Números Quadrados Perfeitos são números naturais que são produtos de um número por ele mesmo e a sua raiz quadrada é também um número natural.
Números quadrados, Números triangulares, Números retangulares, também denominados de números figurados, são números que podem ser gerados por meio de arranjos de pontos, formando figuras geométricas.
O presente estudo demonstra relações numéricas entre números quadrados perfeitos e suas respectivas raízes quadradas com números retangulares e triangulares, bem como, com números consecutivos e vice-versa.
| Quadrado 9 e raiz 3 | ||||||
| quadrado | ||||||
| raiz | 3 | + | 9 | - | 3 | raiz |
| . | ||||||
| retangular | 12 | . | 6 | retangular | ||
| :2 | . | :2 | ||||
| triangular | 6 | . | 3 | triangular | ||
| :2 | :1 | |||||
| . | ||||||
| raiz | ||||||
| 3 | ||||||
| . | ||||||
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A soma de um quadrado e sua raiz é um número retangular.
9 + 3 = 12
Raiz quadrada subtraída de seu quadrado perfeito é número retangular.
9 - 3 = 6
A metade de um número retangular é um número triangular.
12 : 2 = 6
6 : 2 = 3
A soma de 2 números triangulares consecutivos é um número quadrado perfeito.
3 + 6 = 9
A diferença entre dois números triangulares consecutivos é uma raiz quadrada.
6 - 3 = 3
3 é raiz quadrada de 9.
Observação importante 1)
Número ímpar igual ou maior que 3 pode ser escrito como soma de 2 números consecutivos.
(raiz) 3 = 1 + 2
Triangular 6 : 2 = 3 (raiz quadrada de 9)
Triangular 3 : 1 = 3 (raiz quadrada de 9)
Observação importante 2)
A partir de um número ímpar igual ou maior que 3 (raiz quadrada) podem ser gerados 2 números triangulares dos 2 números consecutivos que somados é este número ímpar.
(raiz) 3 = 1 + 2
3 x 1 = 3 (triangular)
3 x 2 = 6 (triangular)
Observação importante 3)
2 triangulares consecutivos cuja soma é um número quadrado perfeito ímpar são divizíveis pela raiz quadrada desse quadrado perfeito.
6 : 3 = 2
3 : 3 = 1
| Quadrado 25 e raiz 5 | ||||||
| quadrado | ||||||
| raiz | 5 | + | 25 | - | 5 | raiz |
| . | ||||||
| retangular | 30 | . | 20 | retangular | ||
| :2 | :2 | |||||
| . | ||||||
| triangular | 15 | . | - | 10 | triangular | |
| :3 | :2 | |||||
| . | raiz | |||||
| 5 | ||||||
| . | ||||||
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| Quadrado 49 e raiz 7 | ||||||
| quadrado | ||||||
| raiz | 7 | + | 49 | - | 7 | raiz |
| retangular | 56 | 42 | retangular | |||
| :2 | :2 | |||||
| triangular | 28 | - | 21 | triangular | ||
| :4 | :3 | |||||
| raiz | ||||||
| 7 | ||||||
| . | ||||||
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| Quadrado 81 e raiz 9 | ||||||
| quadrado | ||||||
| raiz | 9 | + | 81 | - | 9 | raiz |
| retangular | 90 | 72 | retangular | |||
| :2 | :2 | |||||
| triangular | 45 | 36 | triangular | |||
| :5 | :4 | |||||
| raiz | ||||||
| 9 | ||||||
| . | ||||||
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| Quadrado 4 e raiz 2 | ||||||
| quadrado | ||||||
| raiz | 2 | + | 4 | - | 2 | raiz |
| retangular | 6 | 2 | retangular | |||
| :2 | :2 | |||||
| triangular | 3 | - | 1 | triangular | ||
| raiz | ||||||
| 2 | ||||||
| . | ||||||
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A soma de um quadrado e sua raiz quadrada é um número retangular.
4 + 2 = 6
Raiz quadrada subtraída de seu quadrado perfeito é número retangular.
4 - 2 = 2
A metade de um número retangular é um número triangular.
6 : 2 = 3
2 : 2 = 1
A soma de 2 números triangulares consecutivos é um número quadrado perfeito.
1 + 3 = 4
A diferença entre dois triangulares consecutivos é uma raiz quadrada.
3 - 1 = 2
2 é raiz quadrada de 4.
Observação importante 1)
Número par não pode ser escrito como soma de 2 números consecutivos.
Observação importante 2)
Para se gerar 2 números triangulares a partir de um número par deve-se:
i) multiplicar o número par pelo seu antecessor e dividir por 2;
(2 x 1) / 2 = 1 (triangular)
ii) multiplicar o número par pelo sucessor e dividir por 2;
(2 x 3) / 2 = 3 (triangular)
iii) a soma dos triangulares 1 e 3 é igual a 4;
iv) 4 é o quadrado perfeito do número 2.
Observação importante 3)
2 triangulares consecutivos cuja soma é um número quadrado perfeito par não são divizíveis pela raiz quadrada desse quadrado perfeito.
3 não é divizível por 2
1 não é divizível por 2
| Quadrado 16 e raiz 4 | ||||||
| quadrado | ||||||
| raiz | 4 | + | 16 | - | 4 | raiz |
| retangular | 20 | 12 | retangular | |||
| triangular | 10 | - | 6 | triangular | ||
| raiz | ||||||
| 4 | ||||||
| . | ||||||
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| Quadrado 36 e raiz 6 | ||||||
| quadrado | ||||||
| raiz | 6 | + | 36 | - | 6 | raiz |
| retangular | 42 | 30 | retangular | |||
| triangular | 21 | - | 15 | triangular | ||
| raiz | ||||||
| 6 | ||||||
| . | ||||||
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| Quadrado 64 e raiz 8 | ||||||
| quadrado | ||||||
| raiz | 8 | + | 64 | - | 8 | raiz |
| retangular | 72 | 56 | retangular | |||
| triangular | 36 | - | 28 | triangular | ||
| raiz | ||||||
| 8 | ||||||
| . | ||||||
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A partir das propriedades matemáticas descritas neste estudo, desenvolveu-se um Diagrama de Relações entre Números Figurados que sintetizam relações numéricas entre números quadrado perfeito e raiz quadrada, números retangulares, números triangulares e números consecutivos.
Lembrando que números pares não poder ser escritos como soma de 2 números consecutivos.
Autores: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - setembro /2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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