O presente estudo parte das seguintes observações:
"Quando uma circunferência com centro na origem (0, 0) engloba um quadrado que tem vértice na origem (0, 0) e dois lados alinhados com os eixos do plano, de forma que a circunferência tocando ou dois ou um dos outros vértices do quadrado, ela (circunferência) parece não conseguir tocar o vértice de quadrado inscrito cujo os lados são inteiro (suposição a ser verificada posteriormente com calma)"
feitas pelo Sr. Aristóteles de Araújo Costa, Entusiasta Matemático, residente na Cidade de Teresina - Piauí que por sua vez se baseou em estudos realizados com a leitura do livro digital Escada de Theon e Sequêcias Numéricas, bem como, matérias publicadas aqui WebSite.
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As figuras geométricas regulares possuem a propriedade de auto-semelhança, isto é, a partir do ponto médio de seus lados, e unindo-os com seguimentos de retas, podem ser construídas outras figuras semelhantes e proporcionais a original.
Nos exemplos a seguir, têm-se o triângulo equilátero, o quadrado, o pentágono e o hexágono, demonstrando a propriedade de auto-semelhança.
Quadrados dinâmicos são sequências de quadrados obtidos a partir de um quadrado de lados unitários e que podem ser replicados proporcionalmente por meio do ponto médio dos seus lados, pelas suas diagonais ou pelos seus lados.
No exemplo a seguir, tem-se sequências de quadrados dinâmicos construídos a partir de dois lados e diagonais.
A partir de um quadrado unitário:
a) prolongam-se o lado esquerdo, a base e a diagonal;
b) centro no vértice esquerdo inferior;
c) traça-se um arco de circunferência intersectando o vértice direito superior, bem como os prolongamentos do lado esquerdo e da base.
d) traçando-se sequimentos de retas nas intersecções do arco com o lado esquerdo e a base, constroem-se infinitos quadrados dinâmicos e proporcionais.
Observando a reta numerada há quadrados cujos lados são números inteiros: 1, 2, 4, 8, 16,..., formando uma progressão geométrica de razão 2 (potências de base 2).
A outra sequência de quadrados cujos lados são números irracionais, também forma uma progressão geometrica: √2, 2√2, 4√2,... em que os termos são formados por potências de base 2 e com raiz quadrada de 2 (√2).
Importante observar a alternância entre lados e diagonal, isto é, quando o lado é um número inteiro, a diagonal é um número irracional e quando o lado é um número irracional, o lados é um número inteiro.
Concatenando as duas sequências, têm-se: 1, √2, 2, 2√2, 4, 4√2, 8, 8√2,... e uma utilização prática desta sequência numérica é na construção do Triângulo dos Arquitetos Medievais do Século X e que apresenta estreita relação com o Algoritmo Escada de Theon e com os quais se podem extrair a raiz quadrada de 2 aproximada.
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Observação importante: as construções de quadrados dinâmicos se assemelham a quadrados inscritos em circunferências.
Elaborando-se outra construção geométrica em que os quadrados também são proporcionais e cujos lados agora são números naturais sequênciais: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... com arcos de circunferências inscritos nos quadrados, nota-se que:
a) determinados quadrados quase tocam, isto é, quase encostam em determinados arcos de circunferências, por exemplo, o quadrado de lado 5 quase encosta no arco de circunferência de raio 7, originado do quadrado de lado 7;
b) outro exemplo, o quadrado de lado 7 quase encosta no arco de circunferência de raio 10, originado do quadrado de lado 10;
c) outro exemplo, o quadrado de lado 10 quase encosta no arco de circunferência de raio 14, originado do quadrado de lado 14;
Observação importante: as construções de quadrados de lados inteiros se assemelham à circunferências inscritas em quadrados.
Elaborando-se outra construção, também com quadrados cujos lados são números naturais sequênciais e inscrevendo-se quadrados que enconstam em arcos de circunferências, nota-se que:
a) determinados quadrados quase encostam em quadrados cujos vértices direito superior tocam em arco de circunferência; por exemplo, o quadrado de lado 2 quase enconsta no quadrado inscrito no arco inscrito do quadrado de lado 3;
b) outro exemplo, o quadrado de lado 5 quase enconsta no quadrado inscrito no arco inscrito do quadrado de lado 7;
c) outro exemplo, o quadrado de lado 7 quase enconsta no quadrado inscrito no arco inscrito do quadrado de lado 10;
Observação importante: a construção geométrica da Fig. 468-04 se assemelham à circunferências inscritas em quadrados e quadrados inscritos em circunferências.
Na Fig. 468-04, o quadrado de lado 5 quase enconsta no quadrado inscrito no arco inscrito do quadrado de lado 7.
Quadruplicando-se o Triângulo Pitagórico 3-4-5 e construindo um Modelo Geométrico de Comparação de Áreas, o quadrado inscrito (pontilhado) têm seus lados medindo 5cm (mesma medida da hipotenusa do Triângulo Pitagórico 3-4-5) e a sua diagonal, 7cm (um número inteiro que é a soma do catetos 3 e 4).
Importante observar que o arco de circunferência intersecta a diagonal do quadrado maior, dividindo-a em um seguimento de 7cm e o outro de 3cm.
Efetuando cálculos com o Teorema de Pitágoras do quadrado pontilhado de lados 5cm:
d2 = L2 + L2
d2 = 52 + 52
d2 = 25 + 25
d2 = 50
d = √50
d = √2 x 52
d =5 √2
d = 7,071
Efetuando cálculos com o Teorema de Pitágoras do quadrado maior de lados 7cm:
d2 = L2 + L2
d2 = 72 + 72
d2 = 49 + 49
d2 = 98
d = √98
d = √2 x 72
d = 7 √2
d = 9,899
A pergunta que se faz é a seguinte: haverá um momento em que nas construções geométricas das Figuras 468-03 e 468-04 ao infinito, quadrado encostará em arco de circunferência, assim como quadrado, encostará em quadrado?
Autor: Ricardo Silva - outubro/2023
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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