Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Produtos de Parcelas por Uma Soma - 638

O presente estudo demonstra que produtos de parcelas por uma soma e a soma desses produtos têm como resultados números quadrados perfeitos.

O estudo também demonstra que parcelas de determinadas somas podem ser números consecutivos ou não e também demonstra relações numéricas com números perfeitos.

Soma de 2 números consecutivos

A soma de 2 números consecutivos têm como resultados números ímpares e as seguintes propriedades núméricas:

Fonte: tabela extraída parcialmente de:

011-estudos-071-a-soma-de-dois-numeros-consecutivos

a) determinadas somas de 2 números consecutivos têm como resultados números triangulares ímpares:

i)

ii)

iii)

b) determinadas somas de 2 números consecutivos têm como resultados números quadrados perfeitos ímpares e uma das parcelas é o dobro de um número retangular;

i) 4 é a ordem / posição das parcelas.

4 é o dobro do retangular 2

ii) 12 é a ordem / posição das parcelas.

12 é o dobro do retangular 6

iii) 24 é a ordem / posição das parcelas.

24 é o dobro do retangular 12

Soma de Números Consecutivos

A soma de números consecutivos têm como resultados números triangulares.

1 + 2 = 3

1 + 2 = 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

Números consecutivos 1 e 2

O produto de parcelas pela soma e a soma dos produtos tem como resultado um número quadrado perfeito.

a) a soma das parcelas

1 + 2 = 3

b) O produto de cada parcela pela soma

1 x 3 = 3

2 x 3 = 6

3 e 6 são números triangulares consecutivos

c) A soma dos produtos

3 + 6 = 9

9 é um quadrado perfeito e a sua raiz quadrada é 3.

3 é a soma da sequência: 1 e 2

Números não consecutivos

Números não consecutivos 1, 4 e 10

a) a soma das parcelas

1 + 4 + 10 = 15

b) produto de cada parcela pela soma

1 x 15 = 15

4 x 15 = 60

10 x 15 = 150

c) soma dos produtos

15 + 60 + 150 = 225

225 é um quadrado perfeito e a sua raiz quadrada é 15.

15 é a soma dos números não consecutivos: 1, 4 e 10

Tabuada de Adição do Número 11

Elaborando-se a Tabuada de Adição do número 11...

... e posteriormente multiplicando cada parcela pela soma 11 e somando-se os produtos, os resultados são 121 que é o quadrado perfeito de 11.

i)

ii)

iii)

iv)

v)

vi)

Divisores de Um Número Perfeito

A soma dos produtos de divisores próprios pela soma desses divisores próprios de número perfeito tem como resultado o quadrado perfeito desse numero perfeito.

Número 6 - número perfeito

Os divisores próprios de 6 são números consecutivos.

D (6): { 1, 2, 3, 6 }

a) a soma dos divisores próprios;

1 + 2 + 3 = 6

b) produto de cada divisor próprio pela soma dos divisores próprios;

1 x 6 = 6

2 x 6 = 12

3 x 6 = 18

c) soma dos produtos;

6 + 12 + 18 = 36

36 é um quadrado perfeito e a sua raiz quadrada é 6.

6 é a soma dos números 1, 2 e 3

Número 28 - número perfeito

Os divisores próprios de 28 não são números consecutivos.

D (28): { 1, 2, 4, 7,14, 28}

a) a soma dos divisores próprios;

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

b) produto de cada divisor próprio pela soma dos divisores próprios;

1 x 28 = 28

2 x 28 = 56

4 x 28 = 112

7 x 28 = 196

14 x 28 = 392

c) soma dos produtos;

28 + 56 + 112 + 196 + 392 = 784

784 é um quadrado perfeito e a sua raiz quadrada é 28.

28 é a soma dos números 1, 2, 4, 7, 14

Número 496 - número perfeito

Os divisores próprios de 496 não são números consecutivos.

D (496): { 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496}

a) a soma dos divisores próprios;

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

b) a soma dos produtos dos divisores próprios pelo divisor ímpróprio 496 (número perfeito) tem como resultado o quadrado perfeito 246016 de 496.

Número 10 - não é número perfeito

Os divisores próprios de 10 não são números consecutivos.

D (10): { 1, 2, 5, 10 }

a) a soma dos divisores próprios;

1 + 2 + 5 = 8

b) produto de cada divisor próprio pela soma dos divisores próprios;

1 x 8 = 8

2 x 8 = 16

5 x 8 = 40

c) soma dos produtos;

8 + 16 + 40 = 64

64 é quadrado perfeito de 8 que é a soma dos divisores póprios do número 10.

Conclusão

Os produtos de parcelas por uma soma quanto o produto de divisores próprios pela soma desses divisores próprios são partes proporcionais de um número quadrado perfeito.

Autores: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - janeiro/2026

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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