Números retangulares / oblongos, também denominados de números figurados, números geométricos, são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de retângulos.
Podemos obter números retangulares por meio:
a) do produto de 2 números consecutivos.
Exemplos:
1 x 2 = 2
2 x 3 = 6
3 x 4 = 12
Número retangular dividido por 2 tem como quociente um número triangular.
Exemplos:
2 : 2= 1
6 : 2 = 3
12 : 2 = 6
b) número quadrado perfeito somado com sua raiz;
Exemplos:
1 + 1 = 2
4 + 2 = 6
9 + 3 = 12
c) raiz quadrada subtraída de seu quadrado perfeito, a partir do quadrado 4;
Exemplos:
4 - 2 = 2
9 - 3 = 6
16 - 4 = 12
Por meio de 11 adições sucessivas podemos obter a soma 20 com 11 pares de números distintos.
O número 20 é um número retangular e também pode ser obtido pela multiplicação de 4 x 5 = 20.
20 dividido por 2 tem como quociente 10.
10 é o quarto número triangular.
| Número 20 | ||||
| e adições sucessivas | ||||
| 0 | + | 20 | = | 20 |
| 1 | + | 19 | = | 20 |
| 2 | + | 18 | = | 20 |
| 3 | + | 17 | = | 20 |
| 4 | + | 16 | = | 20 |
| 5 | + | 15 | = | 20 |
| 6 | + | 14 | = | 20 |
| 7 | + | 13 | = | 20 |
| 8 | + | 12 | = | 20 |
| 9 | + | 11 | = | 20 |
| 10 | + | 10 | = | 20 |
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Por meio de 29 adições sucessivas podemos obter a soma 56 com 29 pares de números distintos.
O número 56 é um número retangular e também pode ser obtido pela multiplicação de 7 x 8 = 56.
56 dividido por 2 tem como quociente 28.
28 é o sétimo número triangular.
28 é número perfeito.
| Número 56 | ||||
| e adições sucessivas | ||||
| 0 | + | 56 | = | 56 |
| 1 | + | 55 | = | 56 |
| 2 | + | 54 | = | 56 |
| 3 | + | 53 | = | 56 |
| 4 | + | 52 | = | 56 |
| 5 | + | 51 | = | 56 |
| 6 | + | 50 | = | 56 |
| 7 | + | 49 | = | 56 |
| 8 | + | 48 | = | 56 |
| 9 | + | 47 | = | 56 |
| 10 | + | 46 | = | 56 |
| 11 | + | 45 | = | 56 |
| 12 | + | 44 | = | 56 |
| 13 | + | 43 | = | 56 |
| 14 | + | 42 | = | 56 |
| 15 | + | 41 | = | 56 |
| 16 | + | 40 | = | 56 |
| 17 | + | 39 | = | 56 |
| 18 | + | 38 | = | 56 |
| 19 | + | 37 | = | 56 |
| 20 | + | 36 | = | 56 |
| 21 | + | 35 | = | 56 |
| 22 | + | 34 | = | 56 |
| 23 | + | 33 | = | 56 |
| 24 | + | 32 | = | 56 |
| 25 | + | 31 | = | 56 |
| 26 | + | 30 | = | 56 |
| 27 | + | 29 | = | 56 |
| 28 | + | 28 | = | 56 |
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A tabela abaixo apresenta os 19 primeiros números ímpares e suas respectivas ordens / posições.
Querendo-se saber qual é a ordem / posição de determinado número ímpar em relação aos demais números ímpares, podemos proceder conforme etapas a seguir:
a) qual é a ordem / posição do número 3 ?;
b) soma-se 1 unidade a um número ímpar;
3 + 1 = 4
c) divide-se a soma 4 por 2, o quociente 2 é a ordem / posição do número ímpar 3 na sequência de números ímpares.
Observação importante: a ordem / posição de número ímpar e o número ímpar são também parcelas nas adições sucessivas para se obter os números retangulares 20 e 56.
7 + 13 = 20
19 + 37 = 56
| Número Ímpar | ||||
| ordem / posição | ||||
| ordem / | número | |||
| posição | ímpar | |||
| 1 | + | 1 | ||
| 2 | + | 3 | ||
| 3 | + | 5 | ||
| 4 | + | 7 | ||
| 5 | + | 9 | ||
| 6 | + | 11 | ||
| 7 | + | 13 | = | 20 |
| 8 | + | 15 | ||
| 9 | + | 17 | ||
| 10 | + | 19 | ||
| 11 | + | 21 | ||
| 12 | + | 23 | ||
| 13 | + | 25 | ||
| 14 | + | 27 | ||
| 15 | + | 29 | ||
| 16 | + | 31 | ||
| 17 | + | 33 | ||
| 18 | + | 35 | ||
| 19 | + | 37 | = | 56 |
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A tabela a seguir apresenta as 37 primeiras somas de números ímpares em suas respectivas ordens / posições, entre elas, duplas de números ímpares cujas somas são números retangulares e suas regularidades numéricas:
a) na coluna ordem / posição, a diferença entre uma posição posterior e anterior é um múltiplo de 6 (células laranjas);
7 - 1 = 6, o mesmo que 6 x 1
19 - 7 = 12, o mesmo que 6 x 2
37 - 19 = 18, o mesmo que 6 x 3
61 - 37 = 24, o mesmo que 6 x 4
Interessante observar que na coluna ordem / posição há ocorrências de números primos.
b) na coluna ímpar, a diferença entre um número ímpar posterior e anterior é um múltiplo de 12 (células laranjas);
13 - 1 = 12, o mesmo que 12 x 1
37 - 13 = 24 , o mesmo que 12 x 2
73 - 37 = 36, o mesmo que 12 x 3
121 - 73 = 48, o mesmo que 12 x 4
Interessante observar que na coluna números ímpares há ocorrências de números primos.
c) na coluna soma, a diferença entre uma soma posterior e anterior é um múltiplo de 18 (células laranjas);
20 - 2 = 18, o mesmo que 18 x 1
56 - 20 = 36, o mesmo que 18 x 2
110 - 56 = 54, o mesmo que 18 x 3
d) na coluna fatores, tem-se os números consecutivos que multiplicados, o resultado é o número retangular da coluna soma (células laranjas);
1 x 2 = 2
2 é um número retangular / oblongo.
1 e 2 são números consecutivos.
4 x 5 = 20
20 é um número retangular / oblongo.
4 e 5 são números consecutivos.
7 x 8 = 56
56 é um número retangular / oblongo.
7 e 8 são números consecutivos.
10 x 11 = 110
110 é um número retangular / oblongo.
10 e 11 são números consecutivos.
Interessante notar que os primeiros fatores: 1, 4, 7, 10, ... formam uma progressão aritmética de razão 3 e os segundos fatores: 2, 5, 8, 11,... também formam uma progressão aritmética de razão 3.
e) na coluna número triangular, a diferença entre um triangular posterior com um anterior é um múltiplo de 9;
10 - 1 = 9, o mesmo que 9x1
28 - 10 = 18, o mesmo que 9x2
55 - 28 = 27, o mesmo que 9x3
f) os número retangulares 2, 20, 56, 110,... não são múltiplos de 3;
g) os números triangulares 1, 10, 28, 55,... não são múltiplos de 3.
| Número Retangular | ||||||
| a partir | ||||||
| da soma de ímpar com sua ordem / posição | ||||||
| número | número | |||||
| retangular | triangular | |||||
| ordem / | número | soma | fatores | soma | ||
| posição | ímpar | dividido | ||||
| por 2 | ||||||
| 1 | + | 1 | = | 2 | 1x2 | 1 |
| 2 | + | 3 | = | 5 | ||
| 3 | + | 5 | = | 8 | ||
| 4 | + | 7 | = | 11 | ||
| 5 | + | 9 | = | 14 | ||
| 6 | + | 11 | = | 17 | ||
| 7 | + | 13 | = | 20 | 4x5 | 10 |
| 8 | + | 15 | = | 23 | ||
| 9 | + | 17 | = | 26 | ||
| 10 | + | 19 | = | 29 | ||
| 11 | + | 21 | = | 32 | ||
| 12 | + | 23 | = | 35 | ||
| 13 | + | 25 | = | 38 | ||
| 14 | + | 27 | = | 41 | ||
| 15 | + | 29 | = | 44 | ||
| 16 | + | 31 | = | 47 | ||
| 17 | + | 33 | = | 50 | ||
| 18 | + | 35 | = | 53 | ||
| 19 | + | 37 | = | 56 | 7x8 | 28 |
| 20 | + | 39 | = | 59 | ||
| 21 | + | 41 | = | 62 | ||
| 22 | + | 43 | = | 65 | ||
| 23 | + | 45 | = | 68 | ||
| 24 | + | 47 | = | 71 | ||
| 25 | + | 49 | = | 74 | ||
| 26 | + | 51 | = | 77 | ||
| 27 | + | 53 | = | 80 | ||
| 28 | + | 55 | = | 83 | ||
| 29 | + | 57 | = | 86 | ||
| 30 | + | 59 | = | 89 | ||
| 31 | + | 61 | = | 92 | ||
| 32 | + | 63 | = | 95 | ||
| 33 | + | 65 | = | 98 | ||
| 34 | + | 67 | = | 101 | ||
| 35 | + | 69 | = | 104 | ||
| 36 | + | 71 | = | 107 | ||
| 37 | + | 73 | = | 110 | 10x11 | 55 |
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Múltiplos de 6 também apresentam regularidades numéricas com determinadas duplas de números ímpares que somadas, o resultado é um número retangular, vejamos:
Exemplo 1)
a) o 6 (6 x 1) está próximo da parcela 7;
b) 7 é 1 unidade maior que 6;
c) 13 é 1 unidade maior que 12 (6 x 2);
d) 6 + 7 = 13
então:
[(6 x 1) + 1] + [(6 x 2) + 1] = 20
| 6 | + | 11 | = | 17 | ||
| 7 | + | 13 | = | 20 | 4x5 | 10 |
Exemplo 2)
a) o 18 ( 6 x 3) está próximo da parcela 19;
b) 19 é 1 unidade maior que 18;
c) 37 é 1 unidade maior que 36 (6 x 6);
d) 18 + 19 = 37
então:
[(6 x 3) + 1] + [(6 x 6) + 1] = 56
| 18 | + | = | ||||
| 19 | + | 37 | = | 56 | 7x8 | 28 |
Interessante observar que 28 é um número perfeito.
Exemplo 3)
a) o 36 (6 x 6) está próximo da parcela 37;
b) 37 é 1 unidade maior que 36;
c) 73 é 1 unidade maior que 72 (6 x 12);
d) 36 + 37 = 73
então:
[(6 x 6) + 1] + [(6 x 12) + 1] = 110
| 36 | + | = | ||||
| 37 | + | 73 | = | 110 | 10x11 | 55 |
Autor: Ricardo Silva - junho/2023
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
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SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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