Potências de base 2 são números que são gerados multiplicando-se o número 2 (base) por ele mesmo conforme o seu expoente (número de vezes).
Números retangulares, também denominados de oblongos, são números que são produtos de 2 números consecutivos.
Números triangulares, também denominados de figurados, são números que por meio de arranjos de pontos formam figuras geométricas de triângulos.
Números triangulares, entre outros métodos, podem ser gerados pela divisão de um número retangular por 2, como também, por meio da soma de números naturais consecutivos.
O presente estudo demonstra uma nova propriedade relacionada ao Algoritmo de Decomposição em Fatores Primos com o qual podem ser geradas potências de base 2 com as soma de dividendos e quocientes.
Em sua vídeo-aula 12 de Matemática - Algoritmo de Euclides, o Professor Antonio Lacerda discorre sobre divisores de um número, bem como, sobre métodos de como encontrar o Máximo Divisor Comum - MDC.[1]
Como exemplos, o Professor demonstra como encontrar o MDC dos números 56 e 72 utilizando o Algoritmo de Euclides, como também, por meio de fatores primos.
Os números 56 e 72, assim como outros, possuem propriedades matemáticas interessantes que veremos a seguir.
Os números 56 e 72 são produtos de 2 números consecutivos.
Os números 56 e 72 são números retangulares e também números retangulares consecutivos.
Os fatores 8 é uma potência de base 2.
7 x 8 = 56
8 x 9 = 72
56 dividido por 2 tem como resultado 28 que é um triangular.
72 dividido por 2 tem como resultado 36 que é um triangular.
Observação: a soma de 2 triangulares consecutivos tem como resultado um quadrado perfeito.
28 + 36 = 64
A soma dos retangulares consecutivos 56 e 72 tem como resultado 128 que é dobro do quadrado 64 e que são potências de base 2.
2^7 = 128
| Decomposição em Fatores Primos | |||
| dos números 56 e 72 | |||
| fatores | |||
| primos | |||
| 56 | 72 | | | 2 |
| 28 | 36 | | | 2 |
| 14 | 18 | | | 2 |
| 7 | 9 | | | 3 |
| 7 | 3 | | | 3 |
| 7 | 1 | | | 7 |
| 1 | 1 | | | |
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Somando-se dividendos / quocientes, têm-se entre os resultados potências de base 2 (células laranjas).
| soma | ||
| 56 | 72 | 128 |
| 28 | 36 | 64 |
| 14 | 18 | 32 |
| 7 | 9 | 16 |
| 7 | 3 | 10 |
| 7 | 1 | 8 |
| 1 | 1 | 2 |
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Os números 12 e 20 são produtos de 2 números consecutivos.
Os números 12 e 20 são números retangulares e também números retangulares consecutivos.
Os fatores 4 é uma potência de base 2.
3 x 4 = 12
4 x 5 = 20
12 dividido por 2 tem como resultado 6 que é um triangular.
20 dividido por 2 tem como resultado 10 que é um triangular.
Observação: a soma de 2 triangulares consecutivos tem como resultado um quadrado perfeito.
6 + 10 = 16
A soma dos retangulares consecutivos 12 e 20 tem como resultado 32 que é dobro do quadrado 16 e que são potências de base 2. .
2^5 = 32
| Decomposição em Fatores Primos | |||
| dos números 12 e 20 | |||
| fatores | |||
| primos | |||
| 12 | 20 | | | 2 |
| 6 | 10 | | | 2 |
| 3 | 5 | | | 3 |
| 1 | 5 | | | 5 |
| 1 | 1 | | | |
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Somando-se dividendos / quocientes, têm-se entre os resultados potências de base 2 (células laranjas).
| soma | ||
| 12 | 20 | 32 |
| 6 | 10 | 16 |
| 3 | 5 | 8 |
| 1 | 5 | 6 |
| 1 | 1 | 2 |
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Os números 240 e 272 são produtos de 2 números consecutivos.
Os números 240 e 272 são números retangulares e também números retangulares consecutivos.
Os fatores 4 é uma potência de base 2.
15 x 16 = 240
16 x 17 = 272
240 dividido por 2 tem como resultado 120 que é um triangular.
272 dividido por 2 tem como resultado 136 que é um triangular.
Observação: a soma de 2 triangulares consecutivos tem como resultado um quadrado perfeito.
120 + 136 = 256
A soma dos retangulares consecutivos 240 e 272 tem como resultado 512 que é dobro do quadrado 256 e que são potências de base 2.
2^9 = 512
| Decomposição em Fatores Primos | |||
| dos números 240 e 272 | |||
| fatores | |||
| primos | |||
| 240 | 272 | | | 2 |
| 120 | 136 | | | 2 |
| 60 | 68 | | | 2 |
| 30 | 34 | | | 2 |
| 15 | 17 | | | 3 |
| 5 | 17 | | | 5 |
| 1 | 17 | | | 17 |
| 1 | 1 | | | |
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Somando-se dividendos / quocientes, têm-se entre os resultados potências de base 2 (células laranjas).
| soma | ||
| 240 | 272 | 512 |
| 120 | 136 | 256 |
| 60 | 68 | 128 |
| 30 | 34 | 64 |
| 15 | 17 | 32 |
| 5 | 17 | 22 |
| 1 | 17 | 18 |
| 1 | 1 | 2 |
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Realizando subtrações sucessivas de 1 até a metade de uma potência de base 2, verifica-se que:
a) nos números quadrados perfeitos há minuendos e diferenças que são números triangulares (células laranjas);
b) nos números que não são quadrados perfeitos, há minuendos e diferenças que são números retangulares (células azuis).
| minuendo | subtraendo | diferença |
| 4 | 1 | 3 |
| 4 | 2 | 2 |
| minuendo | subtraendo | diferença |
| 8 | 1 | 7 |
| 8 | 2 | 6 |
| 8 | 3 | 5 |
| 8 | 4 | 4 |
| minuendo | subtraendo | diferença |
| 16 | 1 | 15 |
| 16 | 2 | 14 |
| 16 | 3 | 13 |
| 16 | 4 | 12 |
| 16 | 5 | 11 |
| 16 | 6 | 10 |
| 16 | 7 | 9 |
| 16 | 8 | 8 |
| minuendo | subtraendo | diferença |
| 32 | 1 | 31 |
| 32 | 2 | 30 |
| 32 | 3 | 29 |
| 32 | 4 | 28 |
| 32 | 5 | 27 |
| 32 | 6 | 26 |
| 32 | 7 | 25 |
| 32 | 8 | 24 |
| 32 | 9 | 23 |
| 32 | 10 | 22 |
| 32 | 11 | 21 |
| 32 | 12 | 20 |
| 32 | 13 | 19 |
| 32 | 14 | 18 |
| 32 | 15 | 17 |
| 32 | 16 | 16 |
| minuendo | subtraendo | diferença |
| 64 | 1 | 63 |
| 64 | 2 | 62 |
| 64 | 3 | 61 |
| 64 | 4 | 60 |
| 64 | 5 | 59 |
| 64 | 6 | 58 |
| 64 | 7 | 57 |
| 64 | 8 | 56 |
| 64 | 9 | 55 |
| 64 | 10 | 54 |
| 64 | 11 | 53 |
| 64 | 12 | 52 |
| 64 | 13 | 51 |
| 64 | 14 | 50 |
| 64 | 15 | 49 |
| 64 | 16 | 48 |
| 64 | 17 | 47 |
| 64 | 18 | 46 |
| 64 | 19 | 45 |
| 64 | 20 | 44 |
| 64 | 21 | 43 |
| 64 | 22 | 42 |
| 64 | 23 | 41 |
| 64 | 24 | 40 |
| 64 | 25 | 39 |
| 64 | 26 | 38 |
| 64 | 27 | 37 |
| 64 | 28 | 36 |
| 64 | 29 | 35 |
| 64 | 30 | 34 |
| 64 | 31 | 33 |
| 64 | 32 | 32 |
| minuendo | subtraendo | diferença |
| 128 | 1 | 127 |
| 128 | 2 | 126 |
| 128 | 3 | 125 |
| 128 | 4 | 124 |
| 128 | 5 | 123 |
| ... | ... | ... |
| 128 | 50 | 78 |
| 128 | 51 | 77 |
| 128 | 52 | 76 |
| 128 | 53 | 75 |
| 128 | 54 | 74 |
| 128 | 55 | 73 |
| 128 | 56 | 72 |
| 128 | 57 | 71 |
| 128 | 58 | 70 |
| 128 | 59 | 69 |
| 128 | 60 | 68 |
| 128 | 61 | 67 |
| 128 | 62 | 66 |
| 128 | 63 | 65 |
| 128 | 64 | 64 |
Interessante observar que o quadrado 256 possue 3 duplas de números triangulares, sendo:
a) 2 pares de triangulares não consecutivos;
b) 1 par de triangulares consecutivos.
| minuendo | subtraendo | diferença |
| 256 | 1 | 255 |
| 256 | 2 | 254 |
| 256 | 3 | 253 |
| 256 | 4 | 252 |
| 256 | 5 | 251 |
| 256 | 6 | 250 |
| 256 | 7 | 249 |
| 256 | 8 | 248 |
| 256 | 9 | 247 |
| ... | ... | ... |
| 256 | 60 | 196 |
| 256 | 61 | 195 |
| 256 | 62 | 194 |
| 256 | 63 | 193 |
| 256 | 64 | 192 |
| 256 | 65 | 191 |
| 256 | 66 | 190 |
| 256 | 67 | 189 |
| 256 | 68 | 188 |
| 256 | 69 | 187 |
| 256 | 70 | 186 |
| ... | ... | ... |
| 256 | 111 | 145 |
| 256 | 112 | 144 |
| 256 | 113 | 143 |
| 256 | 114 | 142 |
| 256 | 115 | 141 |
| 256 | 116 | 140 |
| 256 | 117 | 139 |
| 256 | 118 | 138 |
| 256 | 119 | 137 |
| 256 | 120 | 136 |
| 256 | 121 | 135 |
| 256 | 122 | 134 |
| 256 | 123 | 133 |
| 256 | 124 | 132 |
| 256 | 125 | 131 |
| 256 | 126 | 130 |
| 256 | 127 | 129 |
| 256 | 128 | 128 |
A tabela apresenta as 15 primeiras somas de produtos de duplas de números consecutivos.
a) a soma de dois números retangulares consecutivos tem como resultado o dobro de um número quadrado perfeito e a sua raiz quadrada é o fator que se repete na multiplicação;
b) quando a ordem / posição é um Número de Mersenne / número quase potência de base 2, a soma dos retangulares consecutivos é uma potência em que a base 2 e elevada a expoente ímpar (células laranjas);
2^3 = 8
2^5 = 32
2^7 = 128
2^9 = 512
| Soma de Produtos | ||||
| de Duplas de Números Consecutivos | ||||
| ordem / | consecutivos | consecutivos | soma | |
| posição | (dobro | |||
| de | ||||
| quadrado) | ||||
| 1 | 1 x 2 | 2 x 3 | ||
| retangulares | 2 | 6 | 8 (2^3) | |
| 2 | 2 x 3 | 3 x 4 | ||
| retangulares | 6 | 12 | 18 | |
| 3 | 3 x 4 | 4 x 5 | ||
| retangulares | 12 | 20 | 32 (2^5) | |
| 4 | 4 x 5 | 5 x 6 | ||
| retangulares | 20 | 30 | 50 | |
| 5 | 5 x 6 | 6 x 7 | ||
| retangulares | 30 | 42 | 72 | |
| 6 | 6 x 7 | 7 x 8 | ||
| retangulares | 42 | 56 | 98 | |
| 7 | 7 x 8 | 8 x 9 | ||
| retangulares | 56 | 72 | 128 (2^7) | |
| 8 | 8 x 9 | 9 x 10 | ||
| retangulares | 72 | 90 | 162 | |
| 9 | 9 x 10 | 10 x 11 | ||
| retangulares | 90 | 110 | 200 | |
| 10 | 10 x 11 | 11 x 12 | ||
| retangulares | 110 | 132 | 242 | |
| 11 | 11 x 12 | 12 x 13 | ||
| retangulares | 132 | 156 | 288 | |
| 12 | 12 x 13 | 13 x 14 | ||
| retangulares | 156 | 182 | 338 | |
| 13 | 13 x14 | 14 x 15 | ||
| retangulares | 182 | 210 | 392 | |
| 14 | 14 x 15 | 15 x 16 | ||
| retangulares | 210 | 240 | 450 | |
| 15 | 15 x 16 | 16 x 17 | ||
| retangulares | 240 | 272 | 512 (2^9) | |
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Autor: Ricardo Silva - março/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
[1] Algoritmo de Euclides
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