A imagem a seguir é um painel da entrada da Estação de Metrô de Saldanha, na Cidade de Lisboa, Portugal.
Ela faz alusão a uma das demonstrações geométricas de como se dividir um seguimento em média e extrema razão.
No detalhe, vê-se um duplo quadrado, com uma de suas diagonais e dois arcos de circunferências, o arco da esquerda tangência o arco da direita cortando a base do duplo quadrado.
Na intersecção do arco da esquerda com a base do duplo quadrado é o Ponto Áureo, ponto este que divide um segmento em média e extrema razão.
A Razão Áurea, Número Phi (Ф), é um número irracional cujo valor é: 1,618033657...
Lembrando que um duplo quadrado forma um retângulo de proporção 1:2 e a sua diagonal é √5.
O presente estudo demonstra que escolhendo 3 números da Sequência de Fibonacci, sendo um dos números, um número par de ordem / posição múltiplo de 3 ímpar e os outros dois, antecessores a este número par, é possível de se construir triângulo retângulo escaleno com características semelhantes a de um triângulo retângulo pitagórico por meio da média e extrema razão.
Números de Fibonacci 13, 21 e 34.
34 é um Número de Fibonacci par (ordem / posição 9).
21 e 13 são antecessores de 34.
A soma de 13 + 21 é 34.
Em papel quadriculado:
a) construindo-se um quadrado de lados 34;
b) dividindo-se horizontalmente ao meio, obtêm-se 2 retângulos de proporções 1:2, isto é, de alturas 17 e comprimentos de 34;
c) subtraindo 21 de 34, a diferença é 13;
d) subtraindo 13 de 34, a diferença é 21.
Os números 13, 17 são as medidas dos catetos e 21,4 a hipotenusa do triângulo retângulo (cor azul) construído no canto inferior esquerdo do quadrado de lados 34 cujos ângulos agudos são próximos de 37 e 53 graus de triângulo pitagórico primitivo 3-4-5.
Trançando-se um arco de circunferência (laranja), centro no ponto médio do lado esquerdo do quadrado e outro arco (verde), centro no canto inferior direito do quadrado, este tangenciando o arco (laranja), na intersecção com a base do quadrado é o Ponto Áureo, ponto este que divide um segmento em média e extrema razão, comprovando-se as medidas 13 e 21.
No exemplo, a base do quadrado 34 dividida em 2 seguimentos de medidas 13 e 21 pelo Ponto Áureo (média e extrema razão).
Interessante observar que:
a) o triângulo retângulo pitagórico 3-4-5 é o primeiro triângulo retângulo escaleno formado por 3 números consecutivos;
b) os ângulos agudos do triângulo retângulo pitagórico 3-4-5 são aproximadamente 37 e 53 graus, números estes que são números primos.
Tem-se aqui um interessante fato matemático e geométrico de que a partir de determinadas sequências de 3 números consecutivos de Fibonacci (sendo um par, de ordem / posição ímpar e seus 2 antecessores) se constroe triângulo retângulo escaleno em que os catetos são números ímpares e a hipotenusa se aproxima de um número ímpar, tendo como base uma das construções geométricas da Média e Extrema Razão a partir do lado de um quadrado.
Fez-se a seguinte pergunta ao Navegador Google em 11/06/2026: "É possível construir triângulo retângulo escaleno de lados ímpares" e a resposta foi não.
No seguinte link do WebSite Clubes de Matemática da OBMEP:
https://clubes.obmep.org.br
é argumentado que também não é possível de se construir triângulo retângulo de lados ímpares.
Assim como os números 13, 21 e 34 geraram triângulo retângulo de catetos ímpares, há também seus múltiplos, conforme se observa na Tabuada da Sequência de Fibonacci (células laranjas).
Importante observar que:
a) todos os 2 antecessores de um número par de Fibonacci são números ímpares;
b) todo número par de Fibonacci tem ordem / posição múltiplo de 3;
c) número par de Fibonacci de ordem / posição múltiplo de 3 que é número ímpar, a metade desse par é ímpar.
| Tabuada da | ||||||||||||||
| Sequência de Fibonacci | ||||||||||||||
| Ordem / Posição dos termos | ||||||||||||||
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 |
| Números de Fibonacci | ||||||||||||||
| 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610... |
| Múltiplos de Fibonacci | ||||||||||||||
| 2 | 2 | 4 | 6 | 10 | 16 | 26 | 42 | 68 | 110 | 178 | 288 | 466 | 754 | 1220 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 15 | 24 | 39 | 63 | 102 | 165 | 267 | 432 | 699 | 1131 | 1830 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 20 | 32 | 52 | 84 | 136 | 220 | 356 | 566 | 1278 | 1844 | 3122 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 25 | 40 | 65 | 105 | 170 | 275 | 445 | 720 | 1165 | 1885 | 3050 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 30 | 48 | 78 | 126 | 204 | 330 | 534 | 864 | 1398 | 2262 | 3660 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 35 | 56 | 91 | 147 | 238 | 385 | 623 | 1008 | 1631 | 2639 | 42270 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 40 | 64 | 104 | 168 | 272 | 440 | 712 | 1152 | 1864 | 3016 | 4880 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 45 | 72 | 117 | 189 | 306 | 495 | 801 | 1296 | 2097 | 3393 | 5490 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||||||||||||
Fonte: 011-estudos-253-tabuada-sequencia-fibonacci
Na construção geométrica para se determinar o Ponto Áureo, pode-se constatar outra propriedade geométrica: a de se saber a medida aproximada da diagonal do retângulo de 17 x 34 (retângulo de proporção 1:2), simplesmente somando-se os raios dos arcos laranja e verde (arcos da média e extrema razão).
17 + 21 = 38
Lembrando que o retângulo em questão, é de proporção 1:2 ( a altura é a metade do comprimento; o comprimento é o dobro da altura ).
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras:
i) d2 = 172 + 342
ii) d2 = 289 + 1156
iii) d2 = 1445
iv) d = √ 1445
iv) d = 38,01
Diferença de entre as medidas das diagonais:
38,01 - 38 = 0,01 ( 1 centésimo )
Partindo-se dos 3 Números de Fibonacci: 13, 21 e 34, também é possível de se saber a medida aproximada da diagonal do retângulo de 17 x 34:
i) 34 : 2 = 17 ( lado /altura do retângulo )
ii) 13 + 21 = 34 ( base / comprimento do retângulo )
iii) 17 + 21 = 38 ( diagonal do retângulo )
Números de Fibonacci 55, 89 e 144.
144 é um Número de Fibonacci par (ordem / posição 12).
55 e 89 são antecessores de 144.
A soma de 55 + 89 é 144.
a) a medade de 144 é 72
c) subtraindo 55 de 144, a diferença é 89;
d) subtraindo 89 de 144, a diferença é 55.
Os números 55, 72 e 90,6 são os lados de um triângulo retângulo (cor azul) construído no canto inferior esquerdo do quadrado de lados 144.
A hipotenusa do triângulo retângulo deveria ser 89, mas aplicando o Teorema de Pitágoras:
i) h2 = 552 + 722
ii) h2 = 3025 + 5184
iii) h2 = 8209
iv) d = √ 8209
iv) d = 90,60
Diferença entre as hipotenusas
90,60 - 89 = 1,603
Um número bem sugestivo!!!!
Na construção geométrica para se determinar o Ponto Áureo, pode-se constatar outra propriedade geométrica, a de se saber a diagonal do retângulo de 72 x 144, simplesmente somando-se os raios dos arcos laranja e verde.
72 + 89 = 161
Lembrando que o retângulo em questão, é de proporção 1:2 ( a altura é a metade do comprimento, o comprimento é o dobro da altura ).
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras:
i) d2 = 722 + 1442
ii) d2 = 5184 + 20736
iii) d2 = 25920
iv) d = √ 25920
iv) d = 160,99
Diferença entre as medidas das diagonais
161 - 160,99 = 0,01 (1 centésimo)
Partindo-se dos 3 Números de Fibonacci: 55, 89 e 144, também é possível de se saber a medida aproximada da diagonal do retângulo:
i) 144 : 2 = 72 ( lado do retângulo )
ii) 55 + 89 = 144 ( comprimento do retângulo )
iii) 72 + 89 = 161 ( diagonal do retângulo )
Todo triângulo retângulo pitagórico tem a medida de seu cateto maior um múltiplo de 4, fato.
Determinadas sequências de 3 números de Fibonacci, conforme exemplos neste estudo demonstram que há triângulos retângulos escalenos cujos catetos são números ímpares (diferentemente de triângulos retângulos pitagóricos) e que a hipotenusa tende a número ímpar.
Será realmente que não há um único triângulo retângulo escaleno cujos lados são todos números ímpares???
Autor: Ricardo Silva - junho/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
https://clubes.obmep.org.br
https://
commons.wikimedia.org/
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
