Matematicando com o Professor Fernando Manso tem por objetivo divulgar fórmulas, expressões, bem como, desafios e curiosidades matemáticas.
Fernando Manso é Professor de Química na Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR-CM.
Conjectura: dados cinco naturais consecutivos com o mesmo número de dígitos. Forma-se 4 números distintos, tomando os naturais dois a dois na ordem dada.
Então vale a igualdade: (n+1)(n+3) - (n)(n+2) = (n+2)^2 - (n+1)^2.
Ex: 23456;
n=23;
(n+1)=34;
(n+2)=45;
(n+3)=56;
34x56 - 23x45 = 45^2 - 34^2;
1904 - 1035 = 2025 - 1156;
De fato: 869 = 869.
Duas fórmulas para gerar números Triangulares:
1) Números Triângulares nas posições ímpares:
T(2n-1) = 2n^2 - n;
2) Números Triangulares nas posições pares:
T(2n) = 2n^2 + n, onde n é um número natural.
Ex1
n=6; T(2 x 6-1) = 2x6^2 - 6 = 66.
De fato, o décimo primeiro número Triangular é o 66;
T(2x6) = 2x6^2 + 6 = 78.
De fato, o décimo segundo número Triangular é o 78.
Um outro problema interessante sobre Ternos Pitagóricos: Todo número ímpar maior que 1 pode ser cateto de um Terno Pitagórico Primitivo, o mesmo não ocorre com a hipotenusa.
Seja "a" um cateto de um Terno Pitagórico Primitivo dado por a=2n+1, com n natural. Encontrar uma fórmula que dê todas as hipotenusas em função de n. Após encontrar a fórmula (H), escreva a expressão que define todos esses Ternos Pitagóricos Primitivos em função de n (2n+1, H-1, H).
Ex1:
(37)^2:
3^2 = 9 x 10 = 90;
7^2 = 49;
3 x 7 x 2 = 21 x 2 = 42.
Agora juntamos tudo isso: (37)^2 = (90 + 42 + 4)]9 = 1369.
O caracter ] significa concatenação.
Ex2:
(43)^2:
(160 + 24 + 0]9 = 1849.
A ideia é que, com um pouco de treino possamos fazer isso mentalmente.
O algoritmo vale para o cálculo de qualquer quadrado.
Para números maiores, pode ser aplicado em cada etapa.
Ex3: (126)^2 = (1440 + 12 x 6 x 2 + 3)]6 = 15876;
12^2 = (10 + 4 + 0)]4 = 144
para o caso de não conhecermos o quadrado de 12.
Q(n) x T(n-1) - Q(n-1) x T(n) = T(n-1).
Ex: n=13;
Q(13)=169;
T(13)=91;
Q(12)=144;
T(12)=78;
(169 x 78) - (144 x 91) = 13182 - 13104 = 78 = T(12).
Você sabia que os números triangulares que também são quadrados perfeitos são extremamente raros?
Nos primeiros 1.000.000.000 de números Triangulares,
apenas 12 são quadrados perfeitos:
1 x 1 = 1,
(8 x 9) consecutivos
(rentangular 72)
6x6 = 36,
(49 x 50) consecutivos
(retangular 2450)
35 x 35 = 1.225,
(288 x 289) consecutivos
(retangular 83232)
204 x 204 = 41.616,
(1681 x 1682) consecutivos
(retangular 2827442)
1189 x 1189 = 1.413.721,
(9800 x 9801) consecutivos
(retangular 96049800)
6930 x 6930 = 48.024.900,
(57121 x 57122) consecutivos
(retangular 3262865762)
40391 x 40391 = 1.631.432.881,
(332928 x 332929) consecutivos
(retangular 110841386112)
235416 x 235416 = 55.420.693.056,
(1940449 x 1940450)
(retangular 3765344262050)
1372105 x 1372105 = 1.882.672.131.025,
(11309768 x 11309769)consecutivos
(retangular 127910863523592)
1372105 x 7997214 = 63.955.431.761.796,
(65918161 x 65918162) consecutivos
(retangular 4345204015540082)
46611179 x 46611179 = 2.172.602.007.770.041,
(384199200x384199201) consecutivos
(retangular 147609025664839200)
271669860 x 271669860 = 73.804.512.832.419.600.
Isso dá uma média de 1 quadrado perfeito a cada 83,33 milhões de números Triangulares.
Muito bonitas essas relações de números Triangulares que são Quadrados Perfeitos.
Encontrei uma fórmula para cálculo do sexto e décimo Triangular Quadrado Perfeito:
6TQ = [(4TQ/36 - 2TQ/36)^2]x36; 10TQ = [(6TQ/36 - 4TQ/36)^2]x36;
6TQ=48024900; 4TQ=41616; 2TQ=36.
Então temos:
[(41616/36 - 36/36)^2]x36 = [(1156 - 1)^2]x36 = (1155^2)x36 = 1334025 x 36 = 48024900 =
sexto triangular quadrado;
[(48024900/36 - 41616/36)^2]x36 = [(1334025 - 1156)^2]x36 = [(1332869)^2]x36 = 1777539771161x36 = 63955431761796 = décimo triangular quadrado.
Se n deixar resto 1 na divisão por 3, ou seja se n for congruente a 1 módulo 3, o produto de n pelo seu consecutivo n+1 não será múltiplo de 3.
Os demais produtos n(n+1) serão todos múltiplos de 3 e a divisão por 3 sempre resultará em um número par.
Há uma regularidade interessante entre esses pares de produtos consecutivos:
2 x 3 = 6 / 3 = 2;
3 x 4 = 12 / 3 = 4,
a diferença: 4 - 2 = 2,
que divide 2 e divide 4,
gerando os números 1 e 2 cujo produto 1x2 = 2
que não é múltiplo de 3.
O próximo par é
5x6 = 30 / 3 = 10;
6x7 = 42 / 3 = 14,
a diferença 14 - 10 = 4, que não divide 10 e não divide 14.
O próximo par é
8 x 9 = 72 / 3 = 24;
9 x 10 = 90 / 3 = 30,
a diferença: 30 - 24 =6,
que divide 24 e divide 30,
gerando os números 4 e 5 cujo produto 4x5 = 20
que não é múltiplo de 3, e assim sucessivamente.
A diferença entre os valores dos pares cresce de 2 em 2: 2, 4, 6,...
e a diferença entre esses pares cresce de 4 em 4: 6, 10, 14,...
Seja S uma sequência qualquer de naturais consecutivos com número par de elementos (2n).
Divida a sequência em dois blocos com n elementos cada.
A soma dos n elementos do primeiro bloco, mais o quadrado de n será sempre igual à soma dos n elementos do segundo bloco.
Ex:
S=(17,18,19,20,21,22,23,24,25,26);
2n=10;
n=5;
n^2=25.
Então temos:
17 + 18 + 19 + 20 + 21 + (25) = 95 + 25 = 120 = 22 + 23 + 24 + 25 + 26 = 120.
Isto é útil para sabermos o valor de um dado número triangular.
Qual o valor do décimo número triangular?
podemos fazer o cálculo da seguinte maneira:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 + 5^2 = 40 é o valor da soma de 6 a 10.
Portanto o décimo número triangular será 15 + 40 = 55.
Qual o valor do triangular de número 40?
posso calcular da seguinte forma:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 + 40 = 55 + 100 = 155;
0 T20 será 155 + 55 = 210 + 400 = 610.
Portanto, o T40 será 610 + 210 = 820.
De fato: T40 = (40^2 + 40) / 2 = 820.
Ou seja calculei a soma dos números consecutivos de 1 a 40, somando apenas os 5 primeiros e utilizando a propriedade 3 vezes de forma consecutiva.
Uma relação interessante entre quadrados e números triangulares.
A diferença entre a soma de quadrados pares consecutivos e quadrados ímpares consecutivos, a partir dos quadrados consecutivos 1 e 4 sempre resultará em um número triangular em posição 2n onde n é o número de parcelas da soma.
Ex:
Seja n=6;
então temos:
4+16+36+64+100+144 = 364;
1+9+25+49+81+121 = 286;
364 - 286 = 78;
2n = 2x6 = 12;
portanto, 78 é o T(78).
De fato: (12^2 + 12)/2 = 78.
Uma relação ainda mais interessante entre cubos e quadrados de números triangulares.
A soma de cubos consecutivos ímpares
com cubos consecutivos pares, a partir de 1 e 8, resulta sempre em [T(2n)]^2 (Triangular em posição par), onde n é o número de parcelas da soma.
Ex: n=13;
1 + 27 + 125 + 343 + 729 + 133 1+ 2197 + 3375 + 4913 + 6859 + 9261 + 12167 + 15625 = 56953;
8 + 64 + 216 + 512 + 1000 + 1728 + 2744 + 4096 + 5832 + 8000 + 10648 + 13824 + 17576 = 66248;
56953 + 66248 = 123201 = 351^2 = [T(26)]^2
A soma de cubos consecutivos ímpares com cubos consecutivos pares, a partir de 1 e 8, sendo o número de parcelas de cubos ímpares uma unidade maior que o número de parcelas de cubos pares, resulta sempre em [T(2n+1)]^2 (Triangular em posição ímpar), onde n é o número de parcelas da soma de cubos pares.
Ex: n=13;
1 + 27 + 125 + 343 + 729 + 1331 + 2197 + 3375 + 4913 + 6859 + 9261 + 12167 + 15625 = 56953;
8 + 64 + 216 + 512 + 1000 + 1728 + 2744 + 4096 + 5832 + 8000 + 10648 + 13824 = 48672;
56953 + 48672 = 105635 = 325^2 = [T(25)]^2
setembro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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