Estudos publicados aqui no WeSite Os Fantásticos Números Primos demonstram que muitos pares de primos gêmeos têm estreitas relações com números retangulares, também denominados de números oblongos.
Determinados números primos gêmeos são vizinhos de números retangulares, isto é, determinados números retangulares têm como números antecessores e sucessores números primos gêmeos.
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Número quadrado perfeito é um número natural que é produto de um número por si mesmo e cuja raiz quadrada também é um número natural.
Números primos gêmeos são números primos cuja diferença entre eles são 2 (duas) unidades.
Exemplos:
(2, 3) únicos primos gêmeos cuja diferença é 1 unidade.
(3, 5, 7) únicos primos trigêmeos formados por 3 primos consecutivos.
(3, 5)
(5, 7)
(11, 13)
(17, 19)
(29, 31)
Partindo-se de números quadrados perfeitos, será que é possível também obter muitos pares de primos gêmeos?
Tabulando-se os 30 primeiros números naturais, bem como, seus respectivos quadrados perfeitos; os antecessores e sucessores desses mesmos números quadrados, verifica-se que:
| Números Quadrados Perfeitos | ||||||
| e seus vizinhos | ||||||
| número | antecessor | número | sucessor | |||
| quadrado | ||||||
| perfeito | ||||||
| 1 | 0 | 1 | 2 | |||
| 2 | . | primo | 3 | 4 | 5 | primo |
| 3 | 8 | 9 | 10 | |||
| 4 | 15 | 16 | 17 | |||
| 5 | 24 | 25 | 26 | |||
| 6 | 35 | 36 | 37 | |||
| 7 | 48 | 49 | 50 | |||
| 8 | 63 | 64 | 65 | |||
| 9 | 80 | 81 | 82 | |||
| 10 | 99 | 100 | 101 | primo | ||
| 11 | 120 | 121 | 122 | |||
| 12 | 143 | 144 | 145 | |||
| 13 | 168 | 169 | 170 | |||
| 14 | 195 | 196 | 197 | |||
| 15 | 224 | 225 | 226 | |||
| 16 | 255 | 256 | 257 | |||
| 17 | 288 | 289 | 290 | |||
| 18 | 323 | 324 | 325 | |||
| 19 | 360 | 361 | 362 | |||
| 20 | 399 | 400 | 401 | primo | ||
| 21 | 440 | 441 | 442 | |||
| 22 | 483 | 484 | 485 | |||
| 23 | 528 | 529 | 530 | |||
| 24 | 575 | 576 | 577 | |||
| 25 | 624 | 625 | 626 | |||
| 26 | 675 | 676 | 677 | |||
| 27 | 728 | 729 | 730 | |||
| 28 | 783 | 784 | 785 | |||
| 29 | 840 | 841 | 842 | |||
| 30 | 899 | 900 | 901 | |||
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a) o primeiro par de primos gêmeos a ocorrer é (3, 5) e que são respectivamente antecessor e sucessor do número quadrado perfeito 4;
Interessante observar que:
3, 4, 5 é também o primeiro terno pitagórico primitivo, formado por 3 números consecutivos;
5 é o único número primo terminado em 5.
Então, todos os números quadrados perfeitos maior que 4 e terminados em 4 e em 6 não ocorrerão números primos gêmeos.
b) somente quadrados perfeitos pares têm antecessores e sucessores ímpares.
Os números quadrados perfeitos terminados em 0 (zero) têm como antecessores números terminados em 9 e como sucessores números terminados em 1.
| número | antecessor | número | sucessor | |||
| quadrado | ||||||
| perfeito | ||||||
| 10 | 99 | 100 | 101 | primo |
Tanto a raiz quadrada 10 quanto o seu quadrado 100 não são divisíveis por 3.
O número 99 que é antecessor do quadrado 100 é divisível por 3.
| número | antecessor | número | sucessor | |||
| quadrado | ||||||
| perfeito | ||||||
| 20 | 399 | 400 | 401 | primo |
Tanto a raiz quadrada 20 quanto o seu quadrado 400 não são divisíveis por 3.
O número 399 que é antecessor do quadrado 400 é divisível por 3.
Assim como, os quadrados perfeitos 100 e 400, os demais quadrados terminados em 0 (zero) que não são múltiplos de 3, os antecessores dos quadrados são múltiplos de 3.
| número | antecessor | número | sucessor | |||
| quadrado | ||||||
| perfeito | ||||||
| 30 | 899 | 900 | 901 | primo |
Tanto a raiz quadrada 30 quanto o seu quadrado 900 são divisíveis por 3.
O número 899 que é antecessor do quadrado 900 não é divisível por 3.
| número | antecessor | número | sucessor | |||
| quadrado | ||||||
| perfeito | ||||||
| 60 | 3599 | 3600 | 3601 | primo |
Tanto a raiz quadrada 60 quanto o seu quadrado 3600 são divisíveis por 3.
O número 3599 que é antecessor do quadrado 3600 não é divisível por 3.
Assim como, os quadrados perfeitos 900 e 3600, os demais quadrados terminados em 0 (zero) que são múltiplos de 3, os antecessores dos quadrados não são múltiplos de 3.
Para se saber se um número antecessor e sucessor de um número quadrado perfeito é um par de primos gêmeos devemos:
a) escolher um múltiplo de 3 terminado em 0 (zero) e elevá-lo ao quadrado;
b) verificar se o antecessor e o sucessor desse número quadrado perfeito múltiplo de 3 terminado em 0 (zero) são números primos.
Estudos realizados em um rol com os 1000 primeiros números quadrados perfeitos (primeiro 1.000.000) encontrou-se somente os primos gêmeos (3, 5).
A pergunta que fica é: haverá outros primos gêmeos?
Autor: Ricardo Silva - março/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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