Progressão Aritmética, ou simplesmente P.A., é uma sequência numérica em que cada um dos seus termos, exceto o primeiro, é igual ao termo antecessor somado com um número constante chamado de razão.
O presente estudo demonstra propriedades e relações numéricas de progressão aritmética, P.A, cujo primeiro termo e a razão é uma raíz quadrada e último termo o quadrado perfeito dessa raiz com as propriedades de números triangulares.
Nas progressões aritméticas cujos termos são ímpares, os números triangulares, que são médias aritméticas, estão nas próprias progressões, enquanto em progressões aritméticas cujos termos são pares isso não acontece.
Utilizando-se propriedades de P.A.s são possíveis de se gerararem números triangulares em P.A.s cujos termos são pares.
| Progressão Aritmética | ||
| com raiz 3 e quadrado 9 | ||
| quantidade | P.A. | |
| termos | ||
| 1 | 3 | triangular |
| 2 | 6 | triangular |
| 3 | 9 | |
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A soma dos termos equistantes 3 e 9 é 12.
12 é um número retangular que é produto 3 por 4.
A média aritmética dos termos equidistantes: da raiz 3 e do quadrado 9 têm como resultado o número triangular 6.
( 3 + 9 ) / 2 = 6
A diferença entre o último termo, o quadrado 9, e a média aritmética, o triangular 6, tem como resultado o termo antecedente ao termo médio e que também é um número triangular, o número 3.
9 - 6 = 3
A soma de 2 números triangulares consecutivos tem como resultado um número quadrado perfeito.
3 + 6 = 9
| Progressão Aritmética | ||
| com raiz 5 e quadrado 25 | ||
| quantidade | P.A. | |
| termos | ||
| 1 | 5 | |
| 2 | 10 | triangular |
| 3 | 15 | triangular |
| 4 | 20 | |
| 5 | 25 | |
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A soma dos termos equistantes 5 e 25 é 30.
30 é um número retangular que é produto 5 por 6.
A média aritmética dos termos equidistantes: da raiz 5 e do quadrado 25 têm como resultado o número triangular 15.
( 5 + 25 ) / 2 = 15
A diferença entre o último termo, o quadrado 25, e a média aritmética, o triangular 15, tem como resultado o termo antecedente ao termo médio e que também é um número triangular, o número 10.
25 - 15 = 10
A soma de 2 números triangulares consecutivos tem como resultado um número quadrado perfeito.
10 + 15 = 25
| Progressão Aritmética | ||
| com raiz 7 e quadrado 49 | ||
| quantidade | P.A. | |
| termos | ||
| 1 | 7 | |
| 2 | 14 | |
| 3 | 21 | triangular |
| 4 | 28 | triangular |
| 5 | 35 | |
| 6 | 42 | |
| 7 | 49 | |
| 0 | ||
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A soma dos termos equistantes 7 e 49 é 56.
56 é um número retangular que é produto 7 por 8.
A média aritmética dos termos equidistantes: da raiz 7 e do quadrado 49 têm como resultado o número triangular 28.
( 7 + 49 ) / 2 = 28
A diferença entre o último termo, o quadrado 49, e a média aritmética, o triangular 28, tem como resultado o termo antecedente ao termo médio e que também é um número triangular, o número 21.
49 - 28 = 21
A soma de 2 números triangulares consecutivos tem como resultado um número quadrado perfeito.
21 + 28 = 49
| Progressão Aritmética | |
| com raiz 4 e quadrado 16 | |
| quantidade | P.A. |
| termos | |
| 1 | 4 |
| 2 | 8 |
| 3 | 12 |
| 4 | 16 |
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A soma dos termos equistantes 4 e 16 é 20.
20 é um número retangular que é produto 4 por 5.
A média aritmética dos termos equidistantes: da raiz 4 e do quadrado 16 têm como resultado o número triangular 10.
( 4 + 16 ) / 2 = 10
Número triangular subtraído de quadrado perfeito tem como resultado número triangular.
16 - 10 = 6
A soma dos triangulares consecutivos 6 e 10 têm como resultado o quadrado 16.
| Progressão Aritmética | |
| com raiz 6 e quadrado 36 | |
| quantidade | P.A. |
| de termos | |
| 1 | 6 |
| 2 | 12 |
| 3 | 18 |
| 4 | 24 |
| 5 | 30 |
| 6 | 36 |
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A soma dos termos equistantes 6 e 36 é 42.
42 é um número retangular que é produto 6 por 7.
A média aritmética dos termos equidistantes: da raiz 6 e do quadrado 36 têm como resultado o número triangular 21.
( 6 + 36 ) / 2 = 21
Número triangular subtraído de quadrado perfeito tem como resultado número triangular.
36 - 21 = 15
A soma dos triangulares consecutivos 15 e 21 têm como resultado o quadrado 36.
| Progressão Aritmética | |
| com raiz 8 e quadrado 64 | |
| quantidade | P.A. |
| termos | |
| 1 | 8 |
| 2 | 16 |
| 3 | 24 |
| 4 | 32 |
| 5 | 40 |
| 6 | 48 |
| 7 | 56 |
| 8 | 64 |
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A soma dos termos equistantes 8 e 64 é 72.
72 é um número retangular que é produto 8 por 9.
A média aritmética dos termos equidistantes: da raiz 8 e do quadrado 64 têm como resultado o número triangular 36.
( 8 + 64 ) / 2 = 36
Número triangular subtraído de quadrado perfeito tem como resultado número triangular.
64 - 36 = 28
A soma dos triangulares consecutivos 28 e 36 têm como resultado o quadrado 64.
Autores: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - setembro /2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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