Nos estudos de Adições Sucessivas quanto de Subtrações Sucessivas, originou-se o Método Números Atraentes com o qual a partir de um número ímpar e realizando subtrações sucessivas e posteriormente dividindo as diferenças pelos subtraendos é possível de se saber se o número ímpar é primo ou não.
Para mais informações, veja o estudo:
011-estudos-403-numeros-primos-e-numeros-atraentes
O presente estudo demonstra que extendendo o Método Números Atraentes, mas num primeiro momento, delimitando as quantidades de subtraendos, são possíveis de obterem números primos gêmeos a partir de números pares.
Números Primos Gêmeos são duplas de números primos cuja diferença são de 2 unidades.
Realizando subtrações sucessivas de números naturais de 1 a 5 entre as 10 primeiras potências de base 2, constata-se algumas propriedades:
a) a potência 8 gera uma primeira dupla de primos gêmeos, o 3 e 5 (células verdes);
b) fazendo-se leituras na vertical, a partir da potência 16, na coluna B - subtraendo, o antecessor 3 e sucessor 5 da potência 4 sempre estarão presentes como primos gêmeos;
c) fazendo-se leituras na vertical, na coluna C - diferença, há ocorrências de primos gêmeos:
11 e 13;
59 e 61;
1019 e 1021;
Interessante observar que o números 12, 60, 1020 que são as médias aritméticas dos primos gêmeos (células azuis), são múltiplos de 6.
Números das formas 6n-1 e 6n+1 podem geram números primos e, entre eles, números primos gêmeos.
d) interessante observar também que nas linhas onde o subtraendo é a potência 4, quando a diferença é dividida por 4, os quocientes são termos dos Números de Mersenne, coluna D.
Números de Mersenne são números que são 1 unidade menor que uma potência de base 2 e que é representado pela seguinte expressão algébrica:
| 2^n - 1 |
Sendo o Número de Mersenne um número primo, então pode-se gerar um Número Perfeito.
Números que são 1 unidade menor que uma potência de base 2, também são denominados de Números Quase Potências de Base 2.
| Tabela-1 | |||
| Potências de Base 2 | |||
| e Subtrações Sucessivas | |||
| A | B | C | D |
| potência | |||
| de base 2 | |||
| minuendo | subtraendo | diferença | quociente |
| Números de | |||
| . | Mersenne | ||
| 2 | 1 | 1 | |
| . | |||
| 4 | 1 | 3 | |
| 4 | 2 | 2 | |
| . | |||
| 8 | 1 | 7 | |
| 8 | 2 | 6 | |
| 8 | 3 | 5 | |
| 8 | 4 | 4 | 1 |
| . | |||
| 16 | 1 | 15 | |
| 16 | 2 | 14 | |
| 16 | 3 | 13 | |
| 16 | 4 | 12 | 3 |
| 16 | 5 | 11 | |
| . | |||
| 32 | 1 | 31 | |
| 32 | 2 | 30 | |
| 32 | 3 | 29 | |
| 32 | 4 | 28 | 7 |
| 32 | 5 | 27 | |
| . | |||
| 64 | 1 | 63 | |
| 64 | 2 | 62 | |
| 64 | 3 | 61 | |
| 64 | 4 | 60 | 15 |
| 64 | 5 | 59 | |
| . | |||
| 128 | 1 | 127 | |
| 128 | 2 | 126 | |
| 128 | 3 | 125 | |
| 128 | 4 | 124 | 31 |
| 128 | 5 | 123 | |
| . | |||
| 256 | 1 | 255 | |
| 256 | 2 | 254 | |
| 256 | 3 | 253 | |
| 256 | 4 | 252 | 63 |
| 256 | 5 | 251 | |
| . | |||
| 512 | 1 | 511 | |
| 512 | 2 | 510 | |
| 512 | 3 | 509 | |
| 512 | 4 | 508 | 127 |
| 512 | 5 | 507 | |
| . | |||
| 1024 | 1 | 1023 | |
| 1024 | 2 | 1022 | |
| 1024 | 3 | 1021 | |
| 1024 | 4 | 1020 | 255 |
| 1024 | 5 | 1019 | |
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Determinados múltiplos de 6 menos 1 unidade ( antecessor ) e mais 1 unidade ( sucessor ) podem geram números primos gêmeos ( células laranjas ) e o que se constata é que a sequência de primos gêmeos é crescente:
5 e 7;
11 e 13;
17 e 19... e assim sucessivamente.
Logicamente, quão maior for um múltiplo de 6 e seus antecessor e sucessor, ter-se-á que se realizarem testes de primalidades para se verificar se tais antecessor e sucessor são realmente números primos gêmeos.
Interessante observar que:
a) determinados múltiplos de 6 também são números retangulares (células azuis);
b) números retangulares são números que são produtos de 2 números consecutivos;
c) quando um múltiplo de 6 é também um número retangular, um dos fatores da multiplicação (coluna A - fatores ) é um número múltiplo de 3 (células verdes);
d) as somas dos fatores ( coluna A - fatores ) não são múltiplos de 3.
Exemplos:
2 + 3 = 5
3 + 4 = 7
5 + 6 = 11
6 + 7 = 13
8 + 9 = 17
9 + 10 = 19
| Tabela-2 | ||||
| Múltiplos de 6 | ||||
| Menos 1 Unidade e Mais 1 Unidade | ||||
| A | B | C | D | E |
| fatores | ordem / | 6n - 1 | Múltiplos de | 6n + 1 |
| posição | 6 | |||
| n | ||||
| 2 x 3 | 1 | 5 | 6 | 7 |
| 3 x 4 | 2 | 11 | 12 | 13 |
| 3 | 17 | 18 | 19 | |
| 4 | 23 | 24 | 25 | |
| 5 x 6 | 5 | 29 | 30 | 31 |
| 6 | 35 | 36 | 37 | |
| 6 x 7 | 7 | 41 | 42 | 43 |
| 8 | 47 | 48 | 49 | |
| 9 | 53 | 54 | 55 | |
| 10 | 59 | 60 | 61 | |
| 11 | 65 | 66 | 67 | |
| 8 x 9 | 12 | 71 | 72 | 73 |
| 13 | 77 | 78 | 79 | |
| 14 | 83 | 84 | 85 | |
| 9 x 10 | 15 | 89 | 90 | 91 |
| 16 | 95 | 96 | 97 | |
| 17 | 101 | 102 | 103 | |
| 18 | 107 | 108 | 109 | |
| 19 | 113 | 114 | 115 | |
| 20 | 119 | 120 | 121 | |
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Realizando subtrações sucessivas de números naturais de 5 a 7 entre os primeiros múltiplos de 12, constata-se algumas propriedades:
a) o múltiplo 12 gera uma primeira dupla de primos gêmeos, o 5 e 7 (células verdes);
b) fazendo-se leituras na vertical, a partir do múltiplo 12, na coluna B - subtraendo, o antecessor 5 e sucessor 7 do número 6 sempre estarão presentes como primos gêmeos;
c) fazendo-se leituras na vertical, na coluna C - diferença, há ocorrências de primos gêmeos:
19 e 17;
41 e 43;
761 e 763
d) interessante observar também que nas linhas onde o subtraendo é 6, quando a diferença é dividida por 6, os quocientes são termos dos Números de Mersenne: 1, 3, 5, 7, 15, 31, 63, ..., como também, denominados de números quase potências de base 2.
| Tabela-3 | |||
| Múltiplos de 12 | |||
| e Subtrações Sucessivas | |||
| A | B | C | D |
| potência | |||
| de base 2 | |||
| minuendo | subtraendo | diferença | quociente |
| Números de | |||
| Mersenne | |||
| 12 | 1 | 11 | |
| 12 | 2 | 10 | |
| 12 | 3 | 9 | |
| 12 | 4 | 8 | |
| 12 | 5 | 7 | |
| 12 | 6 | 6 | 1 |
| . | |||
| 24 | 5 | 19 | |
| 24 | 6 | 18 | 3 |
| 24 | 7 | 17 | |
| . | |||
| 48 | 5 | 43 | |
| 48 | 6 | 42 | 7 |
| 48 | 7 | 41 | |
| . | |||
| 96 | 5 | 91 | |
| 96 | 6 | 90 | 15 |
| 96 | 7 | 89 | |
| . | |||
| 192 | 5 | 187 | |
| 192 | 6 | 186 | 31 |
| 192 | 7 | 185 | |
| . | |||
| 384 | 5 | 379 | |
| 384 | 6 | 378 | 63 |
| 384 | 7 | 377 | |
| . | |||
| 768 | 5 | 763 | |
| 768 | 6 | 762 | 127 |
| 768 | 7 | 761 | |
| . | |||
| 1536 | 5 | 1531 | |
| 1536 | 6 | 1530 | 255 |
| 1536 | 7 | 1529 | |
| . | |||
| 3072 | 5 | 3067 | |
| 3072 | 6 | 3066 | 511 |
| 3072 | 7 | 3065 | |
| . | |||
| 6144 | 5 | 6139 | |
| 6144 | 6 | 6138 | 1023 |
| 6144 | 7 | 6137 | |
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Testes realizados com outras sequências de múltiplos de multiplos de 6 que não terminam em 0 (zero), geram aleatoriamente primos gêmeos.
Exemplos:
18, 36, 72, 144, ...
42, 84, 168, 336, ...
Testes realizados com outras sequências de múltiplos de multiplos de 6 que terminam em 0 (zero), não geram nem aleatoriamente primos gêmeos, pois o 5 é o único número primo terminado em 5.
Números terminados em 0 ( zero ) menos 5 têm como diferenças números terminados em 5.
Exemplos:
30, 60, 120, 240, ...
45, 90, 180, 360, ...
Autor: Ricardo Silva - setembro/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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