Nos estudos publicados em Discrete Mathematics em 1983 de Debra K. Borkovitz e Frank K. M. Hwang, os autores provaram por meio de Quadrados Latinos Ortogonais que o quadrado de produto 216 é o menor Quadrado Mágico Multiplicativo. [1]
O Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com os divisores de 36 tem como Constante Mágica 216 o qual também pode ser gerado por Método Algébrico.
Não é possível construir o Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com os divisores de 36 por meio dos métodos: Rotação, Cruz e "Xis" e Yang Hui.
Veja materias relacionadas abaixo.
Interessante observar que o número 216 é o cubo de 6.
| Quadrado Mágico | ||||
| Multiplicativo Perfeito 3x3 | ||||
| com os divisores de 36 | ||||
| 216 | ||||
| 18 | 1 | 12 | = | 216 |
| 4 | 6 | 9 | = | 216 |
| 3 | 36 | 2 | = | 216 |
| = | = | = | = | |
| 216 | 216 | 216 | 216 | |
Assim como o número 216, há outros números que possuem divisores em quantidade de números quadrados perfeitos, no exemplo quantidade de 16 divisores.
Os quadrados construídos com os divisores da respectiva tabela não formam Quadrados Mágicos Multiplicativos 4x4 Perfeitos.
| Tabelas de Divisores | |||
|---|---|---|---|
| Raiz | Número | Divisores | Quantidade |
| Cúbica | 120 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 | 16 |
| - | 168 | 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168 | 16 |
| - | 210 | 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210 | 16 |
| 6 | 216 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216 | 16 |
| - | 264 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12, 22, 24, 33, 44, 66, 88, 132, 264 | 16 |
| - | 270 | 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 135, 270 | 16 |
| - | 280 | 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 140, 280 | 16 |
Fonte: Tabela adaptada de
[2] https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores
Não é possível construir um Quadrado Mágico 4x4 Aditivo Perfeito com os divisores de 216, pois não forma Constante Mágica.
| Quadrado Mágico 4x4 | ||||||
| Aditivo Imperfeito | ||||||
| divisores de 216 | ||||||
| 91 | ||||||
| 216 | 2 | 3 | 54 | = | 275 | |
| 6 | 27 | 24 | 12 | = | 69 | |
| 18 | 9 | 8 | 36 | = | 71 | |
| 4 | 72 | 108 | 1 | = | 185 | |
| = | = | = | = | |||
| 244 | 110 | 143 | 103 | 252 | ||
Não é possível construir um Quadrado Mágico 4x4 Multiplicativo Perfeito com os divisores de 216, pois não forma Constante Mágica Multiplicativa.
| Quadrado Mágico 4x4 | |||||
| Multiplicativo Imperfeito | |||||
| divisores de 216 | |||||
| 46656 | |||||
| 216 | 2 | 3 | 54 | = | 69984 |
| 6 | 27 | 24 | 12 | = | 46656 |
| 18 | 9 | 8 | 36 | = | 46656 |
| 4 | 72 | 108 | 1 | = | 31104 |
| = | = | = | = | ||
| 93312 | 34992 | 62208 | 23328 | 46656 | |
Através do Método Quadrados Latinos Ortogonais é possível construir Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 utilizando-se a sequência 1, 2, 3 para se gerar pares ordenados exponenciais com as bases 2 e 3.
Sequência: 1, 2, 3
Bases:
x = 2
y = 3
Quadrado Latino 1
| Quadrado Latino | ||
| 2 | 3 | 1 |
| 1 | 2 | 3 |
| 3 | 1 | 2 |
Quadrado Latino 2
| Quadrado Latino | ||
| 1 | 3 | 2 |
| 3 | 2 | 1 |
| 2 | 1 | 3 |
Quadrado Latino Ortogonal - com pares ordenados
| Quadrado Latino Ortogonal | ||
| 2, 1 | 3, 3 | 1, 2 |
| 1, 3 | 2, 2 | 3, 1 |
| 3, 2 | 1, 1 | 2, 3 |
Quadrado Latino Ortogonal - com potenciação
| Quadrado Latino Ortogonal | ||
| com potênciação | ||
| 22. 31 | 23. 33 | 21. 32 |
| 21.33 | 22. 32 | 23. 31 |
| 23. 32 | 21. 31 | 22. 33 |
Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com divisores de 216
O Quadrado Mágico Multiplicativo gerado a partir de Quadrado Latino Ortogonal com potenciação tem como sub-sequência numérica de divisores do número cúbico perfeito 216 { 6, 12, 18, 24, 36, 54, 72, 108, 216} e Constante Mágica Multiplicativa o número quadrado perfeito 46.656.
| Quadrado Mágico | ||||
| Multiplicativo Perfeito 3x3 | ||||
| divisores de 216 | ||||
| 46.656 | ||||
| 12 | 216 | 18 | = | 46.656 |
| 54 | 36 | 24 | = | 46.656 |
| 72 | 6 | 108 | = | 46.656 |
| = | = | = | = | |
| 46.656 | 46.656 | 46.656 | 46.656 | |
A partir de Quadrados Latinos Ortogonais foi possível gerar pares ordenados exponenciais utilizados com bases de números primos e consequentemente obter sub-sequência de divisores do número cúbico 216 e desta forma construir Quadrado Mágico 3x3 Multiplicativo com Constante Mágica Multiplicativa 46.656.
Autor: Ricardo Silva - outubro/2019
[1] BORKOVIT, Debra K. z e HWANG, Frank K. M. Discrete Mathematics
[2] https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013
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