Número Retangular é um número que é produto de 2 números consecutivos.
Número Triangular é um número que é a metade de número retangular.
Número Quadrado Perfeito é um número que é produto de um número por ele mesmo.
O presente estudo demonstra curiosidades matemáticas envolvendo números retangulares e triangulares com o número quadrado perfeito 9 e seus múltiplos quadrados perfeitos.
O produto dos números consecutivos 2 e 3 tem como resultado o número retangular triangular 6.
2 x 3 = 6
Número retangular triangular / triangula retangular é um número que é ao mesmo tempo retangular e triangular.
O produto dos números consecutivos 2 e 3 dividido por 2 tem como resultado o número triangular 3.
( 2 x 3 ) / 2 = 3
A soma do retangular 6 com triangular 3 tem como resultado o número quadrado perfeito 9 cuja raiz quadrada é 3.
6 + 3 = 9
O número 2 é o único número primo par.
O número 3 é o primeiro número primo ímpar.
O número 6 é o primeiro número perfeito.
A presente tabela demonstra as 26 primeiras somas de números retangulares e triangulares correspondentes de um rol de 1000 somas.
| Soma de | ||||
| Número Retangular com Triangular | ||||
| ordem/ | retangular | triangular | soma | raiz |
| posição | quadrado | |||
| 1 | 2 | 1 | 3 | 1,732050808 |
| 2 | 6 | 3 | 9 | 3 |
| 3 | 12 | 6 | 18 | 4,242640687 |
| 4 | 20 | 10 | 30 | 5,477225575 |
| 5 | 30 | 15 | 45 | 6,708203932 |
| 6 | 42 | 21 | 63 | 7,937253933 |
| 7 | 56 | 28 | 84 | 9,16515139 |
| 8 | 72 | 36 | 108 | 10,39230485 |
| 9 | 90 | 45 | 135 | 11,61895004 |
| 10 | 110 | 55 | 165 | 12,84523258 |
| 11 | 132 | 66 | 198 | 14,07124728 |
| 12 | 156 | 78 | 234 | 15,29705854 |
| 13 | 182 | 91 | 273 | 16,52271164 |
| 14 | 210 | 105 | 315 | 17,74823935 |
| 15 | 240 | 120 | 360 | 18,97366596 |
| 16 | 272 | 136 | 408 | 20,19900988 |
| 17 | 306 | 153 | 459 | 21,42428529 |
| 18 | 342 | 171 | 513 | 22,64950331 |
| 19 | 380 | 190 | 570 | 23,87467277 |
| 20 | 420 | 210 | 630 | 25,0998008 |
| 21 | 462 | 231 | 693 | 26,32489316 |
| 22 | 506 | 253 | 759 | 27,54995463 |
| 23 | 552 | 276 | 828 | 28,77498914 |
| 24 | 600 | 300 | 900 | 30 |
| 25 | 650 | 325 | 975 | 31,22498999 |
| 26 | 702 | 351 | 1053 | 32,44996148 |
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Entre as 1000 primeiras somas encontrou-se 3 resultados em que as raízes quadradas das somas de retangulares com triangulares correspondentes têm raízes quadradas inteiras.
Dois desses resultados são o quadrado 9 e seu múltiplo 900 que também é um quadrado perfeito e cujas raízes são 3 e 30 respectivamente...
| ordem/ | retangular | triangular | soma | raiz |
| posição | quadrado | |||
| 1 | 2 | 1 | 3 | 1,732050808 |
| 2 | 6 | 3 | 9 | 3 |
| ordem/ | retangular | triangular | soma | raiz |
| posição | quadrado | |||
| 24 | 600 | 300 | 900 | 30 |
e outro quadrado perfeito 88209 cuja raiz quadrada é 297.
A raiz não começa com o algarismo 3.
| ordem/ | retangular | triangular | soma | raiz |
| posição | quadrado | |||
| 242 | 58806 | 29403 | 88209 | 297 |
Elaborando-se outra tabela e acrescentado-se quantidades pares de 0 (zeros) a direita dos números 6 e 3 e efetuando-se somas e posteriormente extraíndo raízes quadradas, verifica-se que todas as raízes são números inteiros.
| quantidades | retangular | triangular | soma | raiz |
| zeros | (quadrados) | quadrada | ||
| 6 | 3 | 9 | 3 | |
| 2 | 600 | 300 | 900 | 30 |
| 4 | 60 000 | 30 000 | 90 000 | 300 |
| 6 | 6 000 000 | 3 000 000 | 900 000 | 3 000 |
| 8 | 600 000 000 | 300 000 000 | 900 000 000 | 30 000 |
| 10 | 60 000 000 000 | 30 000 000 000 | 90 000 000 000 | 300 000 000 |
Autor: Ricardo Silva - janeiro/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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