capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo

Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Triângulo retângulo de lados formados por números primos e quase-primos - 354

O triângulo retângulo 3-4-5 é um triângulo especial, pois seus lados são formados por uma sequência de três números inteiros, consecutivos, que são denominados de Terno Pitagórico.

triângulos retângulos de catetos de números primos e hiptenusa quase-primo

3-4-5 é um terno pitagórico primitivo, pois, a partir dele, podem ser gerados infinitos ternos pitagóricos derivados:

3 - 4 - 5

6 - 8 - 10

12 - 16 - 20

24 - 32 - 40

48 - 64 - 80

Assim como a utilização das Fórmulas de Euclides, números ímpares igual ou maior que 3 ou números quadrados perfeitos ímpares, podemos gerar infinitos ternos pitagóricos primitivos, métodos estes publicados no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas.

Determinados ternos pitagóricos primitivos apresentam uma outra caractéristica em suas formações, assim como o Terno Pitágorico Primitivo 3-4-5, há infinitos outros ternos cujos primeiro e terceiro termos são números primos:

Tabela de ternos pitagóricos primitivos

cateto	cateto	hipotenusa
menor	maio

primeiro	segundo	terceiro
termo	termo	termo

3	4	5
5	12	13
7	24	25
9	40	41
11	60	61
13	84	85
15	112	113
17	144	145
19	180	181
21	220	221
23	264	265
25	312	313
27	364	365
29	420	421

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Triângulo retângulo de lados 7-11-13

Numa folha de papel sulfite, no canto inferior esquerdo, incline e marque com régua numerada a medida de 13 centímetros (hipotenusa) e posteriormente os catetos. O triângulo retângulo formado, segundo a régua numerada, têm lados cujas medidas são 7 - 11 - 13.

Seria muito bom, muito bom mesmo!, pois seria o primeiro triângulo retângulo formado por 3 números primos.

Na verdade, régua numerada não possui precisão milimétrica.

Aplicando o Teorema de Pitágoras:

a ² = b ² + c ²

a ² = 7² + 11²

a ² = 49 + 121

a ² = 170

a = √ 170

a = 13,0384048

O resultado é uma raiz quadrada não exata, isto é um número irracional, mas que possui a parte inteira um número primo.

Tabela de triângulos retângulos de lados de números primos e quase-primos

A presente tabela demonstra os primeiros 168 números primos formando medidas de catetos de triângulos retângulos e hipotenusa por números quase-primos.

Interessante observar que as medidas das hipotenusas são números irracionais (destaque) e que determinadas raízes quadradas têm a parte inteira um número primo.

Triângulos retângulos
lados de números primos
e quase-primos

cateto	cateto
menor	maior	hipotenusa

c	b	a	c²	b²	a²

3	5	5,83	9	25	34
5	7	8,60	25	49	74
7	11	13,04	49	121	170
11	13	17,03	121	169	290
13	17	21,40	169	289	458
17	19	25,50	289	361	650
19	23	29,83	361	529	890
23	29	37,01	529	841	1370
29	31	42,45	841	961	1802
31	37	48,27	961	1369	2330
37	41	55,23	1369	1681	3050
41	43	59,41	1681	1849	3530
43	47	63,70	1849	2209	4058
47	53	70,84	2209	2809	5018
53	59	79,31	2809	3481	6290
59	61	84,86	3481	3721	7202
61	67	90,61	3721	4489	8210
67	71	97,62	4489	5041	9530
71	73	101,83	5041	5329	10370
73	79	107,56	5329	6241	11570
79	83	114,59	6241	6889	13130
83	89	121,70	6889	7921	14810
89	97	131,64	7921	9409	17330
97	101	140,04	9409	10201	19610
101	103	144,26	10201	10609	20810
103	107	148,52	10609	11449	22058
107	109	152,74	11449	11881	23330
109	113	157,00	11881	12769	24650
113	127	169,99	12769	16129	28898
127	131	182,46	16129	17161	33290
131	137	189,55	17161	18769	35930
137	139	195,17	18769	19321	38090
139	149	203,77	19321	22201	41522
149	151	212,14	22201	22801	45002
151	157	217,83	22801	24649	47450
157	163	226,31	24649	26569	51218
163	167	233,36	26569	27889	54458
167	173	240,45	27889	29929	57818
173	179	248,94	29929	32041	61970
179	181	254,56	32041	32761	64802
181	191	263,14	32761	36481	69242
191	193	271,53	36481	37249	73730
193	197	275,79	37249	38809	76058
197	199	280,02	38809	39601	78410
199	211	290,04	39601	44521	84122
211	223	307,00	44521	49729	94250
223	227	318,21	49729	51529	101258
227	229	322,44	51529	52441	103970
229	233	326,70	52441	54289	106730
233	239	333,78	54289	57121	111410
239	241	339,41	57121	58081	115202
241	251	347,97	58081	63001	121082
251	257	359,24	63001	66049	129050
257	263	367,72	66049	69169	135218
263	269	376,20	69169	72361	141530
269	271	381,84	72361	73441	145802
271	277	387,52	73441	76729	150170
277	281	394,58	76729	78961	155690
281	283	398,81	78961	80089	159050
283	293	407,35	80089	85849	165938
293	307	424,38	85849	94249	180098
307	311	437,00	94249	96721	190970
311	313	441,24	96721	97969	194690
313	317	445,49	97969	100489	198458
317	331	458,31	100489	109561	210050
331	337	472,37	109561	113569	223130
337	347	483,71	113569	120409	233978
347	349	492,15	120409	121801	242210
349	353	496,40	121801	124609	246410
353	359	503,48	124609	128881	253490
359	367	513,39	128881	134689	263570
367	373	523,28	134689	139129	273818
373	379	531,76	139129	143641	282770
379	383	538,82	143641	146689	290330
383	389	545,90	146689	151321	298010
389	397	555,81	151321	157609	308930
397	401	564,28	157609	160801	318410
401	409	572,78	160801	167281	328082
409	419	585,53	167281	175561	342842
419	421	593,97	175561	177241	352802
421	431	602,50	177241	185761	363002
431	433	610,94	185761	187489	373250
433	439	616,61	187489	192721	380210
439	443	623,67	192721	196249	388970
443	449	630,75	196249	201601	397850
449	457	640,66	201601	208849	410450
457	461	649,13	208849	212521	421370
461	463	653,37	212521	214369	426890
463	467	657,62	214369	218089	432458
467	479	668,98	218089	229441	447530
479	487	683,09	229441	237169	466610
487	491	691,56	237169	241081	478250
491	499	700,06	241081	249001	490082
499	503	708,53	249001	253009	502010
503	509	715,60	253009	259081	512090
509	521	728,37	259081	271441	530522
521	523	738,22	271441	273529	544970
523	541	752,47	273529	292681	566210
541	547	769,34	292681	299209	591890
547	557	780,68	299209	310249	609458
557	563	791,97	310249	316969	627218
563	569	800,46	316969	323761	640730
569	571	806,10	323761	326041	649802
571	577	811,77	326041	332929	658970
577	587	823,10	332929	344569	677498
587	593	834,40	344569	351649	696218
593	599	842,88	351649	358801	710450
599	601	848,53	358801	361201	720002
601	607	854,20	361201	368449	729650
607	613	862,68	368449	375769	744218
613	617	869,75	375769	380689	756458
617	619	873,99	380689	383161	763850
619	631	883,92	383161	398161	781322
631	641	899,47	398161	410881	809042
641	643	907,93	410881	413449	824330
643	647	912,17	413449	418609	832058
647	653	919,25	418609	426409	845018
653	659	927,73	426409	434281	860690
659	661	933,38	434281	436921	871202
661	673	943,32	436921	452929	889850
673	677	954,60	452929	458329	911258
677	683	961,67	458329	466489	924818
683	691	971,58	466489	477481	943970
691	701	984,32	477481	491401	968882
701	709	997,04	491401	502681	994082
709	719	1009,77	502681	516961	1019642
719	727	1022,49	516961	528529	1045490
727	733	1032,38	528529	537289	1065818
733	739	1040,87	537289	546121	1083410
739	743	1047,94	546121	552049	1098170
743	751	1056,43	552049	564001	1116050
751	757	1066,33	564001	573049	1137050
757	761	1073,39	573049	579121	1152170
761	769	1081,89	579121	591361	1170482
769	773	1090,36	591361	597529	1188890
773	787	1103,13	597529	619369	1216898
787	797	1120,08	619369	635209	1254578
797	809	1135,65	635209	654481	1289690
809	811	1145,51	654481	657721	1312202
811	821	1154,02	657721	674041	1331762
821	823	1162,48	674041	677329	1351370
823	827	1166,73	677329	683929	1361258
827	829	1170,97	683929	687241	1371170
829	839	1179,48	687241	703921	1391162
839	853	1196,47	703921	727609	1431530
853	857	1209,16	727609	734449	1462058
857	859	1213,40	734449	737881	1472330
859	863	1217,64	737881	744769	1482650
863	877	1230,41	744769	769129	1513898
877	881	1243,10	769129	776161	1545290
881	883	1247,34	776161	779689	1555850
883	887	1251,58	779689	786769	1566458
887	907	1268,63	786769	822649	1609418
907	911	1285,52	822649	829921	1652570
911	919	1294,02	829921	844561	1674482
919	929	1306,75	844561	863041	1707602
929	937	1319,47	863041	877969	1741010
937	941	1327,95	877969	885481	1763450
941	947	1335,02	885481	896809	1782290
947	953	1343,51	896809	908209	1805018
953	967	1357,68	908209	935089	1843298
967	971	1370,38	935089	942841	1877930
971	977	1377,45	942841	954529	1897370
977	983	1385,94	954529	966289	1920818
983	991	1395,84	966289	982081	1948370
991	997	1405,73	982081	994009	1976090
997	1009	1418,48	994009	1018081	2012090

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