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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números Triangulares e Soma de Restos de Divisões - 674

Números Triangulares, também denominados de números figurados, geométricos, são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de triângulos.

Números Triangulares possuem propriedades e relações matemáticas com diversas sequências numéricas famosas como: números retangulares, números quadrados perfeitos, ternos pitagóricos, etc.

Dois métodos usuais, entre outros, de se gerarem números triangulares são:

a) da soma de números consecutivos;

i) 1

ii) 1 + 2 = 3

iii) 1 + 2 + 3 = 6

iv) 1 = 2 + 3 + 4 = 10

b) do produto de 2 números consecutivos divididos por 2;

i) ( 1 x 2 ) / 2 = 1

ii) ( 2 x 3 ) / 2 = 3

iii) ( 3 x 4 ) / 2 = 6

iii) ( 4 x 5 ) / 2 = 10

O presente estudo demonstra método de se obterem números triangulares por meio da soma de restos de divisões de potências de base 2 por número que não possui fator primo com a própria base 2.

Potências de base 2 divididas:

a) por Números de Mersenne (primos e compostos), as somas de restos de divisões têm como resultados os próprios Números de Mersenne;

b) por números primos, as somas de restos de divisões, ora têm como resultados os números triangulares, ora números que são frações de números triangulares, bem como, múltiplo desse número primo divisor.

Potências de base 2 e restos de divisões por 3

A Tabela 1 apresenta as 11 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 3.

A soma de cada 2 restos é 3.

Os restos são termos de potências de base 2.

O número 3 é um Número de Mersenne / número quase potência de base 2 e também número triangular.

Interessante observar que 3 é também a soma de potências de base 2, bem como, a soma dos divisores próprios de 2^2 = 4.

1 + 2 = 3

3 é um número triagular gerado de ( 2 x 3 ) / 2.

3 é 2⁰ número triangular.

Tabela 1

Potências de Base 2
e restos de divisões
por 3

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
			número		3
			primo

2	0	1	3	0	0	1
2	1	2	3	0	0	2
					Soma	3

2	2	4	3	1	3	1
2	3	8	3	2	6	2
2	4	16	3	5	15	1
2	5	32	3	10	30	2
2	6	64	3	21	63	1
2	7	128	3	42	126	2
2	8	256	3	85	255	1
2	9	512	3	170	510	2
2	10	1024	3	341	1023	1

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Potências de base 2 e restos de divisões por 5

A Tabela 2 apresenta as 4 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 5.

5 é um número primo de Fermat da forma 4x + 1.

A soma de 4 restos é 10.

10 é múltiplo de 5.

A soma dos restos 10 dividida por 5 é igual a 2.

2 é a metade da quantidade dos restos que é 4.

10 é um número triangular gerado de ( 4 x 5 ) / 2.

10 é 4⁰ número triangular.

Tabela 2

Potências de Base 2
e restos de divisões
por 5

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
			número		5
			primo

2	0	1	5	0	0	1
2	1	2	5	0	0	2
2	2	4	5	0	0	4
2	3	8	5	1	5	3

					Soma	10

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Potências de base 2 e restos de divisões por 11

A Tabela 3 apresenta as 10 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 11.

11 é um número primo de Fermat da forma 4x + 3.

A soma de 10 restos é 55.

55 é múltiplo de 11.

A soma dos restos 55 dividida por 11 é igual a 5.

5 é a metade da quantidade dos restos que é 10.

55 é um número triagular gerado de ( 10 x 11 ) / 2.

55 é 10⁰ número triangular.

Tabela 3

Potências de Base 2
e restos de divisões
por 11

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
			número		11
			primo

2	0	1	11	0	0	1
2	1	2	11	0	0	2
2	2	4	11	0	0	4
2	3	8	11	0	0	8
2	4	16	11	1	11	5
2	5	32	11	2	22	10
2	6	64	11	5	55	9
2	7	128	11	11	121	7
2	8	256	11	23	253	3
2	9	512	11	46	506	6

					Soma	55

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Potências de base 2 e restos de divisões por 13

A Tabela 4 apresenta as 12 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 13.

13 é um número primo de Fermat da forma 4x + 1.

A soma de 12 restos é 78.

78 é múltiplo de 13.

A soma dos restos 78 dividida por 13 é igual a 6.

6 é a metade da quantidade dos restos que é 12.

78 é um número triangular gerado de ( 12 x 13 ) / 2.

78 é 12⁰ número triangular.

Tabela 4

Potências de Base 2
e restos de divisões
por 13

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
			número		13
			primo

2	0	1	13	0	0	1
2	1	2	13	0	0	2
2	2	4	13	0	0	4
2	3	8	13	0	0	8
2	4	16	13	1	13	3
2	5	32	13	2	26	6
2	6	64	13	4	52	12
2	7	128	13	9	117	11
2	8	256	13	19	247	9
2	9	512	13	39	507	5
2	10	1024	13	78	1014	10
2	11	2048	13	157	2041	7

					Soma	78

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Potências de base 2 e restos de divisões por 17

A Tabela 5 apresenta as 25 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 17.

17 é um número primo de Fermat da forma 4x + 1.

A soma de 8 restos é 68.

68 é múltiplo de 17.

A soma dos restos 68 dividida por 4 é igual a 17.

4 é a metade da quantidade dos restos que é 8.

Obs.: 68 é a metade do número triangular 136 gerado de ( 16 x 17 ) / 2.

A soma de restos de divisões de potências de base 2, da potência 2⁰ até 2^17-2 tem como resultado número triangular 136.

( 16 x 17 ) / 2 = 136

136 é 16⁰ número triangular.

Tabela 5

Potências de Base 2
e restos de divisões
por 17

base 2	expoente	potência	divisor	quociente	multiplo	resto
					de
			Número		17
			Primo

2	0	1	17	0	0	1
2	1	2	17	0	0	2
2	2	4	17	0	0	4
2	3	8	17	0	0	8
2	4	16	17	0	0	16
2	5	32	17	1	17	15
2	6	64	17	3	51	13
2	7	128	17	7	119	9

					Soma	68

2	8	256	17	15	255	1
2	9	512	17	30	510	2
2	10	1024	17	60	1020	4
2	11	2048	17	120	2040	8
2	12	4096	17	240	4080	16
2	13	8192	17	481	8177	15
2	14	16384	17	963	16371	13
2	15	32768	17	1927	32759	9
2	16	65536	17	3855	65535	1
2	17	131072	17	7710	131070	2
2	18	262144	17	15420	262140	4
2	19	524288	17	30840	524280	8
2	20	1048576	17	61680	1048560	16
2	21	2097152	17	123361	2097137	15
2	22	4194304	17	246723	4194291	13
2	23	8388608	17	493447	8388599	9
2	24	16777216	17	986895	16777215	1

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Potências de base 2 e restos de divisões por 19

A Tabela 6 apresenta as 18 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 19.

19 é um número primo de Fermat da forma 4x + 3.

A soma de 18 restos é 171.

171 é múltiplo de 19.

A soma dos restos 171 dividida por 19 é igual a 9.

9 é a metade da quantidade dos restos que é 18.

171 é um número triangular gerado de ( 18 x 19 ) / 2.

171 é 18⁰ número triangular.

Tabela 6

Potências de Base 2
e restos de divisões
por 19

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
			número		19
			primo

2	0	1	19	0	0	1
2	1	2	19	0	0	2
2	2	4	19	0	0	4
2	3	8	19	0	0	8
2	4	16	19	0	0	16
2	5	32	19	1	19	13
2	6	64	19	3	57	7
2	7	128	19	6	114	14
2	8	256	19	13	247	9
2	9	512	19	26	494	18
2	10	1024	19	53	1007	17
2	11	2048	19	107	2033	15
2	12	4096	19	215	4085	11
2	13	8192	19	431	8189	3
2	14	16384	19	862	16378	6
2	15	32768	19	1724	32756	12
2	16	65536	19	3449	65531	5
2	17	131072	19	6898	131062	10

					Soma	171

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Potências de base 2 e restos de divisões por 23

A Tabela 7 apresenta as 11 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 23.

23 é um número primo de Fermat da forma 4x + 3.

A soma de 11 restos é 92.

92 é múltiplo de 23.

92 é 1/3 do número triangular 276.

3 x 92 = 276

O número 23 é um caso especial, pois a soma de restos de divisões de potências de base 2, da potência 2⁰ até 2³², tem como resultado o número triangular 276.

276 é 23⁰ número triangular.

Tabela 7

Potências de Base 2
e restos de divisões
por 23

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
			número		23
			primo

2	0	1	23	0	0	1
2	1	2	23	0	0	2
2	2	4	23	0	0	4
2	3	8	23	0	0	8
2	4	16	23	0	0	16
2	5	32	23	1	23	9
2	6	64	23	2	46	18
2	7	128	23	5	115	13
2	8	256	23	11	253	3
2	9	512	23	22	506	6
2	10	1024	23	44	1012	12

					Soma	92

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Potências de base 2 e restos de divisões por 29

A Tabela 8 apresenta as 28 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 29.

29 é um número primo de Fermat da forma 4x + 1.

A soma de 28 restos é 406

406 é múltiplo de 19.

A soma dos restos 406 dividida por 29 é igual a 14.

14 é a metade da quantidade dos restos que é 28.

406 é um número triangular gerado de ( 28 x 29 ) / 2.

406 é 28⁰ número triangular.

Tabela 8

Potências de Base 2
e restos de divisões
por 29

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
			número		29
			primo

2	0	1	29	0	0	1
2	1	2	29	0	0	2
2	2	4	29	0	0	4
2	3	8	29	0	0	8
2	4	16	29	0	0	16
2	5	32	29	1	29	3
2	6	64	29	2	58	6
2	7	128	29	4	116	12
2	8	256	29	8	232	24
2	9	512	29	17	493	19
2	10	1024	29	35	1015	9
2	11	2048	29	70	2030	18
2	12	4096	29	141	4089	7
2	13	8192	29	282	8178	14
2	14	16384	29	564	16356	28
2	15	32768	29	1129	32741	27
2	16	65536	29	2259	65511	25
2	17	131072	29	4519	131051	21
2	18	262144	29	9039	262131	13
2	19	524288	29	18078	524262	26
2	20	1048576	29	36157	1048553	23
2	21	2097152	29	72315	2097135	17
2	22	4194304	29	144631	4194299	5
2	23	8388608	29	289262	8388598	10
2	24	16777216	29	578524	16777196	20
2	25	33554432	29	1157049	33554421	11
2	26	67108864	29	2314098	67108842	22
2	27	134217728	29	4628197	134217713	15

					Soma	406

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Potências de base 2 e restos de divisões por 37

A Tabela 9 apresenta as 36 primeiras potências de base 2 e os restos das divisões por 37.

37 é um número primo de Fermat da forma 4x + 1.

A soma de 36 restos é 666.

666 é múltiplo de 37.

A soma dos restos 666 dividida por 37 é igual a 18.

18 é a metade da quantidade dos restos que é 36.

666 é um número triangular gerado de ( 36 x 37 ) / 2.

666 é 36⁰ número triangular.

Tabela 9

Potências de Base 2
e restos de divisões
por 37

base	expoente	potência	divisor	quociente	múltiplos	resto
2					de
			número		37
			primo

2	0	1	37	0	0	1
2	1	2	37	0	0	2
2	2	4	37	0	0	4
2	3	8	37	0	0	8
2	4	16	37	0	0	16
2	5	32	37	0	0	32
2	6	64	37	1	37	27
2	7	128	37	3	111	17
2	8	256	37	6	222	34
2	9	512	37	13	481	31
2	10	1024	37	27	999	25
2	11	2048	37	55	2035	13
2	12	4096	37	110	4070	26
2	13	8192	37	221	8177	15
2	14	16384	37	442	16354	30
2	15	32768	37	885	32745	23
2	16	65536	37	1771	65527	9
2	17	131072	37	3542	131054	18
2	18	262144	37	7084	262108	36
2	19	524288	37	14169	524253	35
2	20	1048576	37	28339	1048543	33
2	21	2097152	37	56679	2097123	29
2	22	4194304	37	113359	4194283	21
2	23	8388608	37	226719	8388603	5
2	24	16777216	37	453438	16777206	10
2	25	33554432	37	906876	33554412	20
2	26	67108864	37	1813753	67108861	3
2	27	134217728	37	3627506	134217722	6
2	28	268435456	37	7255012	268435444	12
2	29	536870912	37	14510024	536870888	24
2	30	1073741824	37	29020049	1073741813	11
2	31	2147483648	37	58040098	2147483626	22
2	32	4294967296	37	116080197	4294967289	7
2	33	8589934592	37	232160394	8589934578	14
2	34	17179869184	37	464320788	17179869156	28
2	35	34359738368	37	928641577	34359738349	19

					Soma	666

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Conclusão

Efetuando-se divisões de potências de base 2 com números ímpares de 3 a 99, verificou-se que:

a) quando o divisor é Número de Mersenne, a soma dos restos tem como resultado o próprio Número de Mersenne;

b) quando o divisor é determinado número primo, a soma dos restos é um número triangular;

c) quando o divisor é determinado número ímpar composto, a soma dos restos é um múltiplo de um número triangular.

Efetuando-se divisões de potências de base 2 com números quadrado perfeitos 9, 25 e 49, verificou-se que nos restos há também sequências de potências de base 2, bem como, duplas de restos formadas por dobros de outros números cujas somas são múltiplos desse divisor mas não de números triangulares.

Autor: Ricardo Silva - junho/2026

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

Veritasium em Português. Como os Computadores Quânticos Quebram a Internet… A Partir de Agora.
https://www.youtube.com/ watch?v= gzBuqxmyft8

Programa de Iniciação Cientifica da OBMEP - Aritmética - Aula 39 - Qual o resto na divisão de 2^56 por 7? E por 11? https://www.youtube.com/ watch?v=nEIoSK0VhEM& list=PLrVGp617x0hC8WkPHtM3IjoOiiyJs -hHh&index=39