Triângulo Retângulo possui diversas propriedades algébricas, geométricas e numéricas.
Uma de suas propriedades é que a soma dos quadrados de seus lados menores (catetos) é igual ao quadrado do lado maior (hipotenusa), relação esta que é denominada de Teorema de Pitágoras.
Em uma postagem na Rede Social YouTube, o Professor Claudio Teixeira apresenta o seguinte desafio:
"Teorema de Pitágoras
Na figura, a soma das áreas dos três quadrados é 18.
A área do quadrado maior é:
(a) 6
(b) 8
(c) 9
(d) 10
(e) 12"
Fonte: https://www.youtube.com/
Posteriormente, o Professor apresenta a alternativa (c) 9 como correta.
9 é um número quadrado perfeito
A raiz quadrada de 9 é 3.
Observando o desafio do Professor Claudio Teixeira, confesso que fiquei curioso e intrigado, porque a primeira vista, qual seria três números quadrados cuja a soma é 18?
Triângulo Retângulo Pitagórico é um triângulo retângulo cujos lados são formados por 3 números inteiros denominado de Terno Pitagórico.
(3, 4, 5) é o primeiro Terno Pitagórico Primitivo formado por 3 números inteiros e consecutivos.
Aplicando o Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
ou
b² + c² = 5²
3² + 4²= 5²
9 + 16 = 25
25 = 25
25 é número quadrado perfeito e também pode ser obtido da soma de outros 2 números quadrados perfeitos: o 9 e o 16.
A soma das áreas dos 3 quadrados é 50.
9 + 16 + 25 = 50
Aplicando o desafio do Professor Claudio Teixeira em um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5.
"A soma das áreas dos três quadrados é 50. A área do quadrado maior é:"
Resposta: 25
Ternos Pitagóricos Primitivos Raros é uma sequência de 3 números inteiros, cujos primeiros e segundos termos são números consecutivos, excetuando-se o terceiro termo.
Elaborando-se tabela com as 30 primeiras sequências de 2 números consecutivos elevados ao quadrado e somados, observa que:
a) são possíveis de se encontrarem ternos pitagóricos primitivos raros;
b) não há soma de três quadrados cuja soma é 18.
| Soma de 2 quadrados | ||||||
| soma | soma | raiz | ||||
| 2 | 3 | quadrada | ||||
| consecutivos | quadrados | quadrados | quadrados | |||
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 2 | 1 | 4 | 5 | 2,236067977 | |
| 2 | 3 | 4 | 9 | 13 | 3,605551275 | |
| 3 | 4 | 9 | 16 | 25 | 50 | 5 |
| 4 | 5 | 16 | 25 | 41 | 6,403124237 | |
| 5 | 6 | 25 | 36 | 61 | 7,810249676 | |
| 6 | 7 | 36 | 49 | 85 | 9,219544457 | |
| 7 | 8 | 49 | 64 | 113 | 10,63014581 | |
| 8 | 9 | 64 | 81 | 145 | 12,04159458 | |
| 9 | 10 | 81 | 100 | 181 | 13,45362405 | |
| 10 | 11 | 100 | 121 | 221 | 14,86606875 | |
| 11 | 12 | 121 | 144 | 265 | 16,2788206 | |
| 12 | 13 | 144 | 169 | 313 | 17,69180601 | |
| 13 | 14 | 169 | 196 | 365 | 19,10497317 | |
| 14 | 15 | 196 | 225 | 421 | 20,51828453 | |
| 15 | 16 | 225 | 256 | 481 | 21,9317122 | |
| 16 | 17 | 256 | 289 | 545 | 23,34523506 | |
| 17 | 18 | 289 | 324 | 613 | 24,75883681 | |
| 18 | 19 | 324 | 361 | 685 | 26,17250466 | |
| 19 | 20 | 361 | 400 | 761 | 27,58622845 | |
| 20 | 21 | 400 | 441 | 841 | 1682 | 29 |
| 21 | 22 | 441 | 484 | 925 | 30,41381265 | |
| 22 | 23 | 484 | 529 | 1013 | 31,82766093 | |
| 23 | 24 | 529 | 576 | 1105 | 33,24154028 | |
| 24 | 25 | 576 | 625 | 1201 | 34,6554469 | |
| 25 | 26 | 625 | 676 | 1301 | 36,06937759 | |
| 26 | 27 | 676 | 729 | 1405 | 37,48332963 | |
| 27 | 28 | 729 | 784 | 1513 | 38,89730068 | |
| 28 | 29 | 784 | 841 | 1625 | 40,31128874 | |
| 29 | 30 | 841 | 900 | 1741 | 41,72529209 | |
| 30 | 31 | 900 | 961 | 1861 | 43,13930922 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||||
Exemplos:
a) 3, 4 e 5 (execeção - 3 números consecutivos)
| soma dos 3 quadrados | |||
| 3² | 4² | 5² | |
| 9 | 16 | 25 | 50 |
A soma das áreas dos quadrados menores é 25.
A área do quadrado maior é 25.
b) 20, 21 e 29
| soma dos 3 quadrados | |||
| 20² | 21² | 29² | |
| 400 | 441 | 841 | 1682 |
A soma das áreas dos quadrados menores é 841.
A área do quadrado maior é 841.
c) 119, 120 e 169
| soma dos 3 quadrados | |||
| 119² | 120² | 169² | |
| 14161 | 14400 | 28561 | 57122 |
A soma das áreas dos quadrados menores é 28561.
A área do quadrado maior é 28561.
d) 696, 697 e 985
| soma dos 3 quadrados | |||
| 696² | 697² | 985² | |
| 484416 | 485809 | 970225 | 1940450 |
A soma das áreas dos quadrados menores é 970225.
A área do quadrado maior é 970225.
A partir de um quadrado de lados 3, com inclinação de 45 graus e construindo um triângulo retângulo isóceles, observa-se que os lados retos do triângulo isóceles têm medidas de 4,2 e aplicando o Teorema de Pitágoras a medida da hipotenusa que é um número irracional, difere do lados do quadrado que é 3 e que é um número inteiro.
A partir de um quadrado de lados 3, com inclinação de 30 graus e construindo um triângulo retângulo escaleno, observa-se que os lados retos do triângulo retângulo têm medidas de 1,5 e 2,6 e aplicando o Teorema de Pitágoras a medida da hipotenusa que é um número irracional e difere em 1 centésimo dos lados do quadrado que é 3 e que é um número inteiro.
Observa-se então que o desafio proposto pelo Professor Claudio Teixeira refere-se às áreas de quadrados construídos tendo como base um triângulo retângulo de ãngulos de 30, 60 e 90 graus.
Importante destacar que em triângulos retângulos de ângulos de 30, 60 e 90 graus: o cateto menor é metade da hipotenusa ou a hipotenusa é o dobro do cateto menor.
Autor: Ricardo Silva - março/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Senhores Professores de Matemática,
Profissionais de Exatas e
Entusiastas Matemáticos
FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO
AGORA MESMO ATRAVÉS
DO E-MAIL:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
