Potências de um número aumentam rapidamente e tornam-se números extremamentes grandes tanto em valores quanto nas quantidades de seus algarismos.
As potências também ultrapassam as casas dos quintilhões muito rapidamente.
O presente estudo demonstra curiosidades relacionadas as 30 primeiras sequências de potências cujas bases são números naturais de 2 a 9.
Analisando as potências de bases 2 a 9, observa-se que:
a) determinadas quantidades de algarismos de potências de base 2 a base 8 se repentem, isto é, não mantêm correspondências numéricas entre expoentes e quantidades de algarismos;
b) potências de base 9, são as que diferem das demais potências, com excessão dos expoentes 0 e 22, as demais potências apresentam correspondências entre expoentes e quantidades de algarismos.
| Potências de base 2 | |||
|---|---|---|---|
| Base | Expoente | Potência | quantidade |
| algarismos | |||
| 2 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 1 |
| 2 | 2 | 4 | 1 |
| 2 | 3 | 8 | 1 |
| 2 | 4 | 16 | 2 |
| 2 | 5 | 32 | 2 |
| 2 | 6 | 64 | 2 |
| 2 | 7 | 128 | 3 |
| 2 | 8 | 256 | 3 |
| 2 | 9 | 512 | 3 |
| 2 | 10 | 1.024 | 4 |
| 2 | 11 | 2.048 | 4 |
| 2 | 12 | 4.096 | 4 |
| 2 | 13 | 8.192 | 4 |
| 2 | 14 | 16.384 | 5 |
| 2 | 15 | 32.768 | 5 |
| 2 | 16 | 65.536 | 5 |
| 2 | 17 | 131.072 | 6 |
| 2 | 18 | 262.144 | 6 |
| 2 | 19 | 524.288 | 6 |
| 2 | 20 | 1.048.576 | 7 |
| 2 | 21 | 2.097.152 | 7 |
| 2 | 22 | 4.194.304 | 7 |
| 2 | 23 | 8.388.608 | 7 |
| 2 | 24 | 16.777.216 | 8 |
| 2 | 25 | 33.554.432 | 8 |
| 2 | 26 | 67.108.864 | 8 |
| 2 | 27 | 134.217.728 | 9 |
| 2 | 28 | 268.435.456 | 9 |
| 2 | 29 | 536.870.912 | 9 |
| Potências de base 3 | |||
|---|---|---|---|
| Base | Expoente | Potência | quantidade |
| algarismos | |||
| 3 | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 1 | 3 | 1 |
| 3 | 2 | 9 | 1 |
| 3 | 3 | 27 | 2 |
| 3 | 4 | 81 | 2 |
| 3 | 5 | 243 | 3 |
| 3 | 6 | 729 | 3 |
| 3 | 7 | 2.187 | 4 |
| 3 | 8 | 6.561 | 4 |
| 3 | 9 | 19.683 | 5 |
| 3 | 10 | 59.049 | 5 |
| 3 | 11 | 177.147 | 6 |
| 3 | 12 | 531.441 | 6 |
| 3 | 13 | 1.594.323 | 7 |
| 3 | 14 | 4.782.969 | 7 |
| 3 | 15 | 14.348.907 | 8 |
| 3 | 16 | 43.046.721 | 8 |
| 3 | 17 | 129.140.163 | 9 |
| 3 | 18 | 387.420.489 | 9 |
| 3 | 19 | 1.162.261.467 | 10 |
| 3 | 20 | 3.486.784.401 | 10 |
| 3 | 21 | 10.460.353.203 | 11 |
| 3 | 22 | 31.381.059.609 | 11 |
| 3 | 23 | 94.143.178.827 | 11 |
| 3 | 24 | 282.429.536.481 | 12 |
| 3 | 25 | 847.288.609.443 | 12 |
| 3 | 26 | 2.541.865.828.329 | 13 |
| 3 | 27 | 7.625.597.484.987 | 13 |
| 3 | 28 | 22.876.792.454.961 | 14 |
| 3 | 29 | 68.630.377.364.883 | 14 |
| Potências de base 4 | |||
|---|---|---|---|
| Base | Expoente | Potência | quantidade |
| algarismos | |||
| 4 | 0 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 4 | 1 |
| 4 | 2 | 16 | 2 |
| 4 | 3 | 64 | 2 |
| 4 | 4 | 256 | 3 |
| 4 | 5 | 1.024 | 4 |
| 4 | 6 | 4.096 | 4 |
| 4 | 7 | 16.384 | 5 |
| 4 | 8 | 65.536 | 5 |
| 4 | 9 | 262.144 | 6 |
| 4 | 10 | 1.048.576 | 7 |
| 4 | 11 | 4.194.304 | 7 |
| 4 | 12 | 16.777.216 | 8 |
| 4 | 13 | 67.108.864 | 8 |
| 4 | 14 | 268.435.456 | 9 |
| 4 | 15 | 1.073.741.824 | 10 |
| 4 | 16 | 4.294.967.296 | 10 |
| 4 | 17 | 17.179.869.184 | 11 |
| 4 | 18 | 68.719.476.736 | 11 |
| 4 | 19 | 274.877.906.944 | 12 |
| 4 | 20 | 1.099.511.627.776 | 13 |
| 4 | 21 | 4.398.046.511.104 | 13 |
| 4 | 22 | 17.592.186.044.416 | 14 |
| 4 | 23 | 70.368.744.177.664 | 14 |
| 4 | 24 | 281.474.976.710.656 | 15 |
| 4 | 25 | 1.125.899.906.842.624 | 16 |
| 4 | 26 | 4.503.599.627.370.496 | 16 |
| 4 | 27 | 18.014.398.509.481.984 | 17 |
| 4 | 28 | 72.057.594.037.927.936 | 17 |
| 4 | 29 | 288.230.376.151.711.744 | 18 |
| Potências de base 5 | |||
|---|---|---|---|
| Base | Expoente | Potência | quantidade |
| algarismos | |||
| 5 | 0 | 1 | 1 |
| 5 | 1 | 5 | 1 |
| 5 | 2 | 25 | 2 |
| 5 | 3 | 125 | 3 |
| 5 | 4 | 625 | 3 |
| 5 | 5 | 3.125 | 4 |
| 5 | 6 | 15.625 | 5 |
| 5 | 7 | 78.125 | 5 |
| 5 | 8 | 390.625 | 6 |
| 5 | 9 | 1.953.125 | 7 |
| 5 | 10 | 9.765.625 | 7 |
| 5 | 11 | 48.828.125 | 8 |
| 5 | 12 | 244.140.625 | 9 |
| 5 | 13 | 1.220.703.125 | 10 |
| 5 | 14 | 6.103.515.625 | 10 |
| 5 | 15 | 30.517.578.125 | 11 |
| 5 | 16 | 152.587.890.625 | 12 |
| 5 | 17 | 762.939.453.125 | 12 |
| 5 | 18 | 3.814.697.265.625 | 13 |
| 5 | 19 | 19.073.486.328.125 | 14 |
| 5 | 20 | 95.367.431.640.625 | 14 |
| 5 | 21 | 476.837.158.203.125 | 15 |
| 5 | 22 | 2.384.185.791.015.625 | 16 |
| 5 | 23 | 11.920.928.955.078.125 | 17 |
| 5 | 24 | 59.604.644.775.390.625 | 17 |
| 5 | 25 | 298.023.223.876.953.125 | 18 |
| 5 | 26 | 1.490.116.119.384.765.625 | 19 |
| 5 | 27 | 7.450.580.596.923.828.125 | 19 |
| 5 | 28 | 37.252.902.984.619.140.525 | 20 |
| 5 | 29 | 186.264.514.923.095.703.125 | 21 |
| Potências de base 6 | |||
|---|---|---|---|
| Base | Expoente | Potência | quantidade |
| algarismos | |||
| 6 | 0 | 1 | 1 |
| 6 | 1 | 6 | 1 |
| 6 | 2 | 36 | 2 |
| 6 | 3 | 216 | 3 |
| 6 | 4 | 1.296 | 4 |
| 6 | 5 | 7.776 | 4 |
| 6 | 6 | 46.656 | 5 |
| 6 | 7 | 279.936 | 6 |
| 6 | 8 | 1.679.616 | 7 |
| 6 | 9 | 10.077.696 | 8 |
| 6 | 10 | 60.466.176 | 8 |
| 6 | 11 | 362.797.056 | 9 |
| 6 | 12 | 2.176.782.336 | 10 |
| 6 | 13 | 13.060.694.016 | 11 |
| 6 | 14 | 78.364.164.096 | 11 |
| 6 | 15 | 470.184.984.576 | 12 |
| 6 | 16 | 2.821.109.907.456 | 13 |
| 6 | 17 | 16.926.659.444.736 | 14 |
| 6 | 18 | 101.559.956.668.416 | 15 |
| 6 | 19 | 609.359.740.010.496 | 15 |
| 6 | 20 | 3.656.158.440.062.976 | 16 |
| 6 | 21 | 21.936.950.640.377.856 | 17 |
| 6 | 22 | 131.621.703.842.267.136 | 18 |
| 6 | 23 | 789.730.223.053.602.816 | 18 |
| 6 | 24 | 4.738.381.338.321.616.896 | 19 |
| 6 | 25 | 28.430.288.029.929.701.376 | 20 |
| 6 | 26 | 170.581.728.179.578.208.256 | 21 |
| 6 | 27 | 1.023.490.369.077.469.249.536 | 22 |
| 6 | 28 | 6.140.942.214.464.815.497.216 | 22 |
| 6 | 29 | 36.845.653.286.788.892.983.296 | 23 |
| Potências de base 7 | |||
|---|---|---|---|
| Base | Expoente | Potência | quantidade |
| algarismos | |||
| 7 | 0 | 1 | 1 |
| 7 | 1 | 7 | 1 |
| 7 | 2 | 49 | 2 |
| 7 | 3 | 343 | 3 |
| 7 | 4 | 2.401 | 4 |
| 7 | 5 | 16.807 | 5 |
| 7 | 6 | 117.649 | 6 |
| 7 | 7 | 823.543 | 6 |
| 7 | 8 | 5.764.801 | 7 |
| 7 | 9 | 40.353.607 | 8 |
| 7 | 10 | 282.475.249 | 9 |
| 7 | 11 | 1.977.326.743 | 10 |
| 7 | 12 | 13.841.287.201 | 11 |
| 7 | 13 | 96.889.010.407 | 11 |
| 7 | 14 | 678.223.072.849 | 12 |
| 7 | 15 | 4.747.561.509.943 | 13 |
| 7 | 16 | 33.232.930.569.601 | 14 |
| 7 | 17 | 232.630.513.987.207 | 15 |
| 7 | 18 | 1.628.413.597.910.449 | 16 |
| 7 | 19 | 11.398.895.185.373.143 | 17 |
| 7 | 20 | 79.792.266.297.612.001 | 17 |
| 7 | 21 | 558.545.864.083.284.007 | 18 |
| 7 | 22 | 3.909.821.048.582.988.049 | 19 |
| 7 | 23 | 27.368.747.340.080.916.343 | 20 |
| 7 | 24 | 191.581.231.380.566.414.401 | 21 |
| 7 | 25 | 1.341.068.619.663.964.900.807 | 22 |
| 7 | 26 | 9.387.480.337.647.754.305.649 | 22 |
| 7 | 27 | 65.712.362.363.534.280.139.543 | 23 |
| 7 | 28 | 459.986.536.544.739.960.976.801 | 24 |
| 7 | 29 | 3.219.905.755.813.179.726.837.607 | 25 |
| Potências de base 8 | |||
|---|---|---|---|
| Base | Expo- | Potência | quantidade |
| -ente | algarismos | ||
| 8 | 0 | 1 | 1 |
| 8 | 1 | 8 | 1 |
| 8 | 2 | 64 | 2 |
| 8 | 3 | 512 | 3 |
| 8 | 4 | 4.096 | 4 |
| 8 | 5 | 32.768 | 5 |
| 8 | 6 | 262.144 | 6 |
| 8 | 7 | 2.097.152 | 7 |
| 8 | 8 | 16.777.216 | 8 |
| 8 | 9 | 134.217.728 | 9 |
| 8 | 10 | 1.073.741.824 | 10 |
| 8 | 11 | 8.589.934.592 | 10 |
| 8 | 12 | 68.719.476.736 | 11 |
| 8 | 13 | 549.755.813.888 | 12 |
| 8 | 14 | 4.398.046.511.104 | 13 |
| 8 | 15 | 35.184.372.088.832 | 14 |
| 8 | 16 | 281.474.976.710.656 | 15 |
| 8 | 17 | 2.251.799.813.685.250 | 16 |
| 8 | 18 | 18.014.398.509.481.984 | 17 |
| 8 | 19 | 144.115.188.075.855.872 | 18 |
| 8 | 20 | 1.152.921.504.606.846.976 | 19 |
| 8 | 21 | 9.223.372.036.854.775.808 | 19 |
| 8 | 22 | 73.786.976.294.838.206.464 | 20 |
| 8 | 23 | 590.295.810.358.705.651.712 | 21 |
| 8 | 24 | 4.722.366.482.869.645.213.696 | 22 |
| 8 | 25 | 37.778.931.862.957.161.709.568 | 23 |
| 8 | 26 | 302.231.454.903.657.293.676.544 | 24 |
| 8 | 27 | 2.417.851.639.229.258.349.412.352 | 25 |
| 8 | 28 | 19.342.813.113.834.066.795.298.816 | 26 |
| 8 | 29 | 154.742.504.910.672.534.362.390.528 | 27 |
Exceto as potências 1 e 984.770.902.183.611.232.881 da base 9, as demais potências possuem quantidades de algarismos iguais aos seus expoentes correspondentes.
Exemplos:
A potência 9 é constituída por 1 algarismo e é originada de 9 elevado ao expoente 1.
A potência 81 é constituída por 2 algarismos e é originada de 9 elevado ao expoente 2.
| Potências de base 9 | |||
|---|---|---|---|
| Base | Expo- | Potência | quant. |
| -ente | algaris- | ||
| -mos | |||
| 9 | 0 | 1 | 1 |
| 9 | 1 | 9 | 1 |
| 9 | 2 | 81 | 2 |
| 9 | 3 | 729 | 3 |
| 9 | 4 | 6.561 | 4 |
| 9 | 5 | 59.049 | 5 |
| 9 | 6 | 531.441 | 6 |
| 9 | 7 | 4.782.969 | 7 |
| 9 | 8 | 43.046.721 | 8 |
| 9 | 9 | 387.420.489 | 9 |
| 9 | 10 | 3.486.784.401 | 10 |
| 9 | 11 | 31.381.059.609 | 11 |
| 9 | 12 | 282.429.536.481 | 12 |
| 9 | 13 | 2.541.865.828.329 | 13 |
| 9 | 14 | 22.876.792.454.961 | 14 |
| 9 | 15 | 205.891.132.094.649 | 15 |
| 9 | 16 | 1.853.020.188.851.841 | 16 |
| 9 | 17 | 16.677.181.699.666.569 | 17 |
| 9 | 18 | 150.094.635.296.999.121 | 18 |
| 9 | 19 | 1.350.851.717.672.992.089 | 19 |
| 9 | 20 | 12.157.665.459.056.928.801 | 20 |
| 9 | 21 | 109.418.989.131.512.359.209 | 21 |
| 9 | 22 | 984.770.902.183.611.232.881 | 21 |
| 9 | 23 | 8.862.938.119.652.501.095.929 | 22 |
| 9 | 24 | 79.766.443.076.872.509.863.361 | 23 |
| 9 | 25 | 717.897.987.691.852.588.770.249 | 24 |
| 9 | 26 | 6.461.081.889.226.673.298.932.241 | 25 |
| 9 | 27 | 58.149.737.003.040.059.690.390.169 | 26 |
| 9 | 28 | 523.347.633.027.360.537.213.511.521 | 27 |
| 9 | 29 | 4.710.128.697.246.244.834.921.603.689 | 28 |
Autor: Ricardo Silva - agosto/2022
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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