Número Quadrado Perfeito é um número que é produto de um número por ele mesmo.
Números quadrados perfeitos têm seus algarismos finais terminados em 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.
Não há números quadrados perfeitos terminados em 2, 3, 7 ou 8.
O presente estudo demonstram propriedades núméricas entre números quadrados perfeitos terminados em 1, 5 e 9 com números 4 e 8, bem como, com números triangulares, retangulares e Números de Fermat da forma 4x + 1.
Números de Fermat da forma 4x + 1 são números que podem ser escritos como soma de 2 quadrados.
Números quadrados perfeitos ímpares ao serem divididos por 4 e por 8 têm como resultados quocientes cujas partes inteiras são respectivamente números retangulares e triangulares a partir do número quadrado perfeito 9.
| Números Quadrados | |||
| Perfeitos ìmpares | |||
| e | |||
| divisões por 4 e 8 | |||
| raiz | quadrado | divisão | divisão |
| por | por | ||
| 4 | 8 | ||
| 1 | 1 | 0,25 | 0,125 |
| 3 | 9 | 2,25 | 1,125 |
| 5 | 25 | 6,25 | 3,125 |
| 7 | 49 | 12,25 | 6,125 |
| 9 | 81 | 20,25 | 10,125 |
| 11 | 121 | 30,25 | 15,125 |
| 13 | 169 | 42,25 | 21,125 |
| 15 | 225 | 56,25 | 28,125 |
| 17 | 289 | 72,25 | 36,125 |
| 19 | 361 | 90,25 | 45,125 |
| 21 | 441 | 110,25 | 55,125 |
| 23 | 529 | 132,25 | 66,125 |
| 25 | 625 | 156,25 | 78,125 |
| 27 | 729 | 182,25 | 91,125 |
| 29 | 841 | 210,25 | 105,125 |
| 31 | 961 | 240,25 | 120,125 |
| 33 | 1089 | 272,25 | 136,125 |
| 35 | 1225 | 306,25 | 153,125 |
| 37 | 1369 | 342,25 | 171,125 |
| 39 | 1521 | 380,25 | 190,125 |
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Número quadrado perfeito ímpar subtraído 1 unidade têm como diferença um número tanto divisível por 4 quanto por 8.
A diferença dividida por 4 tem como quociente um número retangular.
A diferença dividida por 8 tem como quociente um número triangular.
9 - 1 = 8
8 : 4 = 2 (número retangular)
8 : 8 = 1 (número triangular)
Interessante observar que o número retangular 2 é o dobro do triangular 1.
25 - 1 = 24
24 : 4 = 6 (número retangular)
24 : 8 = 3 (número triangular)
Interessante observar que o número retangular 6 é o dobro do triangular 3.
49 - 1 = 48
48 : 4 = 12 (número retangular)
48 : 8 = 6 (número triangular)
Interessante observar que o número retangular 12 é o dobro do triangular 6.
81 - 1 = 80
80 : 4 = 20 (número retangular)
80 : 8 = 10 (número triangular)
Interessante observar que o número retangular 20 é o dobro do triangular 10.
a) 9 pode ser escrito como soma de 2 números consecutivos;
4 + 5 = 9
b) a parcela 4 pode ser escrita com soma de 2 números retangulares;
2 + 2 = 4
c) a parcela 5 pode ser escrita com soma de 2 números consecutivos;
2 + 3 = 5
a parcela 2 é um número retangular.
Número retangular é um número que é produto de 2 consecutivos.
1 x 2 = 2
d) a soma dos quadrados dos números consecutivos 1 e 2 tem como resultado número da forma 4x + 1;
1² + 2² = 1 + 4 = 5
e) o número 5 é um número da forma 4x + 1.
a) 25 pode ser escrito como soma de 2 números consecutivos;
12 + 13 = 25
b) a parcela 12 pode ser escrita com soma de 2 números retangulares;
6 + 6 = 12
c) a parcela 13 pode ser escrita com soma de 2 números consecutivos;
6 + 7 = 13
a parcela 6 é um número retangular.
Número retangular é um número que é produto de 2 consecutivos.
2 x 3 = 6
d) a soma dos quadrados dos números consecutivos 2 e 3 tem como resultado número da forma 4x + 1;
2² + 3² = 4 + 9 = 13
e) o número 13 é um número da forma 4x + 1.
a) 49 pode ser escrito como soma de 2 números consecutivos;
24 + 25 = 49
b) a parcela 24 pode ser escrita com soma de 2 números retangulares;
12 + 12 = 24
c) a parcela 25 pode ser escrita com soma de 2 números consecutivos;
12 + 13 = 25
a parcela 12 é um número retangular.
Número retangular é um número que é produto de 2 consecutivos.
3 x 4 = 12
d) a soma dos quadrados dos números consecutivos 3 e 4 tem como resultado número da forma 4x + 1;
3² + 4² = 9 + 16 = 25
e) o número 25 é um número da forma 4x + 1.
Autor: Ricardo Silva - outubro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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