O presente estudo demonstra método de como se gerarem raízes e quadrados perfeitos reversos (algarismos invertidos).
Determinadas raízes terminadas em algarismos 2 é 3 e seus respectivos quadrados perfeitos, ao terem essas raízes com algarismos invertidos podem geram números quadrados perfeitos reversos.
Números Palíndromos / Capicuas são números que podem ser lidos tanto da esquerda para à direita quanto da direita para à esquerda.
Um método tradicional de se gerar número palíndromo / capicua e inverter a posição dos algarismos de um número e depois somá-lo como esse mesmo número.
Aqui no WebSite há também o novo método: Produto de um número pelo seu reverso.
Tanto nos dois métodos citados acima, verifica-se que há uma tendência na sequência de números naturais de que a cada mudança de classe (dezenas, centenas, milhares, etc.) , entre os primeiros 5 números, os cálculos para se gerarem números palíndromos são mais efetivos.
Para mais informações, veja abaixo, Matérias Relacionadas!
Recentemente recebi e-mail do Professor de História Breno Francisco e que também é Entusiasta Matemático lista com algumas raízes e seus quadrados perfeitos acompanhando respectivamente raízes e quadrados perfeitos reversos.
Complementando a lista com mais alguns números constata-se que:
a) números terminados em 2 e 3 das classes de números naturais quando invertidos seus algarismos e posteriormente elevados ao quadrado, esses quadrados também apresentam os algarismos invertidos (reversos).
Este expediente de se utilizar nomes e números reversos são utilizados principalmente em veículos dos Bombeiros e de ambulâncias, de forma que o condutor de um veículo a frente de um destes possa ver (ler) pelo espelho retrovisor as palavras Bombeiros e ambulância corretamente.
b) quando um número termina nos algarismos 2 e 3, formando o número 23, não é possivel formarem das raízes reversas números quadrados perfeitos reversos;
c) semelhante a números palíndromos, numeros reversos tendem a serem formados entre os 3 primeiros números de cada classe numérica: dezenas, centenas, milhares, milhões e assim sucessivamente.
| Raízes Quadradas e | |||
| Quadrados Perfeitos Reversos | |||
| número | quadrado | número | quadrado |
| (raiz) | perfeito | (raiz) | perfeito |
| classe | |||
| dezenas | |||
| 12 | 144 | 21 | 441 |
| 13 | 169 | 31 | 961 |
| classe | |||
| centenas | |||
| . | . | ||
| 102 | 10404 | 201 | 40401 |
| 103 | 10609 | 301 | 90601 |
| . | . | ||
| 112 | 12544 | 211 | 44521 |
| 113 | 12769 | 311 | 96721 |
| . | . | ||
| 122 | 14884 | 221 | 48841 |
| classe | |||
| milhares | |||
| . | . | ||
| 1002 | 1004004 | 2001 | 4004001 |
| 1003 | 1006009 | 3001 | 9006001 |
| . | . | ||
| 1012 | 1024144 | 2101 | 4414201 |
| 1013 | 1026169 | 3101 | 9616201 |
| . | . | ||
| 1022 | 1044484 | 2201 | 4844401 |
| . | . | ||
| 1102 | 1214404 | 2011 | 4044121 |
| 1103 | 1216609 | 3011 | 9066121 |
| . | . | ||
| 1112 | 1236544 | 2111 | 4456321 |
| 1113 | 1238769 | 3111 | 9678321 |
| . | . | ||
| 1122 | 1258884 | 2111 | 4456321 |
| 10002 | 100040004 | 20001 | 400040001 |
| 10003 | 100060009 | 30001 | 900060001 |
| . | . | ||
| 10012 | 100240144 | 21001 | 441042001 |
| 10013 | 100260169 | 31001 | 961062001 |
| . | . | ||
| 10022 | 100440484 | 22001 | 484044001 |
| . | . | ||
| 10112 | 102252544 | 21101 | 445252201 |
| 10113 | 102272769 | 31101 | 967272201 |
| . | . | ||
| 10122 | 102454884 | 22101 | 488454201 |
| . | . | ||
| 11002 | 121044004 | 20011 | 400440121 |
| 11003 | 121066009 | 30011 | 900660121 |
| . | . | ||
| 11012 | 121264144 | 21011 | 441462121 |
| 11013 | 121286169 | 31011 | 961682121 |
| . | . | ||
| 11022 | 121484484 | 22011 | 484484121 |
| . | . | ||
| 11102 | 123254404 | 20111 | 404452321 |
| 11103 | 123276609 | 30111 | 906672321 |
| . | . | ||
| 11112 | 123476544 | 21111 | 445674321 |
| 11113 | 123498769 | 31111 | 967894321 |
| . | . | ||
| 11122 | 123698884 | 22111 | 488896321 |
| . | . | ||
| 100002 | 10000400004 | 200001 | 40000400001 |
| 100003 | 10000600009 | 300001 | 90000600001 |
| . | . | ||
| 100012 | 10002400144 | 210001 | 44100420001 |
| 100013 | 10002600169 | 310001 | 96100620001 |
| . | . | ||
| 100022 | 10004400484 | 220001 | 48400440001 |
| . | . | ||
| 100102 | 10020410404 | 201001 | 40401402001 |
| 100103 | 10020610609 | 301001 | 90601602001 |
| . | . | ||
| 100112 | 10022412544 | 211001 | 44521422001 |
| 100113 | 10022612769 | 311001 | 96721622001 |
| . | . | ||
| 100122 | 10024414884 | 221001 | 48841442001 |
| . | . | ||
| 111102 | 12343654404 | 201111 | 40445634321 |
| 111103 | 12343876609 | 301111 | 90667834321 |
| . | . | ||
| 111112 | 12345876544 | 211111 | 44567854321 |
| 111113 | 12346098769 | 311111 | 96790054321 |
| classe | |||
| milhões | |||
| . | . | ||
| 1000002 | 1E+12 | 2000001 | 4E+12 |
| 1000003 | 1,00001E+12 | 3000001 | 9,00001E+12 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
Importante destacar que o Sr. Shyam Sunder Gupta ( Former Principal Chief Engineer, North Western Railway, Jaipur, India-302017 ) apresenta em seu WebSite:
http://www.shyamsundergupta.com/fsquare.html
diversas propriedades relacionadas à raízes e quadrados perfeitos que possuem algarismos invertidos os quais ele denomina de Digitos Semelhantes.
Na mesma página, o Sr. Shyam deixa também o seguinte convite:
"It can be past time for Number Enthusiasts to find squares, cubes and higher powers having like digits for higher numbers."
"Pode ser um bom passatempo para Entusiastas de Números (Entusiastas Matemáticos) encontrarem quadrados, cubos e potências superiores que tenham dígitos semelhantes para números maiores."
O grifo é nosso.
O presente estudo vem, então, acrescentar novas propriedades aos estudos de Digitos Semelhantes do Sr. Shyam.
Autor: Ricardo Silva - agosto/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
http://www.shyamsundergupta.com/fsquare.html
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