Página de estudos de matemática e sequências numéricas

2 Números Consecutivos e Números Retangulares e Semiprimos - 693

Números Retangulares, também denominados de números figurados, são números que são gerados de produtos de 2 números consecutivos.

Números Semiprimos são números que são produtos de 2 números primos.

O presente estudo demonstra que escolhendo 2 números consecutivos a partir dos números 2 e 3 e realizando cálculos aritméticos abaixo, são possíveis de gerarem números retangulares, bem como, números semiprimos .

Para mais informações e complementação deste estudo, veja também:

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Números 2 e 3

i) soma de 2 números consecutivos

2 + 3 = 5

Sendo um dos números consecutivos múltiplo de 3, o resultado não é um múltiplo de 3.

ii) produto de 2 números consecutivos mais 1 unidade

( 2 x 3 ) + 1 = 7

Sendo um dos números consecutivos múltiplo de 3, o resultado não é um múltiplo de 3.

iii) a soma de 2 números consecutivos mais o produto desses 2 números consecutivos e 1 unidade tem como resultado um número retangular.

5 + 7 = 12

iv) a diferença entre o produto de 2 números consecutivos e 1 unidade com a soma desses 2 números consecutivo tem como resultado um número retangular.

7 - 5 = 2

Os cálculos aritméticos geraram os números retangulares destacados em laranjas, isto é, geraram números retangulares antecessor e sucessor de 2 x 3 = 6

Número Semiprimo 35

O produto dos resultados de i) e ii) tem como resultado um número semiprimo.

5 x 7 = 35

Fórmula da Diferença

Para n igual a 2, gera-se retangular antecessor a 2 x 3 = 6.

i) { [ 2 x ( 2 + 1 ) ] + 1 } - ( 2 x 2 + 1 ) =

ii) = { [ 2 x ( 3 ) ] + 1 } - ( 4 + 1 )

iii) = { [ 6 ] + 1 } - ( 5 )

iv) = 7 - 5

v) = 2

Fórmula da Soma

Para n igual a 2, gera-se retangular sucessor a 2 x 3 = 6.

i) ( 2 x 2 + 1 ) + { [ 2 x ( 2 + 1 ) ] + 1 } =

ii) = ( 4 + 1 ) + { [ 2 x ( 3 ) ] + 1 }

iii) = ( 5 ) + { [ 6 ] + 1 } -

iv) = 5 + 7

iv) = 12

Fórmula do Produto

Para n igual ou maior que 2 e múltiplo de 3, o resultado pode ser um número semiprimo.

i) ( 2 x 2 + 1 ) x { [ 2 x ( 2 + 1 ) ] + 1 } =

ii) = ( 4 + 1 ) x { [ 2 x ( 3 ) ] + 1 }

iii) = ( 5 ) x { [ 6 ] + 1 } -

iv) = 5 x 7

iv) = 35

Números 3 e 4

i) soma de 2 números consecutivos

3 + 4 = 7

Sendo um dos números consecutivos múltiplo de 3, o resultado não é um múltiplo de 3.

ii) produto de 2 números consecutivos mais 1 unidade

( 3 x 4 ) + 1 = 13

Sendo um dos números consecutivos múltiplo de 3, o resultado não é um múltiplo de 3.

iii)A soma de 2 números consecutivos mais o produto desses 2 números consecutivos e 1 unidade tem como resultado um número retangular.

7 + 13 = 20

iv) a diferença entre o produto de 2 números consecutivos e 1 unidade com a soma desses 2 números consecutivo tem como resultado um número retangular.

13 - 7 = 6

Os cálculos aritméticos geraram os números retangulares destacados em laranjas, isto é, geraram números retangulares antecessor e sucessor de 3 x 4 = 12

Número Semiprimo 91

O produto dos resultados de i) e ii) tem como resultado um número semiprimo.

7 x 13 = 91

Números 4 e 5

i) soma de 2 números consecutivos

4 + 5 = 9

Sendo os 2 números consecutivos não múltiplos de 3, os resultados são múltiplos de 3.

ii) produto de 2 números consecutivos mais 1 unidade

( 4 x 5 ) + 1 = 21

Sendo os 2 números consecutivos não múltiplos de 3, os resultados são múltiplos de 3.

iii) a soma de 2 números consecutivos mais o produto desses 2 números consecutivos e 1 unidade tem como resultado um número retangular.

9 + 21 = 30

iv) a diferença entre o produto de 2 números consecutivos e 1 unidade com a soma desses 2 números consecutivo tem como resultado um número retangular.

21 - 9 = 12

Os cálculos aritméticos geraram os números retangulares destacados em laranjas, isto é, geraram números retangulares antecessor e sucessor de 3 x 4 = 12

Número Composto 189

O produto dos resultados de i) e ii) não tem como resultado um número semiprimo.

9 x 21 = 189

Números 5 e 6

i) soma de 2 números consecutivos

5 + 6 = 11

Sendo um dos números consecutivos múltiplo de 3, o resultado não é um múltiplo de 3.

ii) produto de 2 números consecutivos mais 1 unidade

( 5 x 6 ) + 1 = 31

Sendo um dos números consecutivos múltiplo de 3, o resultado não é um múltiplo de 3.

iii) a soma de 2 números consecutivos mais o produto desses 2 números consecutivos e 1 unidade tem como resultado um número retangular.

11 + 31 = 42

iv) a diferença entre o produto de 2 números consecutivos e 1 unidade com a soma desses 2 números consecutivo tem como resultado um número retangular.

31 - 11 = 20

Os cálculos aritméticos geraram os números retangulares destacados em laranjas, isto é, geraram números retangulares antecessor e sucessor de 5 x 6 = 30

Número Semiprimo 341

O produto dos resultados de i) e ii) tem como resultado um número semiprimo.

11 x 31 = 341

Um fato matemático a ser destacado é que em 1819, Pierre Fréderic Sarrus (1798-1861), Matemático francês provou que 341 divide 2³⁴¹ - 2, pois até então, se achava, que somente p | 2^p - 2.

Números Semiprimos

A Tabela-5 demonstra os 30 primeiros cálculos de 2 números consecutivos e as seguinte propriedades:

a) a soma de determinados 2 números consecutivos pode resultar em número primo (COL-3);

b) o produto de determinados 2 números consecutivos mais 1 unidade pode resultar em número primo (COL-5);

c) tendo as colunas (COL-3) e (COL-5) simultaneamente números primos, então o produto desses primos tem como resultado um número semiprimo na (COL-7 - células laranjas);

d) quando os números consecutivos não são múltiplos de 3, nos resultados não há números primos e nem semprimos (células azuis), excetuando-se a primeira linha da tabela.

Observação importante: a tabela original possui 500 linhas, isto é, 500 duplas de números consecutivos.

Excluindo 165 linhas com consecutivos não multiplos de 3.

500 - 165 = 335

32 linhas não tiveram nenhum resultado números primos.

335 - 32 = 303

303 linhas tiverem pelos menos um resultado número primo, isto é, 60,6%.

Autor: Ricardo Silva - agosto/2026

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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