Imagine a seguinte situação, em sua escola está acontecendo a Semana da Matemática, com palestras, exposições e desafios.
Um dos desafios são descobrirem as alturas de 3 Triângulos Retângulos Pitagóricos de lados 3-4-5 em papel quadriculado conforme modelo matemático a seguir:
Serão contemplados os alunos que resolverem o item 3 com solução que diferem de métodos e fórmulas usuais.
Para facilitar, isto é, dar uma ajuda aos alunos, no item 3, os lados do Triângulo Pitagórico 3-4-5 estão acompanhados de seus respectivos quadrados perfeitos.
Terminado o desafio, verificou-se que todos os participantes acertaram os itens 1 e 2 cujas respostas foram:
item 1 - altura do triângulo é 3cm;
item 2 - altura do triângulo é 4cm.
Quanto ao item 3:
a) parte dos participantes se lembraram das relações métricas no triângulo retângulo...
... e deram como solução:
i) b2 : a = n
16 : 5 = 3,2
ii) c2 : a = m
9 : 5 = 1,8
iii) h2 = m . n
h2 = 3,2 . 1,8
h = √ 5,76
h = 2,4
Resposta: A altura do triângulo pitagórico 3 é 2,4cm.
b) outra parte dos participantes deram a seguinte solução:
b.c = a.h
h = ( b . c ) / a
h = ( 4 . 3 ) / 5
h = 12 / 5
h = 2,4
c) outra parte dos participantes deram a seguinte solução e que também é inédita:
A raiz quadrada do produto do produto do cateto menor pelo seno e do produto do cateto maior pelo cosseno é igual a altura relativa da hipotenusa de um triângulo retângulo pitagórico.
h2 = [ c ( c / a ) ] . [ b ( b / a ) ]
h2 = [ 3 ( 3 / 5 ) ] . [ 4 ( 4 / 5 ) ]
h2 = [ 3 ( 0,6 ) ] + [ 4 ( 0,8 ) ]
h2 = [ 1,8 ] . [ 3,2 ]
h2 = 5,76
h = √5,76
h = 2,4
Resposta: A altura do triângulo pitagórico 3 é 2,4cm.
d) outra parte dos participantes deram a seguinte solução que é inédita:
A soma dos lados de um triângulo retângulo pitagórico dividido pela hipotenusa é igual a altura relativa à hipotenusa.
h = ( a + b + c ) / a
h = ( 5 + 4 + 3 ) / 5
h = 12 / 5
h = 2,4
Resposta: A altura do triângulo pitagórico 3 é 2,4cm.
Senhor Visitante do WebSite Os Fantásticos Números Primos, sendo o Senhor membro da Comissão Julgadora do Desafio, quais participantes merecem ser contemplados na resolução do item 3, levando-se em conta a resolução que se destaca quanto a criatividade e originalidade.
Conforme os itens 3c (Fórmulas 7, 8 e 9) e 3d (Fórmula 10) são demonstrados novas fórmulas, bem como, novas relações métricas e trigonométricas relacionadas a triângulo retângulo pitagórico.
A Fórmula 7 demonstra que o produto do cateto menor pelo seno tem como resultado a projeção m (projeção do cateto menor sobre a hipotenusa).
A Formula 8 demonstra que o produto do cateto maior pelo cosseno tem como resultado a projeção n (projeção do cateto menor sobre a hipotenusa).
Formula 9 é o conjugado das Fórmulas 7 e 8 e que demostra que A raiz quadrada do produto do produto do cateto menor pelo seno e do produto do cateto maior pelo cosseno é igual a altura relativa da hipotenusa de um triângulo retângulo pitagórico.
A Fórmula 10 apresenta um diferencial na sua utilização com triângulos pitagóricos primitivos, onde oT é ordem / posição de número triangular.
Estudos publicados no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas demonstram que ternos pitagóricos primitivos de ordem triângular são ternos que têm suas ordens / posições de números triangulares.
a) Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5 tem ordem / posição 1 (1 é o primeiro número triangular).
Subtraindo 1 unidade do cateto menor 3 e dividindo por 2, tem-se o resultado 1.
O 1 é colocado na Fórmula 10 da seguinte forma:
h = [oT ( a + b + c ) ] / a
h = [ 1 ( 5 + 4 + 3 ) ] / 5
h = [ 1 . 12 ] / 5
h = 2,4
b) Terno Pitagórico Primitivo 5-12-13 tem ordem / posição 3 (3 é o segundo número triangular).
Subtraindo 1 unidade do cateto menor 5 e dividindo por 2, tem-se o resultado 2.
O 2 é colocado na Fórmula 10 da seguinte forma:
h = [ oT ( a + b + c ) ] / a
h = [ 2 ( 13 + 12 + 5 ) ] / 13
h = [ 2 . 30 ] / 13
h = 60 / 13
h = 4,61...
c) Terno Pitagórico Primitivo 7-24-25 tem ordem / posição 6 (6 é o terceiro número triangular).
Subtraindo 1 unidade do cateto menor 7 e dividindo por 2, tem-se o resultado 3.
O 3 é colocado na Fórmula 10 da seguinte forma:
h = [ oT ( a + b + c ) ] / a
h = [ 3 ( 25 + 24 + 7 ) ] / 25
h = [ 3 . 56 ] / 25
h = 168 / 25
h = 6,72...
Autor: Ricardo Silva - setembro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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