Ternos Pitagóricos são grupos de 3 números inteiros que têm relação com o Teorema de Pitágoras cujo enunciado é "O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos" ou "Os quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa" cuja representação algébrica é:
| a² = b² + c² |
ou
| a² + b² = c² |
O presente estudo demonstra o Método da Soma e Diferença de Divisores Equidistantes, isto é, duplas de divisores de um número natural com os quais são possíveis de se extrairem os termos "m" e "n" das Fórmulas de Euclides e formarem ternos pitagóricos em que esse número natural figura como cateto de um triângulo retângulo.
O estudo também demonstra que os ternos pitagóricos primitivos gerados pelo Método da Soma e Diferença de Divisores Equidistantes têm suas posições de números quadrados perfeitos quando da utilização da Fórmula do Professor Fernando Manso e do Pedro R. do Blog Manthano.
Utilizando as Fórmulas de Euclides com números primos entre si e números não primos entre si podem ser gerados sequencialmente ternos pitagóricos primitivos e seus derivados pares.
Escolhendo-se dois números naturais m>n e os substituindo nas Fórmulas de Euclides a seguir, encontramos o termos a, b e c do Teorema de Pitágoras e consequentemente um Terno Pitagórico.
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
onde:
m > n (m tem que ser maior que n).
Termos m e n primos entre si geram ternos pitagóricos primitivos.
Termos m e n não primos entre si geram termos pitagóricos derivados.
Observação: as Fórmulas de Euclides não geram sequencialmente ternos pitagóricos derivados ímpares.
Através da soma de divisores equidistantes dividido por 2 e da diferença de divisores equidistantes dividido por 2 são possíveis de saberem as raízes (termos "m" e "n"), os quadrados, bem como, Números de Fermat das formas 4x + 1 e 4x + 3 que formam ternos pitagóricos primitivos e derivados a partir de um número ímpar.
Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas - estudo 627 !
D(315)={1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 63, 105, 315}
12 divisores
Os divisores de 315 formam 6 duplas de divisores equidistantes.
Cada dupla de divisores equidistantes geram 1 terno pitagórico.
Observação importante: o Método da Soma e Diferença de Divisores Equidistantes geram parcialmente ternos pitagóricos a partir de um cateto dado.
| Divisores Equidistantes | |||||||||||
| de | |||||||||||
| 315 | |||||||||||
| 01 | 315 | ||||||||||
| 03 | 105 | ||||||||||
| 05 | 63 | ||||||||||
| 07 | 45 | ||||||||||
| 09 | 35 | ||||||||||
| 15 | 21 | ||||||||||
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a) divisores equidistantes 1 e 315
i) (315 + 1) / 2 = 158
ii) (315 - 1) / 2 = 157
iii) 1582 + 1572 = 24964 + 24649 = 49613
iv) 1582 - 1572 = 24964 - 24649 = 315
v) 2 x 158 x 157 = 49612
vi) terno pitagórico primitivo gerado: 315 - 49612 - 49613
b) divisores equidistantes 3 e 105
terno pitagórico primitivo gerado: 315 - 5508 - 5517
c) divisores equidistantes 5 e 63
terno pitagórico primitivo gerado 315 - 1972 - 1997
d) divisores equidistantes 7 e 45
terno pitagórico primitivo gerado 315 - 988 - 1037
e) divisores equidistantes 9 e 35
terno pitagórico primitivo gerado 315 - 572 - 653
f) divisores equidistantes 15 e 21
terno pitagórico primitivo gerado 108 - 315 - 333
A Fórmula a seguir foi desenvolvida por Fernando Manso, Professor aposentado da Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR-CM em parceria com Pedro R. do Blog Manthano [1].
Teorema 1: Seja a um número natural maior do que 2. A fim de que o terno (a, b c) seja pitagórico é necessário, e suficiente, que exista um número natural d < a da mesma paridade de a tal que a2 / d também tenha a mesma paridade de a e tal que se tenha:
| a2 - d2 | a2 + d2 | ||||||
| (a, b, c) | = | ( | a, | ____ | , | ___ | ) |
| 2d | 2d |
"Exemplo: o teorema 1 nos dá uma maneira de determinar todos os ternos a partir de um dado cateto. Por exemplo, se quisermos determinar todos os ternos tais que um dos catetos seja 102 podemos proceder da seguinte maneira:
- Encontramos todos os divisores de 1022 = 10.404 menores do que 102 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 17, 18, 34, 36, 51, 68.
- Selecionamos os que possuem a mesma paridade de 102: 2, 4, 6, 12, 18, 34, 36, 68.
- Filtramos os que, ao dividirem 1022, forneçam um quociente da mesma paridade de: 2, 6, 18, 34.
- Fazemos a = 102 e d = 2, 6, 18 e 34 na fórmula dada pelo teorema. Os ternos procurados são, portanto,
(102, 2600, 2602),
(102, 136, 870),
(102, 280, 298),
e (102, 136, 170)."
A presente tabela foi desenvolvida a partir dos termos da Fórmula acima cujo cateto dado é 315 e o seu quadrado 99225.
Interessante observar que os ternos pitagóricos destacados em laranja estão em posições de números quadrados perfeitos e são os mesmos ternos gerados pelo Método da Soma e Diferença de Divisores Equidistantes.
| Ternos Pitagóricos | |||||||
| a partir do cateto 315 | |||||||
| Ternos Pitagóricos | |||||||
| diviso- | quadrado | quadrado | soma | dobro | quociente | cateto | cateto |
| res | de | do | de | do | hipote- | maior | menor |
| de | 315 | divisor | quadra- | divisor | nusa | ||
| 99225 | dos | ||||||
| 1 | 99225 | 1 | 99226 | 2 | 49613 | 49612 | 315 |
| 3 | 99225 | 9 | 99234 | 6 | 16539 | 16536 | 315 |
| 5 | 99225 | 25 | 99250 | 10 | 9925 | 9920 | 315 |
| 7 | 99225 | 49 | 99274 | 14 | 7091 | 7084 | 315 |
| 9 | 99225 | 81 | 99306 | 18 | 5517 | 5508 | 315 |
| 15 | 99225 | 225 | 99450 | 30 | 3315 | 3300 | 315 |
| 21 | 99225 | 441 | 99666 | 42 | 2373 | 2352 | 315 |
| 25 | 99225 | 625 | 99850 | 50 | 1997 | 1972 | 315 |
| 27 | 99225 | 729 | 99954 | 54 | 1851 | 1824 | 315 |
| 35 | 99225 | 1225 | 100450 | 70 | 1435 | 1400 | 315 |
| 45 | 99225 | 2025 | 101250 | 90 | 1125 | 1080 | 315 |
| 49 | 99225 | 2401 | 101626 | 98 | 1037 | 988 | 315 |
| 63 | 99225 | 3969 | 103194 | 126 | 819 | 756 | 315 |
| 75 | 99225 | 5625 | 104850 | 150 | 699 | 624 | 315 |
| 81 | 99225 | 6561 | 105786 | 162 | 653 | 572 | 315 |
| 105 | 99225 | 11025 | 110250 | 210 | 525 | 420 | 315 |
| 135 | 99225 | 18225 | 117450 | 270 | 435 | 300 | 315 |
| 147 | 99225 | 21609 | 120834 | 294 | 411 | 264 | 315 |
| 175 | 99225 | 30625 | 129850 | 350 | 371 | 196 | 315 |
| 189 | 99225 | 35721 | 134946 | 378 | 357 | 168 | 315 |
| 225 | 99225 | 50625 | 149850 | 450 | 333 | 108 | 315 |
| 245 | 99225 | 60025 | 159250 | 490 | 325 | 80 | 315 |
| 315 | |||||||
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Autor: Ricardo Silva - janeiro/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
[1] manthanos.blogspot.com
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