Todo número natural é raiz quadrada, raiz cúbica, raiz de quarta potência, raiz de quinta potência, etc. de outro número natural, mas nem todo número natural é um número quadrado perfeito, cubo perfeito, de quarta potência, de quinta potência, etc.
O presente estudo demonstra que o dobro de um número natural elevado ao quadrado quando dividido por 4 têm como resultado também um número quadrado perfeito.
O número 4 multiplicado pela sequência de números naturais têm como resultados números múltiplos de 4:
4 x 1 = 4
4 x 2 = 8
4 x 3 = 12
4 x 4 = 16
4 x 5 = 20
4 x 6 = 24
4 x 7 = 28
4 x 8 = 32
4 x 9 = 36
4 x 10 = 40
...
Na sequência dos números naturais há números que não são múltiplos 4.
Exemplos: 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17 e outros não são múltiplos de 4.
Números que não são múltiplos de 4, apresentam interessantes propriedades relacionados aos seus dobros, aos seus quadrados perfeitos com o número 4.
O número 5 não é múltiplo e nem divisível por 4.
Dobro de 5 = 10
10² = 100
100 : 4 = 25
O quadrado do dobro de 5 é divisível por 4 e tem como quociente o quadrado de 5.
5 x 5 = 25
5 é um número primo.
O número 6 não é múltiplo e nem divisível por 4.
Dobro de 6 = 12
12² = 144
144 : 4 = 36
O quadrado do dobro de 6 é divisível por 4 e tem como quociente o quadrado de 6.
6 x 6 = 36
6 é um número composto.
O número 7 não é múltiplo e nem divisível por 4.
Dobro de 7 = 14
14² = 196
196 : 4 = 49
O quadrado do dobro de 7 é divisível por 4 e tem como quociente o quadrado de 7.
7 x 7 = 49
7 é um número primo.
O número 9 não é múltiplo e nem divisível por 4.
Dobro de 9 = 18
18² = 324
324 : 4 = 81
O quadrado do dobro de 9 é divisível por 4 e tem como quociente o quadrado de 9.
9 x 9 = 81
9 é um número composto e também quadrado.
O número 10 não é múltiplo e nem divisível por 4.
Dobro de 10 = 20
20² = 400
400 : 4 = 100
O quadrado do dobro de 10 é divisível por 4 e tem como quociente o quadrado de 10.
10 x 10 = 100
10 é um número composto.
O número 11 não é múltiplo e nem divisível por 4.
Dobro de 11 = 22
22² = 484
484 : 4 = 121
O quadrado do dobro de 11 é divisível por 4 e tem como quociente o quadrado de 11.
11 x 11 = 121
11 é um número primo.
A tabela a seguir apresenta os 50 primeiros números naturais, bem como, os seus respectivos quadrados perfeitos.
Números quadrados perfeitos cujas posição são pares, são números divisíveis por 4 e têm como quocientes também números quadrados perfeitos.
| Números Quadrados Perfeitos | ||
| divididos por 4 | ||
| número | quadrado | divisão |
| natural | perfeito | por |
| (raiz) | 4 | |
| 1 | 1 | 0,25 |
| 2 | 4 | 1 |
| 3 | 9 | 2,25 |
| 4 | 16 | 4 |
| 5 | 25 | 6,25 |
| 6 | 36 | 9 |
| 7 | 49 | 12,25 |
| 8 | 64 | 16 |
| 9 | 81 | 20,25 |
| 10 | 100 | 25 |
| 11 | 121 | 30,25 |
| 12 | 144 | 36 |
| 13 | 169 | 42,25 |
| 14 | 196 | 49 |
| 15 | 225 | 56,25 |
| 16 | 256 | 64 |
| 17 | 289 | 72,25 |
| 18 | 324 | 81 |
| 19 | 361 | 90,25 |
| 20 | 400 | 100 |
| 21 | 441 | 110,25 |
| 22 | 484 | 121 |
| 23 | 529 | 132,25 |
| 24 | 576 | 144 |
| 25 | 625 | 156,25 |
| 26 | 676 | 169 |
| 27 | 729 | 182,25 |
| 28 | 784 | 196 |
| 29 | 841 | 210,25 |
| 30 | 900 | 225 |
| 31 | 961 | 240,25 |
| 32 | 1024 | 256 |
| 33 | 1089 | 272,25 |
| 34 | 1156 | 289 |
| 35 | 1225 | 306,25 |
| 36 | 1296 | 324 |
| 37 | 1369 | 342,25 |
| 38 | 1444 | 361 |
| 39 | 1521 | 380,25 |
| 40 | 1600 | 400 |
| 41 | 1681 | 420,25 |
| 42 | 1764 | 441 |
| 43 | 1849 | 462,25 |
| 44 | 1936 | 484 |
| 45 | 2025 | 506,25 |
| 46 | 2116 | 529 |
| 47 | 2209 | 552,25 |
| 48 | 2304 | 576 |
| 49 | 2401 | 600,25 |
| 50 | 2500 | 625 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||
A tabela a seguir apresenta os 50 primeiros números naturais, bem como, os seus respectivos quadrados perfeitos.
Números quadrados perfeitos ímpares quando divididos por 4 têm como quocientes números decimais.
Números quadrados perfeitos ímpares, a partir do quadrado perfeito 9 menos 1 unidade, têm como diferenças números que são divisíveis por 4 e por 8.
Números quadrados perfeitos ímpares, a partir do quadrado perfeito 9 menos 1 unidade, divididos por 4 têm como quocientes números retangulares.
Números quadrados perfeitos ímpares, a partir do quadrado perfeito 9 menos 1 unidade, divididos por 8 têm como quocientes números triangulares.
Observação: número retangular é o dobro de um número triangular.
| Números Quadrados Perfeitos Ímpares | ||||||
| e os números 4 e 8 | ||||||
| número | quadrado | divisão | menos | diferença | divisão | divisão |
| por | 1 unidade | por 4 | por 8 | |||
| 4 | ||||||
| retangular | triangualr | |||||
| 1 | 1 | 0,25 | 1 | |||
| 2 | 4 | |||||
| 3 | 9 | 2,25 | 1 | 8 | 2 | 1 |
| 4 | 16 | |||||
| 5 | 25 | 6,25 | 1 | 24 | 6 | 3 |
| 6 | 36 | |||||
| 7 | 49 | 12,25 | 1 | 48 | 12 | 6 |
| 8 | 64 | |||||
| 9 | 81 | 20,25 | 1 | 80 | 20 | 10 |
| 10 | 100 | |||||
| 11 | 121 | 30,25 | 1 | 120 | 30 | 15 |
| 12 | 144 | |||||
| 13 | 169 | 42,25 | 1 | 168 | 42 | 21 |
| 14 | 196 | |||||
| 15 | 225 | 56,25 | 1 | 224 | 56 | 28 |
| 16 | 256 | |||||
| 17 | 289 | 72,25 | 1 | 288 | 72 | 36 |
| 18 | 324 | |||||
| 19 | 361 | 90,25 | 1 | 360 | 90 | 45 |
| 20 | 400 | |||||
| 21 | 441 | 110,25 | 1 | 440 | 110 | 55 |
| 22 | 484 | |||||
| 23 | 529 | 132,25 | 1 | 528 | 132 | 66 |
| 24 | 576 | |||||
| 25 | 625 | 156,25 | 1 | 624 | 156 | 78 |
| 26 | 676 | |||||
| 27 | 729 | 182,25 | 1 | 728 | 182 | 91 |
| 28 | 784 | |||||
| 29 | 841 | 210,25 | 1 | 840 | 210 | 105 |
| 30 | 900 | |||||
| 31 | 961 | 240,25 | 1 | 960 | 240 | 120 |
| 32 | 1024 | |||||
| 33 | 1089 | 272,25 | 1 | 1088 | 272 | 136 |
| 34 | 1156 | |||||
| 35 | 1225 | 306,25 | 1 | 1224 | 306 | 153 |
| 36 | 1296 | |||||
| 37 | 1369 | 342,25 | 1 | 1368 | 342 | 171 |
| 38 | 1444 | |||||
| 39 | 1521 | 380,25 | 1 | 1520 | 380 | 190 |
| 40 | 1600 | |||||
| 41 | 1681 | 420,25 | 1 | 1680 | 420 | 210 |
| 42 | 1764 | |||||
| 43 | 1849 | 462,25 | 1 | 1848 | 462 | 231 |
| 44 | 1936 | |||||
| 45 | 2025 | 506,25 | 1 | 2024 | 506 | 253 |
| 46 | 2116 | |||||
| 47 | 2209 | 552,25 | 1 | 2208 | 552 | 276 |
| 48 | 2304 | |||||
| 49 | 2401 | 600,25 | 1 | 2400 | 600 | 300 |
| 50 | 2500 | |||||
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Autor: Ricardo Silva - fevereiro/2024
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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