capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo

Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Tabuada de números triangulares - 066

Montando-se uma variação de tabuada em que na primeira linha há a sequência de números naturais e na primeira coluna a sequência de números ímpares, os produtos obtidos na diagonal principal e adjacente são números triangulares.

Números triangulares

Números triangulares, também chamados de números figurados, são aqueles que podem ser representados com figuras de triângulos atravês de pontos arranjados.

Triângulo de 1 ponto,

- o número 1 é um número triangular.

Triângulo de 3 pontos,

- 3 é um numero triangular.

Triângulo de 6 pontos,

- 6 é um numero triangular.

Formação de números triangulares

Podemos também obter um número triangular através da soma de números naturais consecutivos a partir de 1.

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Tabela de
Números Triangulares

Posição /	Número triangular
ordem

1	1
2	3
3	6
4	10
5	15
6	21
7	28
8	36
9	45
10	55
11	66
12	78
13	91
14	105
15	120
16	136
17	153
18	171
19	190
20	210
21	231
22	253
23	276
24	300
25	325
26	351
27	378
28	406
29	435
30	465
31	496
32	528
33	561
34	595
35	630
36	666
37	703
38	741
39	780
40	820
41	861
42	903
43	946
44	990
45	1035
46	1081
47	1128
48	1176
49	1225
50	1275
51	1326
52	1378
53	1431
54	1485
55	1540
56	1596
57	1653
58	1711
59	1770
60	1830
61	1891
62	1953
63	2016
64	2080
65	2145
66	2211
67	2278
68	2346
69	2415
70	2485
71	2556
72	2628
73	2701
74	2775
75	2850
76	2926
77	3003
78	3081
79	3160
80	3240
81	3321
82	3403
83	3486
84	3570
85	3655
86	3741
87	3828
88	3916
89	4005
90	4095
91	4186
92	4278
93	4371
94	4465
95	4560
96	4656
97	4753
98	4851
99	4950
100	5050

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Método de obtenção de números triangulares

Outro método de se obter números triangulares é atráves de tabuada construída de forma que na primeira linha horizontal tenha a sequência de números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10,.... e uma coluna com números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,...

Múltiplicando-se um número ímpar da primeira coluna com um número da primeira linha ou vice-versa, obtem-se o produto entre eles.

Diagonal principal (amarela)

Nas multiplicações entre os números, forma-se na diagonal principal sequência de números triangulares de posições ímpares (veja a tabela acima).

Interessante notar que a coluna dos números ímpares da Tabuada de Números Triangulares também determina a ordem / posição dos números triangulares:

Exemplos

a) 1 x 1 = 1

1 é primeiro número triangular

b) 3 x 2 = 6

6 é o terceiro número triangular

c) 5 x 3 = 15

15 é o quinto número triangular

Diagonal adjacente (laranja)

Exemplos:

a) 3 x 1 = 3

3 é segundo número triangular

b) 5 x 2 = 10

(10 é o quarto número triangular

c) 7 x 3 = 21

21 é o sexto número triangular

Tabuada de
Números triangulares

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190

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Números quadrados perfeitos ímpares

A soma de dois números triangulares consecutivos tem como resultado um número quadrado perfeito.

Na Tabuada de Números Triangulares, somando-se um número da diagonal principal e outro da diagonal adjacente que se encontram na mesma linha, obtem-se um número quadrado perfeito ímpar.

Exemplos:

a) 3 + 6 = 9

interessante observar que 3 e 6 são múltiplos de 3.

b) 10 + 15 = 25

interessante observar que 10 e 15 são múltiplos de 5.

c) 21 + 28 = 49

interessante observar que 21 e 28 são múltiplos de 7.

Na Tabuada de Números Triangulares, somando-se um número da diagonal principal e outro da diagonal adjacente que se encontram na mesma coluna, obtem-se um número quadrado perfeito par.

Exemplos:

a) 1 + 3 = 4

interessante observar que 3 não é múltiplo e nem divisor de 4.

b) 6 + 10 = 16

interessante observar que 6 e 10 não são múltiplos e nem divisores de 16.

b) 15 + 21 = 36

interessante observar que 15 e 21 não são múltiplos e nem divisores de 36.

Tabela de números triangulares de posições ímpares

Podemos também construir uma tabela conforme modelo abaixo de forma que multiplicando um número natural por um número ímpar / posição, obtem-se um número triangular de posição ímpar.

Veja que o número ímpar equivale a posição de um número triangular.

Tabela de
números triangulares
de posições ímpares

Números	Números	Números
Naturais	Ímpares / posição	Triangulares

1	1	1
2	3	6
3	5	15
4	7	28
5	9	45
6	11	66
7	13	91
8	15	120
9	17	153
10	19	190
11	21	231
12	23	276
13	25	325
14	27	378
15	29	435
16	31	496
17	33	561
18	35	630
19	37	703
20	39	780
21	41	861
22	43	946
23	45	1035
24	47	1128
25	49	1225
26	51	1326
27	53	1431
28	55	1540
29	57	1653
30	59	1770
31	61	1891
32	63	2016
33	65	2145
34	67	2278
35	69	2415
36	71	2556
37	73	2701
38	75	2850
39	77	3003
40	79	3160
41	81	3321
42	83	3486
43	85	3655
44	87	3828
45	89	4005
46	91	4186
47	93	4371
48	95	4560
49	97	4753
50	99	4950
51	101	5151
52	103	5356
53	105	5565
54	107	5778
55	109	5995
56	111	6216
57	113	6441
58	115	6670
59	117	6903
60	119	7140
61	121	7381
62	123	7626
63	125	7875
64	127	8128
65	129	8385
66	131	8646
67	133	8911
68	135	9180
69	137	9453
70	139	9730
71	141	10011
72	143	10296
73	145	10585
74	147	10878
75	149	11175
76	151	11476
77	153	11781
78	155	12090
79	157	12403
80	159	12720
81	161	13041
82	163	13366
83	165	13695
84	167	14028
85	169	14365
86	171	14706
87	173	15051
88	175	15400
89	177	15753
90	179	16110
91	181	16471
92	183	16836
93	185	17205
94	187	17578
95	189	17955
96	191	18336
97	193	18721
98	195	19110
99	197	19503
100	199	19900

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Propriedade da tabela de números triangulares

A Tabela de números triangulares de posições ímpares apresenta interessantes propriedades numéricas:

Escolhendo qualquer número e subtraindo 1 unidade do seu dobro, a diferença é o segundo fator para se obter um número triangular de posição ímpar.

Exemplos:

a) 2 x 3 = 6

O segundo fator 3 é a diferença de 4 (dobro de 2) menos 1 unidade.

b) 3 x 5 = 15

O segundo fator 5 é a diferença de 6 (dobro de 3) menos 1 unidade.

c) 4 x 7 = 28

O segundo fator 7 é a diferença de 8 (dobro de 4) menos 1 unidade.

Escolhendo qualquer número e mutiplicando-o pelo seu dobro e posteriormente subtraindo esse número, o resultado será um número triangular.

Exemplos:

a) Número escolhido: 2

O dobro: 4

O produto de 2 x 4 = 8

O fator 2 subtraído do produto 8 tem como resultado o triangular 6.

8 - 2 = 6

b) Número escolhido: 3

O dobro: 6

O produto de 3 x 6 = 18

O fator 3 subtraído do produto 18 tem como resultado o triangular 15.

18 - 3 = 15

Exemplo c)

Número escolhido: 4

O dobro: 8

O produto de 4 x 8 = 32

O fator 4 subtraído do produto 32 tem como resultado o triangular 28.

32 - 4 = 28

O segundo fator subtraído de um número triangular de posição ímpar tem como resultado um número triangular antecessor.

Exemplos:

a) 2 x 3 = 6

O segundo fator: 3

6 - 3 = 3

3 é o número triangular antecessor do triangular 6.

b) 3 x 5 = 15

O segundo fator: 5

15 - 5 = 10

10 é o número triangular antecessor do triangular 15.

c) 4 x 7 = 28

O segundo fator: 7

28 - 7 = 21

21 é o número triangular antecessor do triangular 28.

No livro digital Números Triangulares e Sequências Numéricas são apresentados vários estudos e métodos de como se obter números triangulares semelhante ao Triângulo de Pascal.

Autor: Ricardo Silva