Números Triangulares, também denominados de figurados, geométricos, são números que podem ser representados por meio de arranjos de pontos formando figuras de triângulos.
Podemos obter números triangulares através de 2 métodos usuais:
a) do produto de 2 números consecutivos dividido por 2;
( 1 x 2 ) / 2 = 1
( 2 x 3 ) / 2 = 3
( 3 x 4 ) / 2 = 6
b) da soma de números naturais consecutivos;
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
O presente estudo demonstram regularidades numéricas entre números triangulares com determinados números ímpares da forma 4x + 1 e o número 4, bem como, um novo método de se gerar número triangular.
A tabela a seguir apresenta os 31 primeiros números ímpares de 1 a 61 com as seguintes propriedades:
a) coluna A formada por números ímpares;
Números da forma 4x + 1 são números ímpares, entre eles primos e compostos que podem ser escritos como soma de 2 quadrados.
Números primos da forma 4x + 1 podemser escritos unicamente como uma dupla de soma de 2 quadrados enquanto os números compostos com mais de uma dupla como soma de 2 quadrados.
Os números em destaque: 5, 13, 25, 41, 61,... são números da forma 4x + 1, onde x é um número triangular.
Interessante pontuar que números da forma 4x + 1 em que x é triangular são números que são hipotenusas em triângulos retângulo escalenos, isto é, são termos de ternos pitagóricos primitivos.
b) coluna C formada da diferença entre a coluna A - números ímpares e a coluna B - número 1;
c) coluna E formada por quocientes da divisão da coluna D - números pares pela coluna D - número 4.
os números em destaque na Coluna E são números triangulares.
| Números Triangulares e | |||||||
| Números da Forma 4x + 1 | |||||||
| número | sub- | dife | divisão | quo- | fatores | fatores | intervalo |
| ímpar | tração | rença | por 4 | ciente | prin- | sencun- | |
| 1 | cipais | dários | |||||
| unidade | |||||||
| A | B | C | D | E | F | G | H |
| 1 | 1 | 0 | 4 | 0 | |||
| 3 | 1 | 2 | 4 | 0,5 | |||
| 5 | 1 | 4 | 4 | 1 | (1x2) / 2 | 1x1 | |
| 7 | 1 | 6 | 4 | 1,5 | |||
| 9 | 1 | 8 | 4 | 2 | 3 | ||
| 11 | 1 | 10 | 4 | 2,5 | |||
| 13 | 1 | 12 | 4 | 3 | (2x3) / 2 | 1x3 | |
| 15 | 1 | 14 | 4 | 3,5 | |||
| 17 | 1 | 16 | 4 | 4 | |||
| 19 | 1 | 18 | 4 | 4,5 | 5 | ||
| 21 | 1 | 20 | 4 | 5 | |||
| 23 | 1 | 22 | 4 | 5,5 | |||
| 25 | 1 | 24 | 4 | 6 | (3x4) / 2 | 2x3 | |
| 27 | 1 | 26 | 4 | 6,5 | |||
| 29 | 1 | 28 | 4 | 7 | |||
| 31 | 1 | 30 | 4 | 7,5 | |||
| 33 | 1 | 32 | 4 | 8 | 7 | ||
| 35 | 1 | 34 | 4 | 8,5 | |||
| 37 | 1 | 36 | 4 | 9 | |||
| 39 | 1 | 38 | 4 | 9,5 | |||
| 41 | 1 | 40 | 4 | 10 | (4x5) / 2 | 2x5 | |
| 43 | 1 | 42 | 4 | 10,5 | |||
| 45 | 1 | 44 | 4 | 11 | |||
| 47 | 1 | 46 | 4 | 11,5 | |||
| 49 | 1 | 48 | 4 | 12 | |||
| 51 | 1 | 50 | 4 | 12,5 | 9 | ||
| 53 | 1 | 52 | 4 | 13 | |||
| 55 | 1 | 54 | 4 | 13,5 | |||
| 57 | 1 | 56 | 4 | 14 | |||
| 59 | 1 | 58 | 4 | 14,5 | |||
| 61 | 1 | 60 | 4 | 15 | (5x6) / 2 | 3x5 | |
| www.osfantasticosnumeros primos.com.br | |||||||
d) coluna F - os números triangulares podem ser gerados do produto de 2 números consecutivos dividido por 2;
| A | B | C | D | E | F | G | H |
| 5 | 1 | 4 | 4 | 1 | ( 1 x 2 ) / 2 | 1 x 1 | |
| 7 | 1 | 6 | 4 | 1,5 | |||
| 9 | 1 | 8 | 4 | 2 | 3 | ||
| 11 | 1 | 10 | 4 | 2,5 | |||
| 13 | 1 | 12 | 4 | 3 | ( 2 x 3 ) / 2 | 1 x 3 | |
| www.osfantasticosnumeros primos.com.br | |||||||
interessante observar que o fator 2 se repete nas duas expressões: ( 1 x 2 ) / 2 e ( 2 x 3 ) / 2.
dividindo o fator 2 por 2, obtem 1.
podemos formar novas expressões mais sintéticas:
1 x 1 = 1 (número triangular) - coluna G
1 x 3 = 3 (número triangular) - coluna G
| A | B | C | D | E | F | G | H |
| 25 | 1 | 24 | 4 | 6 | (3x4) / 2 | 2x3 | |
| 27 | 1 | 26 | 4 | 6,5 | |||
| 29 | 1 | 28 | 4 | 7 | |||
| 31 | 1 | 30 | 4 | 7,5 | |||
| 33 | 1 | 32 | 4 | 8 | 7 | ||
| 35 | 1 | 34 | 4 | 8,5 | |||
| 37 | 1 | 36 | 4 | 9 | |||
| 39 | 1 | 38 | 4 | 9,5 | |||
| 41 | 1 | 40 | 4 | 10 | (4x5) / 2 | 2x5 | |
| www.osfantasticosnumeros primos.com.br | |||||||
o fator 4 se repete nas duas expressões: ( 3 x 4 ) / 2 e ( 4 x 5 ) / 2
dividindo o fator 4 por 2, obtem 2.
podemos formar novas expressões mais sintéticas:
3 x 2 = 6 (número triangular) - coluna G
2 x 5 = 10 (número triangular) - coluna G
De forma prática, escolhe-se 2 números consecutivos, dividi-se o número par por 2 e múltiplica-se pelo número ímpar, obtendo se assim um número triangular.
e) coluna F - os intervalos entre quocientes que são números triangulares e as expressões aritméticas forma progressão aritmética - PA de números ímpares da partir do número 3: 3, 5, 7, 11, 13, 15,...
Autor: Ricardo Silva - novembro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
