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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Lista de ternos pitagóricos primitivos - 167

Os Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular têm como características principais as seguintes formações:

a) o primeiro termo é um número ímpar;

b) o segundo termo é um número par;

c) o terceiro termo é um número ímpar;

d) os segundo e terceiros termos são números consecutivos;

e) a soma do segundo e terceiro termos tem como resultado um número quadrado perfeito ímpar;

f) o primeiro termo é a raiz quadrada da soma do segundo e do terceiro termos ao quadrado.

Conforme Estudos publicados no livro Ternos Pitagóricos e Sequência Numéricas, os ternos pitagóricos podem ser classificados em cinco grupos distintos.

Cada grupo de ternos pitagóricos diferenciam-se um do outro em relação a ordem com que aparecem, a posição e a formação de cada termo do terno, etc...

Os grupos de ternos assim são classificados:

a) Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular

b) Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Não Triangular

c) Ternos Pitagóricos Derivados Pares

d) Ternos Pitagóricos Derivados Ímpares

e) Ternos Pitagóricos Raros

O terno pitagórico 3, 4, 5 é o único terno formado com 3 números consecutivos.

Novas Propriedades Numéricas

Em maio de 2025, o Entusiasta Matemático e Colaborador do WebSite, o Sr. Aristóteles Costa, enviou um e-mail com exemplos de estudos do Método de Fatoração de Fermat e entre os cálculos continha em seu teor também exemplos com os seguintes ternos pitagóricos:

a) Terno 32 + 42 = 52

5 - 3 = 2

21 = 2

b) Terno 52 + 122 = 132

13 - 5 = 8

23 = 8

b) Terno 172 + 1442 = 1452

145 - 17 = 128

27 = 128

onde se constatou que as diferenças entre termos "c" e "a" de ternos pitagóricos primitivos têm como resultados potências de base 2. Fato inédito sobre nova propriedade relacionada a ternos pitagóricos.

Tomando-se como referência os exemplos do Sr. Aristóles
Costa, fez-se também as diferenças entre os termos "b" e "a" e posteriormente a somas de ( b - a ) + ( c - a ), obtendo-se os seguintes resultados:

a) as diferenças entre os termos "b" e "a" de ternos pitagóricos primitivos têm como resultados números ímpares e, entre eles, números 1 unidade menor que uma potência de base 2, também denominados de Números de Mersenne;

b) as diferenças entre os termos "c" e "a" de ternos pitagóricos primitivos têm como resultados números pares e, entre eles, potências de base 2;

c) a somas das diferenças ( b - a ) + ( c - a ), têm resultados números ímpares e, entre entres, números 1 unidade menor que uma potências de base 2, também denominadas de Números de Mersenne.

d) interessante observar que as diferenças têm suas ordens / posições potências de base: 1, 2, 4, 8,...

Lista com 500
Ternos Pitagóricos Primitivos
             
  Primeiro
termo		 Segundo
termo		 terceiro
termo		      
        diferença diferença soma
Ordem / a b c b - a c - a  
posição            
             
1 3 4 5 1 2 3
2 5 12 13 7 8 15
3 7 24 25 17 18 35
4 9 40 41 31 32 63
5 11 60 61 49 50 99
6 13 84 85 71 72 143
7 15 112 113 97 98 195
8 17 144 145 127 128 255
9 19 180 181 161 162 323
10 21 220 221 199 200 399
11 23 264 265 241 242 483
12 25 312 313 287 288 575
13 27 364 365 337 338 675
14 29 420 421 391 392 783
15 31 480 481 449 450 899
16 33 544 545 511 512 1023
17 35 612 613 577 578 1155
18 37 684 685 647 648 1295
19 39 760 761 721 722 1443
20 41 840 841 799 800 1599
21 43 924 925 881 882 1763
22 45 1012 1013 967 968 1935
23 47 1104 1105 1057 1058 2115
24 49 1200 1201 1151 1152 2303
25 51 1300 1301 1249 1250 2499
26 53 1404 1405 1351 1352 2703
27 55 1512 1513 1457 1458 2915
28 57 1624 1625 1567 1568 3135
29 59 1740 1741 1681 1682 3363
30 61 1860 1861 1799 1800 3599
31 63 1984 1985 1921 1922 3843
32 65 2112 2113 2047 2048 4095
33 67 2244 2245 2177 2178 4355
34 69 2380 2381 2311 2312 4623
35 71 2520 2521 2449 2450 4899
36 73 2664 2665 2591 2592 5183
37 75 2812 2813 2737 2738 5475
38 77 2964 2965 2887 2888 5775
39 79 3120 3121 3041 3042 6083
40 81 3280 3281 3199 3200 6399
41 83 3444 3445 3361 3362 6723
42 85 3612 3613 3527 3528 7055
43 87 3784 3785 3697 3698 7395
44 89 3960 3961 3871 3872 7743
45 91 4140 4141 4049 4050 8099
46 93 4324 4325 4231 4232 8463
47 95 4512 4513 4417 4418 8835
48 97 4704 4705 4607 4608 9215
49 99 4900 4901 4801 4802 9603
50 101 5100 5101 4999 5000 9999
51 103 5304 5305 5201 5202 10403
52 105 5512 5513 5407 5408 10815
53 107 5724 5725 5617 5618 11235
54 109 5940 5941 5831 5832 11663
55 111 6160 6161 6049 6050 12099
56 113 6384 6385 6271 6272 12543
57 115 6612 6613 6497 6498 12995
58 117 6844 6845 6727 6728 13455
59 119 7080 7081 6961 6962 13923
60 121 7320 7321 7199 7200 14399
61 123 7564 7565 7441 7442 14883
62 125 7812 7813 7687 7688 15375
63 127 8064 8065 7937 7938 15875
64 129 8320 8321 8191 8192 16383
65 131 8580 8581 8449 8450 16899
66 133 8844 8845 8711 8712 17423
67 135 9112 9113 8977 8978 17955
68 137 9384 9385 9247 9248 18495
69 139 9660 9661 9521 9522 19043
70 141 9940 9941 9799 9800 19599
71 143 10224 10225 10081 10082 20163
72 145 10512 10513 10367 10368 20735
73 147 10804 10805 10657 10658 21315
74 149 11100 11101 10951 10952 21903
75 151 11400 11401 11249 11250 22499
76 153 11704 11705 11551 11552 23103
77 155 12012 12013 11857 11858 23715
78 157 12324 12325 12167 12168 24335
79 159 12640 12641 12481 12482 24963
80 161 12960 12961 12799 12800 25599
81 163 13284 13285 13121 13122 26243
82 165 13612 13613 13447 13448 26895
83 167 13944 13945 13777 13778 27555
84 169 14280 14281 14111 14112 28223
85 171 14620 14621 14449 14450 28899
86 173 14964 14965 14791 14792 29583
87 175 15312 15313 15137 15138 30275
88 177 15664 15665 15487 15488 30975
89 179 16020 16021 15841 15842 31683
90 181 16380 16381 16199 16200 32399
91 183 16744 16745 16561 16562 33123
92 185 17112 17113 16927 16928 33855
93 187 17484 17485 17297 17298 34595
94 189 17860 17861 17671 17672 35343
95 191 18240 18241 18049 18050 36099
96 193 18624 18625 18431 18432 36863
97 195 19012 19013 18817 18818 37635
98 197 19404 19405 19207 19208 38415
99 199 19800 19801 19601 19602 39203
100 201 20200 20201 19999 20000 39999
101 203 20604 20605 20401 20402 40803
102 205 21012 21013 20807 20808 41615
103 207 21424 21425 21217 21218 42435
104 209 21840 21841 21631 21632 43263
105 211 22260 22261 22049 22050 44099
106 213 22684 22685 22471 22472 44943
107 215 23112 23113 22897 22898 45795
108 217 23544 23545 23327 23328 46655
109 219 23980 23981 23761 23762 47523
110 221 24420 24421 24199 24200 48399
111 223 24864 24865 24641 24642 49283
112 225 25312 25313 25087 25088 50175
113 227 25764 25765 25537 25538 51075
114 229 26220 26221 25991 25992 51983
115 231 26680 26681 26449 26450 52899
116 233 27144 27145 26911 26912 53823
117 235 27612 27613 27377 27378 54755
118 237 28084 28085 27847 27848 55695
119 239 28560 28561 28321 28322 56643
120 241 29040 29041 28799 28800 57599
121 243 29524 29525 29281 29282 58563
122 245 30012 30013 29767 29768 59535
123 247 30504 30505 30257 30258 60515
124 249 31000 31001 30751 30752 61503
125 251 31500 31501 31249 31250 62499
126 253 32004 32005 31751 31752 63503
127 255 32512 32513 32257 32258 64515
128 257 33024 33025 32767 32768 65535
129 259 33540 33541 33281 33282 66563
130 261 34060 34061 33799 33800 67599
131 263 34584 34585 34321 34322 68643
132 265 35112 35113 34847 34848 69695
133 267 35644 35645 35377 35378 70755
134 269 36180 36181 35911 35912 71823
135 271 36720 36721 36449 36450 72899
136 273 37264 37265 36991 36992 73983
137 275 37812 37813 37537 37538 75075
138 277 38364 38365 38087 38088 76175
139 279 38920 38921 38641 38642 77283
140 281 39480 39481 39199 39200 78399
141 283 40044 40045 39761 39762 79523
142 285 40612 40613 40327 40328 80655
143 287 41184 41185 40897 40898 81795
144 289 41760 41761 41471 41472 82943
145 291 42340 42341 42049 42050 84099
146 293 42924 42925 42631 42632 85263
147 295 43512 43513 43217 43218 86435
148 297 44104 44105 43807 43808 87615
149 299 44700 44701 44401 44402 88803
150 301 45300 45301 44999 45000 89999
151 303 45904 45905 45601 45602 91203
152 305 46512 46513 46207 46208 92415
153 307 47124 47125 46817 46818 93635
154 309 47740 47741 47431 47432 94863
155 311 48360 48361 48049 48050 96099
156 313 48984 48985 48671 48672 97343
157 315 49612 49613 49297 49298 98595
158 317 50244 50245 49927 49928 99855
159 319 50880 50881 50561 50562 101123
160 321 51520 51521 51199 51200 102399
161 323 52164 52165 51841 51842 103683
162 325 52812 52813 52487 52488 104975
163 327 53464 53465 53137 53138 106275
164 329 54120 54121 53791 53792 107583
165 331 54780 54781 54449 54450 108899
166 333 55444 55445 55111 55112 110223
167 335 56112 56113 55777 55778 111555
168 337 56784 56785 56447 56448 112895
169 339 57460 57461 57121 57122 114243
170 341 58140 58141 57799 57800 115599
171 343 58824 58825 58481 58482 116963
172 345 59512 59513 59167 59168 118335
173 347 60204 60205 59857 59858 119715
174 349 60900 60901 60551 60552 121103
175 351 61600 61601 61249 61250 122499
176 353 62304 62305 61951 61952 123903
177 355 63012 63013 62657 62658 125315
178 357 63724 63725 63367 63368 126735
179 359 64440 64441 64081 64082 128163
180 361 65160 65161 64799 64800 129599
181 363 65884 65885 65521 65522 131043
182 365 66612 66613 66247 66248 132495
183 367 67344 67345 66977 66978 133955
184 369 68080 68081 67711 67712 135423
185 371 68820 68821 68449 68450 136899
186 373 69564 69565 69191 69192 138383
187 375 70312 70313 69937 69938 139875
188 377 71064 71065 70687 70688 141375
189 379 71820 71821 71441 71442 142883
190 381 72580 72581 72199 72200 144399
191 383 73344 73345 72961 72962 145923
192 385 74112 74113 73727 73728 147455
193 387 74884 74885 74497 74498 148995
194 389 75660 75661 75271 75272 150543
195 391 76440 76441 76049 76050 152099
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Autor: Ricardo Silva - maio/2018

atualizado em maio 2025

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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