Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números Semi-Raros - 633

Números Raros é uma descoberta do Sr. Shyam Sunder Gupta [1] ( Former Principal Chief Engineer, North Western Railway, Jaipur, India-302017 ) que afirma que se um número somado com o reverso de seus algarismos for um quadrado perfeito e também se esse número for subtraído desse número reverso também for um quadrado perfeito, então esse número é Número Raro.

Número 65

O número 65 é o primeiro Número Raro.

65 + 56 (reverso dos algarismos) = 121

121 é um quadrado perfeito

65 (reverso dos algarismos) - 56 = 9

9 é um número quadrado perfeito

Número Quadrado Perfeito Palíndromo 121

A tabela a seguir demonstram as somas de números naturais com seus reversos (algarismos invertidos) cujas somas são números quadrados perfeitos e, entre eles, o quadrado perfeito 121.

a) nas células azuis, os resultados são o quadrado 121 e o quadrado 9;

b) nas células verdes, os resultados são o quadrado 121 e o cubo 27;

Para mais informações, veja estudo:

011-estudos-586-numeros-raros

Interessante destacar que:

c) 11 é primeiro número primo palíndromo de 2 algarismos ;

d) 121 é o primeiro número quadrado perfeito palíndromo de 3 algarismos.

e) 47 é um número primo;

f) 74 é o dobro do número primo 37;

g) 56 é o dobro do número perfeito 28;

h) 65 é número de Fermat da forma 4x + 1.

Numa primeira etapa pode-se estender os estudos do Sr. Shyam Sunder Gupta da seguinte forma:

Número Raro de Segunda Ordem

Resultados em que a soma e a diferença são números quadrados perfeitos.

Número Raro de Terceira Ordem

Resultados em a soma é um quadrado perfeito e a diferença um número cúbico perfeito.

O presente estudo demonstra que além de números raros, há também números Semi-Raros.

Número Semi-Raro é número cuja soma de um número e seu número reverso (algarismos invertidos) tem como resultado um quadrado perfeito e a diferença entre o número reverso e esse número não é um quadrado perfeito.

Número Quadrado Perfeito Palíndromo 10201

Número quadrado perfeito 10201 e características.

101 x 101 = 10201

10201 é um quadrado perfeito palíndromo.

101 é número primo palíndromo.

Os cálculos foram realizados das seguintes formas:

a) subtraiu-se quadrados perfeitos ímpares consecutivos do quadrado perfeito 10201 ( coluna A - coluna B = coluna D );

b) dividiu-se por 2 as diferenças da ( coluna D )cujos resultados estão na ( coluna E );

c) inverteu-se os algarismos dos números da ( coluna E ) , cujos números reversos estão na ( coluna F );

d) somou-se as metades das diferenças ( coluna E ) com os números reversos da ( coluna F ) cujos resultados estão na coluna G;

e) extraiu-se raízes quadradas das somas ( coluna G ) cujos resultados estão na ( coluna H );

O número 396 é o primeiro Número Semi-Raro, pois:

f) 396 + 693 ( reverso dos algarismos ) = 1089;

g) 1089 é um quadrado perfeito e a sua raiz quadrada é 33;

h) 693 ( reverso dos algarismos ) - 396 = 297;

i) 297 é um número composto;

Interessante observar que 297 é o reverso da diferença 792.

Número Quadrado Perfeito Palíndromo 40804

Número quadrado perfeito 40804 e características.

202 x 202 = 40804

40804 é um quadrado perfeito palíndromo.

202 é número composto palíndromo.

202 é o dobro do número primo palíndromo 101.

O número 20394 é um Número Semi-Raro, pois:

f) 20394 + 49302 ( reverso dos algarismos ) = 69696;

g) 69696 é um quadrado perfeito e a sua raiz quadrada é 264;

h) 49302 ( reverso dos algarismos ) - 20394 = 28908;

i) 28908 é um número composto;

O número 12960 é um Número Semi-Raro, pois:

f) 12960 + 06921 ( reverso dos algarismos ) = 19881;

g) 19881 é um quadrado perfeito e a sua raiz quadrada é 141;

h) 06921 ( reverso dos algarismos ) - 12960 = -6039;

i) -6039 é um número negativo;

Autor: Ricardo Silva - janeiro/2026

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

[1] http://www.shyamsundergupta.com/rare.html

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