Haruo Hosoya, químico japonês, publicou em 1976, um artigo no Periódico Fibonacci Quarterly de um triângulo equitátero cujos lados são formados por duplas Sequências de Fibonacci semelhante ao Triângulo de Pascal.
A Sequência de Fibonacci é uma sequência numérica em que duplicando-se o número 1, a partir do terceiro termo, somam-se dois números anteriores:
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...).
A Sequência de Fibonacci possui diversas propriedades algébricas e aritméticas relacionadas à matemática, à geometria, à física, à biologia, à química, etc.
O presente estudo demonstra que no Triângulo de Fibonacci / Haruo Hosya são possíveis de se gerarem ternos pitagóricos primitivos e derivados a partir de dois métodos distintos.
A partir da linha 4 e assim para linhas pares, são possíveis de se formarem ternos pitagóricos primitivos e derivados no Triângulo de Fibonacci / Haruo Hosoya.
Nas linhas cujas ordens / posições são pares, a soma dos dois números de Fibonacci, dos extremos do lado esquerdo ou do lado direito do Triângulo de Fibonacci / Haruo Hosoya, são números que correspondem às hipotenusas em triângulos retângulos (células roxas); os números repetidos que somados, juntos a coluna central, correspondem aos catetos maiores (células verdes); e os números aos lados de números que se repetem são os que correspondem aos cateto menores (células amarelas).
Na tabela abaixo, pode-se visualizar a formações de ternos pitagóricos à partir de números de Fibonacci.
| Triângulo de Fibonacci / | |||||||||||
| Haruo Hosoya | |||||||||||
| e | |||||||||||
| Ternos Pitagóricos | |||||||||||
| Números | ternos | ||||||||||
| do triângulo | pitagóricos | ||||||||||
| Fibonacci | |||||||||||
| catetos | hipo- | hipo- | |||||||||
| tenusa | catetos | tenusa | |||||||||
| c | b | b | a | a | c | b + b | a + a | c² | b² | b²+ c² | a² |
| 3 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 9 | 16 | 25 | 25 |
| 5 | 6 | 6 | 5 | 8 | 5 | 12 | 13 | 25 | 144 | 169 | 169 |
| 16 | 15 | 15 | 13 | 21 | 16 | 30 | 34 | 256 | 900 | 1156 | 1156 |
| 39 | 40 | 40 | 34 | 55 | 39 | 80 | 89 | 1521 | 6400 | 7921 | 7921 |
| 105 | 104 | 104 | 89 | 144 | 105 | 208 | 233 | 11025 | 43264 | 54289 | 54289 |
| 272 | 273 | 273 | 233 | 377 | 272 | 546 | 510 | 73984 | 298116 | 372100 | 372100 |
| 715 | 714 | 714 | 610 | 987 | 715 | 1428 | 1597 | 511225 | 2039184 | 2550409 | 2550409 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||||||||
Observação: Cada dupla de números de Fibonacci que fazem parte dos lados do triângulo, a partir da dupla 3 e 2, formam os termos m e n das Fórmulas de Euclides com as quais são possíveis de se gerarem ternos pitagóricos.
Para mais informações, veja matérias relacionadas abaixo.
SMITH, Jeffrey Lee [3], em sua tese de mestrado, de modo diferente, para formar ternos pitagóricos, pega o termo que corresponde à hipotenusa, o último elemento da linha abaixo dos dois termos que correspondem aos catetos no triângulo retângulo.
Exemplos:
a) para formar o Terno Pitagórico 3-4-5, pegam-se os números na linha 4: 3 (célula amarela), 2 e 2 (células verdes) e 5 (célula roxa) na linha 5;
b) para formar o Terno Pitagórico 5-12-13, pegam-se os números na linha 6: 5 (célula amarela), 6 e 6 (células verdes) e 34 (célula roxa) na linha 7;
Autor: Ricardo Silva - julho/2023
[2] ASTROLINO e SILVA, Bruno. Números de Fibonacci e números de Lucas. Dissertação (Mestrado de Pós Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) --Instituto de Ciências Matemáicas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2017.
HOSOYA, Haruo. Fibonacci triangle. Fibonacci Quarterly, 14(2):173-179, 1976.
[3]SMITH, Jeffrey Lee, "The Fibonacci sequence and Hosoya's triangle" (2013). Theses Digitization Project . 3975.
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
