Números Palíndromos / Capicuas são números que invertendo as posições de seus algarismos podem ser lidos da esquerda para à direita quanto da direita para à esquerda e o seu valor continua sendo o mesmo.
O presente estudo demonstram regularidades numéricas relacionadas ao número 56 que é o primeiro Número Raro descoberto pelo Sr. Shyam Sunder Gupta ( Former Principal Chief Engineer, North Western Railway, Jaipur, India-302017 ).
Entre outros métodos de se gerarem números palíndromos / capicuas, há um usual que é escolher aleatoriamente um número, inverter seus algarismos e somar com o número escolhido.
Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas!
Exemplo 1)
Número: 12
Inverte-se os algarismos: 21
12 + 21 = 33
Exemplo 2)
Número: 19
Inverte-se os algarismos: 91
19 + 91 = 110 (não é um número capicua, repetimos o processo)
110 + 011 = 121
A tabela a seguir apresenta de forma resumida resultados realizado entre os primeiros 100 números naturais.
Construindo-se tabela com números naturais de 1 até 100 (coluna A), invertendo os algarismos dos números (coluna B) e somando-os, têm-se como somas alguns números quadrados perfeitos e, entre eles, o número quadrado perfeito 121 repetido 4 vezes.
Subtraindo-se os números (coluna A) dos números invertidos (coluna B), têm-se como diferenças números múltiplos de 3 (coluna E) e, entre eles, o número quadrado perfeito 9, bem como, a sua raiz quadrada 3 (coluna F).
Importante destacar que:
a) na linha 56, o número 56 e seus algarismos invertidos 65 resultam no quadrado perfeito 121 e no quadrado perfeito 9;
b) 121 é o primeiro número quadrado perfeito palíndromo / capicua;
c) a raiz quadrada de 121 é 11;
d) 11 é o primeiro número primo de 2 algarismos que é um número palíndromo / capicua.
Fato interessante a destacar também é que 56 é o dobro do número perfeito 28.
| Tabela 1 | ||||||
| Inversão de Algarismos | ||||||
| A | B | C | D | E | F | |
| ordem / | número | algarismos | soma | raiz | diferença | raiz |
| posição | natural | invertidos | ( A + B ) | quadrada | ( B - A ) | quadrada |
| da | da | |||||
| soma | diferença | |||||
| 2 | 2 | 2 | 4 | 2 | 0 | 0 |
| 8 | 8 | 8 | 16 | 4 | 0 | 0 |
| 29 | 29 | 92 | 121 | 11 | 63 | 7,937254 |
| 38 | 38 | 83 | 121 | 11 | 45 | 6,708204 |
| 47 | 47 | 74 | 121 | 11 | 27 | 5,196152 |
| 56 | 56 | 65 | 121 | 11 | 9 | 3 |
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Construindo-se a Tabela 2 em que o número quadrado perfeito 121 (coluna A) é constante e subtraindo-se números naturais de 0 a 60 (coluna B); a única linha em que um número natural cuja diferença (coluna C) têm os mesmos algarismos e estão invertidos é a linha 56 ( 56 e 65 ).
Subtraindo-se números naturais da (coluna D) da (coluna C - diferença 1) têm-se como resultados a (coluna E - diferença 2).
Interessante destacar que:
a) a linha 56 é a única linha em que 56 aparece com algarismos invertidos (65) e a diferença é um quadrado perfeito (células azuis).
| Tabela 2 | ||||
| Número Palíndromo 121 | ||||
| e subtrações de números naturais | ||||
| A | B | C | D | E |
| quadrado | números | diferença | números | diferença |
| 121 | naturais | (1) | naturais | (2) |
| ( A - B) | ( C - D) | |||
| ordem / | ||||
| posição | ||||
| 121 | 0 | 121 | 0 | 121 |
| 121 | 1 | 120 | 1 | 119 |
| 121 | 2 | 119 | 2 | 117 |
| 121 | 3 | 118 | 3 | 115 |
| 121 | 4 | 117 | 4 | 113 |
| 121 | 5 | 116 | 5 | 111 |
| 121 | 6 | 115 | 6 | 109 |
| 121 | 7 | 114 | 7 | 107 |
| 121 | 8 | 113 | 8 | 105 |
| 121 | 9 | 112 | 9 | 103 |
| 121 | 10 | 111 | 10 | 101 |
| 121 | 11 | 110 | 11 | 99 |
| 121 | 12 | 109 | 12 | 97 |
| 121 | 13 | 108 | 13 | 95 |
| 121 | 14 | 107 | 14 | 93 |
| 121 | 15 | 106 | 15 | 91 |
| 121 | 16 | 105 | 16 | 89 |
| 121 | 17 | 104 | 17 | 87 |
| 121 | 18 | 103 | 18 | 85 |
| 121 | 19 | 102 | 19 | 83 |
| 121 | 20 | 101 | 20 | 81 |
| 121 | 21 | 100 | 21 | 79 |
| 121 | 22 | 99 | 22 | 77 |
| 121 | 23 | 98 | 23 | 75 |
| 121 | 24 | 97 | 24 | 73 |
| 121 | 25 | 96 | 25 | 71 |
| 121 | 26 | 95 | 26 | 69 |
| 121 | 27 | 94 | 27 | 67 |
| 121 | 28 | 93 | 28 | 65 |
| 121 | 29 | 92 | 29 | 63 |
| 121 | 30 | 91 | 30 | 61 |
| 121 | 31 | 90 | 31 | 59 |
| 121 | 32 | 89 | 32 | 57 |
| 121 | 33 | 88 | 33 | 55 |
| 121 | 34 | 87 | 34 | 53 |
| 121 | 35 | 86 | 35 | 51 |
| 121 | 36 | 85 | 36 | 49 |
| 121 | 37 | 84 | 37 | 47 |
| 121 | 38 | 83 | 38 | 45 |
| 121 | 39 | 82 | 39 | 43 |
| 121 | 40 | 81 | 40 | 41 |
| 121 | 41 | 80 | 41 | 39 |
| 121 | 42 | 79 | 42 | 37 |
| 121 | 43 | 78 | 43 | 35 |
| 121 | 44 | 77 | 44 | 33 |
| 121 | 45 | 76 | 45 | 31 |
| 121 | 46 | 75 | 46 | 29 |
| 121 | 47 | 74 | 47 | 27 |
| 121 | 48 | 73 | 48 | 25 |
| 121 | 49 | 72 | 49 | 23 |
| 121 | 50 | 71 | 50 | 21 |
| 121 | 51 | 70 | 51 | 19 |
| 121 | 52 | 69 | 52 | 17 |
| 121 | 53 | 68 | 53 | 15 |
| 121 | 54 | 67 | 54 | 13 |
| 121 | 55 | 66 | 55 | 11 |
| 121 | 56 | 65 | 56 | 9 |
| 121 | 57 | 64 | 57 | 7 |
| 121 | 58 | 63 | 58 | 5 |
| 121 | 59 | 62 | 59 | 3 |
| 121 | 60 | 61 | 60 | 1 |
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O número 56 é o primeiro Número Raro.
56 mais o (inverso de seus algarismos) 65 tem como resultado um número quadrado perfeito.
56 + 65 = 121
56 subtraído do (inverso de seus algarismos) 65 têm como resultado também um número quadrado perfeito.
65 - 56 = 9
Assim como o Número Raro 56, o Sr. Shyam Sunder Gupta ( Former Principal Chief Engineer, North Western Railway, Jaipur, India-302017 ) descobriu outras sequências de números raros que se encontram no WebSite:
http://www.shyamsundergupta.com/rare.html
O Sr. Shyam afirma que: "Números que produzem um quadrado perfeito tanto na adição quanto na subtração do seu inverso são números raros e, portanto, denominados Número Raros".
"Se R for um inteiro positivo e R1 for obtido de R escrevendo seus digito decimais em ordem reversa, então se R+R1 e R-R1 forem ambos quadraos perfeitos R será denominado Número Raro."
Observando detalhadamente a Tabela 1:
| Tabela 1 | ||||||
| Inversão de Algarismos | ||||||
| A | B | C | D | E | F | |
| ordem/ | número | algarismos | soma | raiz | diferença | raiz |
| posição | natural | reversos | ( A + B ) | quadrada | ( B - A ) | quadrada |
| da | da | |||||
| soma | diferença | |||||
| 2 | 2 | 2 | 4 | 2 | 0 | 0 |
| 8 | 8 | 8 | 16 | 4 | 0 | 0 |
| 29 | 29 | 92 | 121 | 11 | 63 | 7,937254 |
| 38 | 38 | 83 | 121 | 11 | 45 | 6,708204 |
| 47 | 47 | 74 | 121 | 11 | 27 | 3 |
| 56 | 56 | 65 | 121 | 11 | 9 | 3 |
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verifica-se que o número 47 possui propriedades numéricas semelhantes ao do Número Raro 56, vejamos:
a) a soma de 47 com seus algarismos invertidos 74 é o quadrado perfeito 121;
47 + 74 = 121
b) a diferença entre 74 (inverso) e 47 tem como resultado o número cúbico perfeito 27 (células verdes);
74 - 47 = 27
3√27 = 3
c) o mesmo se verifica na Tabela 2, linha 47.
Resta saber se há outros números com as mesmas propriedades do número 47 de gerarem números cúbicos.
Verificando as ordens / posições em que aparecem números quadrados perfeitos na Tabela 2, construi-se a Tabela 3.
| Tabela 3 | ||||
| Número Palíndromo 121 | ||||
| e subtrações de números naturais | ||||
| A | B | C | D | E |
| quadrado | números | diferença | números | diferença |
| 121 | naturais | (1) | naturais | (2) |
| ordens / | ||||
| posições | ||||
| 121 | 0 | 121 | 0 | 121 |
| 121 | 20 | 101 | 20 | 81 |
| 121 | 36 | 85 | 36 | 49 |
| 121 | 48 | 73 | 48 | 25 |
| 121 | 56 | 65 | 56 | 9 |
| 121 | 60 | 61 | 60 | 1 |
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Escrevendo as ordens / posições em ordem decrescente, as diferenças são múltiplos de 4 (progressão aritmética de razão 4).
| ordens / | diferenças |
| posições | |
| 60 | |
| 4 | |
| 56 | |
| 8 | |
| 48 | |
| 12 | |
| 36 | |
| 16 | |
| 20 | |
| 20 | |
| 0 | |
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Subtraindo-se ordens / posições do quadrado perfeito 121, obteve-se um único resultado em que aparecem números com algarismos invertidos e que são o 56 e 65.
| quadrado | ordens / | diferenças |
| 121 | posições | |
| 121 | 60 | 61 |
| 121 | 56 | 65 |
| 121 | 48 | 73 |
| 121 | 36 | 85 |
| 121 | 20 | 101 |
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Subtraindo-se ordens / posições das diferenças têm-se como resultados números quadrados perfeitos ímpares.
| ordens / | diferenças | quadrados |
| posições | ||
| 60 | 61 | 1 |
| 56 | 65 | 9 |
| 48 | 73 | 25 |
| 36 | 85 | 49 |
| 20 | 101 | 81 |
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Subtraindo-se múltiplos de 4 de um número quase-metade de um quadrado perfeito ímpar (constante), têm-se como resultados ordens / posições que por sua vez subtraídos desse número quadrado perfeito pode ter como diferença número com algarismos invertidos, isto é, um Número Raro.
O estudo também demonstrou que o número 47 e seu inverso 74 têm propriedades semelhantes a de números raros, mas com um diferencial, de gerar número cúbico perfeito, fato este que não aparece na Conjectura de Shyam sobre Números Raros.
Autor: Ricardo Silva - agosto/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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