses 2 termos de uma Progressão Aritmética (P.A.).
6 x ( 12 + 18 ) = 180
v) divisores de 180
D (180) ; { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180 }
Os divisores equidistante 6 e 30 são pares multiplicavos de 180.
| termos | Quadrados | ||||
| 12 | 144 | ||||
| 06 | diferença | 180 | diferença | ||
| 18 | das raízes | 324 | dos quadrados | ||
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
vi) aplicando as fórmulas
a) a raiz quadrada sucessora - Fórmula da Soma
| 180 + 6² | 216 | |||
| ____ | = | ___ | = | 18 |
| 2 x 6 | 12 |
b) a raiz quadrada antecessora - Fórmula da Diferença
| 180 - 6² | 144 | |||
| ____ | = | ___ | = | 12 |
| 2 x 6 | 12 |
O produto da diferença de 2 números pela soma desses 2 números tem como resultado a diferença dos quadrados desses 2 números e que estão intrisicamente relacionados a progressão aritmética.
Autor: Ricardo Silva - janeiro/2026
NASCIMENTO, Sebastião Vieira do Nasciemento. Desvendado os segredos do triângulo retângulo e desvendando curiosidades até hoje não conhecidas - Rio de Janeiro Gramma, 2018
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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