Terno Pitagórico, Tripla Pitagórica ou Trinca Pitagórica é um conjunto de três números inteiros que tem relação com o Teorema de Pitágoras, onde "O quadrado da hipotenusa é ígual a soma dos quadrados dos quatetos ou a soma do quadrados dos catetos é igual a hipotenusa", representado pela seguinte fórmula:
a² = b² + c²
Números Retangulares, também denominados de números oblongos, faz parte dos chamados números figurados, pois, podemos também representá-los por meio de arranjos de pontos.
Por meio das Fórmulas de Euclides podemos gerar todos os ternos pitagóricos primitivos, mas nem todos os ternos pitagóricos derivados.
Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
é pitagórico, e é primitivo se e somente se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.
Números retangulares / oblongos podem ser gerados por meio dos seguintes métodos:
1) produto de dois números consecutivos:
1 x 2 = 2
2 x 3 = 6
3 x 4 = 12
2, 6, 12 são números retangulares.
2) número quadrado perfeito somado com sua raiz quadrada:
quadrado 1
1 + 1 = 2
quadrado 4
4 + 2 = 6
quadrado 9
9 + 3 = 12
2, 6, 12 são números retangulares.
3) raiz quadrada subtraída do seu quadrado:
quadrado 4
4 - 2 = 2
quadrado 9
9 - 3 = 6
quadrado 16
16 - 4 = 12
2, 6, 12 são números retangulares.
Número retangular / oblongo dividido 2 gera número triangular.
Exemplos:
2 : 2 = 1
6 : 2 = 3
12 : 2 = 6
20 : 2 = 10
30 : 2 = 15
1, 3, 6, 10, 15, ... são números triangulares.
Ternos pitagóricos primitivos gerados pelas Fórmulas de Euclides cujas ordens / posições são números triangulares, aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos, bem como, no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Númericas são denominados de Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular.
A tabela a seguir apresenta os 31 primeiros ternos pitagóricos e entre eles, os Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triagular (células laranjas), nos demais ternos há ternos pitagóricos derivados e também primitivos.
Todo Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular tem o seu primeiro termo (a) um número ímpar maior que 3, o segundo (b) e terceiro (c) termos, números consecutivos cuja a soma é o quadrado perfeito do primeiro termo.
| Ternos Pitagóricos | |||||
| a partir das | |||||
| Fórmulas de Euclides | |||||
| Terno | |||||
| ordem / | m | n | a | b | c |
| posição | |||||
| 1 | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 1 | 8 | 6 | 10 |
| 3 | 3 | 2 | 5 | 12 | 13 |
| 4 | 4 | 1 | 15 | 8 | 17 |
| 5 | 4 | 2 | 12 | 16 | 20 |
| 6 | 4 | 3 | 7 | 24 | 25 |
| 7 | 5 | 1 | 24 | 10 | 26 |
| 8 | 5 | 2 | 21 | 20 | 29 |
| 9 | 5 | 3 | 16 | 30 | 34 |
| 10 | 5 | 4 | 9 | 40 | 41 |
| 11 | 6 | 1 | 35 | 12 | 37 |
| 12 | 6 | 2 | 32 | 24 | 40 |
| 13 | 6 | 3 | 27 | 36 | 45 |
| 14 | 6 | 4 | 20 | 48 | 52 |
| 15 | 6 | 5 | 11 | 60 | 61 |
| 16 | 7 | 1 | 48 | 14 | 50 |
| 17 | 7 | 2 | 45 | 28 | 53 |
| 18 | 7 | 3 | 40 | 42 | 58 |
| 19 | 7 | 4 | 33 | 56 | 65 |
| 20 | 7 | 5 | 24 | 70 | 74 |
| 21 | 7 | 6 | 13 | 84 | 85 |
| 22 | 8 | 1 | 63 | 16 | 65 |
| 23 | 8 | 2 | 60 | 32 | 68 |
| 24 | 8 | 3 | 55 | 48 | 73 |
| 25 | 8 | 4 | 48 | 64 | 80 |
| 26 | 8 | 5 | 39 | 80 | 89 |
| 27 | 8 | 6 | 28 | 96 | 100 |
| 28 | 8 | 7 | 15 | 112 | 113 |
| 29 | 9 | 1 | 80 | 18 | 82 |
| 30 | 9 | 2 | 77 | 36 | 85 |
| 31 | 9 | 3 | 72 | 54 | 90 |
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Destacando-se os ternos pitagóricos derivados (células verdes), percebe-se que :
a) o Terno 12, 16, 20
tem o primeiro e terceiro termos números retangulares / oblongos e a sua posição é o número primo 5;
b) o Terno 72, 54, 90
tem o primeiro e terceiro termos números retangulares / oblongos e a sua posição é o número primo 31;
c) cada terno pitagórico derivado é gerado por um número quadrado e sua raiz quadrada:
m = 4 , n = 2
m = 9 , n = 3
A pergunta que se faz é a seguinte: será que os ternos pitagóricos derivados gerados por um número quadrado e a sua raiz quadrada têm sempre ordens / posições ímpares e números primos?
| Ternos Pitagóricos | |||||
| a partir das | |||||
| Fórmulas de Euclides | |||||
| Terno | |||||
| ordem / | m | n | a | b | c |
| posição | |||||
| 1 | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 1 | 8 | 6 | 10 |
| 3 | 3 | 2 | 5 | 12 | 13 |
| 4 | 4 | 1 | 15 | 8 | 17 |
| 5 | 4 | 2 | 12 | 16 | 20 |
| 6 | 4 | 3 | 7 | 24 | 25 |
| 7 | 5 | 1 | 24 | 10 | 26 |
| 8 | 5 | 2 | 21 | 20 | 29 |
| 9 | 5 | 3 | 16 | 30 | 34 |
| 10 | 5 | 4 | 9 | 40 | 41 |
| 11 | 6 | 1 | 35 | 12 | 37 |
| 12 | 6 | 2 | 32 | 24 | 40 |
| 13 | 6 | 3 | 27 | 36 | 45 |
| 14 | 6 | 4 | 20 | 48 | 52 |
| 15 | 6 | 5 | 11 | 60 | 61 |
| 16 | 7 | 1 | 48 | 14 | 50 |
| 17 | 7 | 2 | 45 | 28 | 53 |
| 18 | 7 | 3 | 40 | 42 | 58 |
| 19 | 7 | 4 | 33 | 56 | 65 |
| 20 | 7 | 5 | 24 | 70 | 74 |
| 21 | 7 | 6 | 13 | 84 | 85 |
| 22 | 8 | 1 | 63 | 16 | 65 |
| 23 | 8 | 2 | 60 | 32 | 68 |
| 24 | 8 | 3 | 55 | 48 | 73 |
| 25 | 8 | 4 | 48 | 64 | 80 |
| 26 | 8 | 5 | 39 | 80 | 89 |
| 27 | 8 | 6 | 28 | 96 | 100 |
| 28 | 8 | 7 | 15 | 112 | 113 |
| 29 | 9 | 1 | 80 | 18 | 82 |
| 30 | 9 | 2 | 77 | 36 | 85 |
| 31 | 9 | 3 | 72 | 54 | 90 |
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O Terno Pitagórico Derivado 12, 16, 20 está a duas posições abaixo do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular 5, 12, 13 cuja posição é 3 (número triangular).
Duas posições abaixo, é o termo n que é 2 e 2 é a raiz quadrada do termo m que é 4.
Posiçao 3 + 2 posições = 5
5 é a ordem / posição do Terno Pitagórico Derivado 12, 16, 20
| Ternos Pitagóricos | |||||
| a partir das | |||||
| Fórmulas de Euclides | |||||
| Terno | |||||
| ordem / | m | n | a | b | c |
| posição | |||||
| 1 | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 1 | 8 | 6 | 10 |
| 3 | 3 | 2 | 5 | 12 | 13 |
| 4 | 4 | 1 | 15 | 8 | 17 |
| 5 | 4 | 2 | 12 | 16 | 20 |
O Terno Pitagórico Derivado 72, 54, 90 está a três posições abaixo do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular 15, 112, 113 cuja posição é 28 (número triangular).
Três posições abaixo, é o termo n que é 3 e 3 é a raiz quadrada do termo m que é 9.
Posiçao 28 + 3 posições = 31
31 é a ordem / posição do Terno Pitagórico Derivado 72, 54, 90.
| Ternos Pitagóricos | |||||
| a partir das | |||||
| Fórmulas de Euclides | |||||
| Terno | |||||
| ordem / | m | n | a | b | c |
| posição | |||||
| 27 | 8 | 6 | 28 | 96 | 100 |
| 28 | 8 | 7 | 15 | 112 | 113 |
| 29 | 9 | 1 | 80 | 18 | 82 |
| 30 | 9 | 2 | 77 | 36 | 85 |
| 31 | 9 | 3 | 72 | 54 | 90 |
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Partindo-se do fato que somando-se um número triangular e a raiz quadrada de um número obtem-se a ordem / posição de um terno pitagórico derivado cujos primeiro e terceiro termos são número retangulares / oblongos elaborou a tabela abaixo com os 50 primeiros quadrados e suas raízes com as Fórmulas de Euclides onde:
Col.1 (lê-se Coluna1) é formada por números quadrados perfeitos;
Col. 2 é formada por raízes quadradas da Col.1;
Col. 3 é formada da subtração de 1 unidade da Col. 1;
Col. 4 é formada da subtração de 1 unidade da Col. 3;
Col. 5 é formada do produto da Col. 3 pela Col. 4 e dividido por 2;
Col. 6 é formada da soma Col. 3 com a Col. 2.
Os números em células bege são número primos.
| Tabela de ordens / posições | |||||
| dos números quadrados e raízes | |||||
| Col. 6 | Col. 1 | Col. 2 | Col. 5 | Col. 3 | Col. 4 |
| posicao | posicao | ||||
| ímpar / | m | n | triangular | m | m |
| primo | Quadrado | raiz | |||
| 5 | 4 | 2 | 3 | 3 | 2 |
| 31 | 9 | 3 | 28 | 8 | 7 |
| 109 | 16 | 4 | 105 | 15 | 14 |
| 281 | 25 | 5 | 276 | 24 | 23 |
| 601 | 36 | 6 | 595 | 35 | 34 |
| 1135 | 49 | 7 | 1128 | 48 | 47 |
| 1961 | 64 | 8 | 1953 | 63 | 62 |
| 3169 | 81 | 9 | 3160 | 80 | 79 |
| 4861 | 100 | 10 | 4851 | 99 | 98 |
| 7151 | 121 | 11 | 7140 | 120 | 119 |
| 10165 | 144 | 12 | 10153 | 143 | 142 |
| 14041 | 169 | 13 | 14028 | 168 | 167 |
| 18929 | 196 | 14 | 18915 | 195 | 194 |
| 24991 | 225 | 15 | 24976 | 224 | 223 |
| 32401 | 256 | 16 | 32385 | 255 | 254 |
| 41345 | 289 | 17 | 41328 | 288 | 287 |
| 52021 | 324 | 18 | 52003 | 323 | 322 |
| 64639 | 361 | 19 | 64620 | 360 | 359 |
| 79421 | 400 | 20 | 79401 | 399 | 398 |
| 96601 | 441 | 21 | 96580 | 440 | 439 |
| 116425 | 484 | 22 | 116403 | 483 | 482 |
| 139151 | 529 | 23 | 139128 | 528 | 527 |
| 165049 | 576 | 24 | 165025 | 575 | 574 |
| 194401 | 625 | 25 | 194376 | 624 | 623 |
| 227501 | 676 | 26 | 227475 | 675 | 674 |
| 264655 | 729 | 27 | 264628 | 728 | 727 |
| 306181 | 784 | 28 | 306153 | 783 | 782 |
| 352409 | 841 | 29 | 352380 | 840 | 839 |
| 403681 | 900 | 30 | 403651 | 899 | 898 |
| 460351 | 961 | 31 | 460320 | 960 | 959 |
| 522785 | 1024 | 32 | 522753 | 1023 | 1022 |
| 591361 | 1089 | 33 | 591328 | 1088 | 1087 |
| 666469 | 1156 | 34 | 666435 | 1155 | 1154 |
| 748511 | 1225 | 35 | 748476 | 1224 | 1223 |
| 837901 | 1296 | 36 | 837865 | 1295 | 1294 |
| 935065 | 1369 | 37 | 935028 | 1368 | 1367 |
| 1040441 | 1444 | 38 | 1040403 | 1443 | 1442 |
| 1154479 | 1521 | 39 | 1154440 | 1520 | 1519 |
| 1277641 | 1600 | 40 | 1277601 | 1599 | 1598 |
| 1410401 | 1681 | 41 | 1410360 | 1680 | 1679 |
| 1553245 | 1764 | 42 | 1553203 | 1763 | 1762 |
| 1706671 | 1849 | 43 | 1706628 | 1848 | 1847 |
| 1871189 | 1936 | 44 | 1871145 | 1935 | 1934 |
| 2047321 | 2025 | 45 | 2047276 | 2024 | 2023 |
| 2235601 | 2116 | 46 | 2235555 | 2115 | 2114 |
| 2436575 | 2209 | 47 | 2436528 | 2208 | 2207 |
| 2650801 | 2304 | 48 | 2650753 | 2303 | 2302 |
| 2878849 | 2401 | 49 | 2878800 | 2400 | 2399 |
| 3121301 | 2500 | 50 | 3121251 | 2499 | 2498 |
| 3378751 | 2601 | 51 | 3378700 | 2600 | 2599 |
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A tabela abaixo demonstra os 50 primeiros Ternos Pitagóricos Derivados cujos primeiro e terceiro termos são número retangulares / oblongos.
Os números em células bege são número primos.
| Ternos Pitagóricos Derivados | |||||
| de 2 termos retangulares | |||||
| posicao | |||||
| ímpar / | m | n | a | b | c |
| primo | Quadrado | raiz | |||
| 5 | 4 | 2 | 12 | 16 | 20 |
| 31 | 9 | 3 | 72 | 54 | 90 |
| 109 | 16 | 4 | 240 | 128 | 272 |
| 281 | 25 | 5 | 600 | 250 | 650 |
| 601 | 36 | 6 | 1260 | 432 | 1332 |
| 1135 | 49 | 7 | 2352 | 686 | 2450 |
| 1961 | 64 | 8 | 4032 | 1024 | 4160 |
| 3169 | 81 | 9 | 6480 | 1458 | 6642 |
| 4861 | 100 | 10 | 9900 | 2000 | 10100 |
| 7151 | 121 | 11 | 14520 | 2662 | 14762 |
| 10165 | 144 | 12 | 20592 | 3456 | 20880 |
| 14041 | 169 | 13 | 28392 | 4394 | 28730 |
| 18929 | 196 | 14 | 38220 | 5488 | 38612 |
| 24991 | 225 | 15 | 50400 | 6750 | 50850 |
| 32401 | 256 | 16 | 65280 | 8192 | 65792 |
| 41345 | 289 | 17 | 83232 | 9826 | 83810 |
| 52021 | 324 | 18 | 104652 | 11664 | 105300 |
| 64639 | 361 | 19 | 129960 | 13718 | 130682 |
| 79421 | 400 | 20 | 159600 | 16000 | 160400 |
| 96601 | 441 | 21 | 194040 | 18522 | 194922 |
| 116425 | 484 | 22 | 233772 | 21296 | 234740 |
| 139151 | 529 | 23 | 279312 | 24334 | 280370 |
| 165049 | 576 | 24 | 331200 | 27648 | 332352 |
| 194401 | 625 | 25 | 390000 | 31250 | 391250 |
| 227501 | 676 | 26 | 456300 | 35152 | 457652 |
| 264655 | 729 | 27 | 530712 | 39366 | 532170 |
| 306181 | 784 | 28 | 613872 | 43904 | 615440 |
| 352409 | 841 | 29 | 706440 | 48778 | 708122 |
| 403681 | 900 | 30 | 809100 | 54000 | 810900 |
| 460351 | 961 | 31 | 922560 | 59582 | 924482 |
| 522785 | 1024 | 32 | 1047552 | 65536 | 1049600 |
| 591361 | 1089 | 33 | 1184832 | 71874 | 1187010 |
| 666469 | 1156 | 34 | 1335180 | 78608 | 1337492 |
| 748511 | 1225 | 35 | 1499400 | 85750 | 1501850 |
| 837901 | 1296 | 36 | 1678320 | 93312 | 1680912 |
| 935065 | 1369 | 37 | 1872792 | 101306 | 1875530 |
| 1040441 | 1444 | 38 | 2083692 | 109744 | 2086580 |
| 1154479 | 1521 | 39 | 2311920 | 118638 | 2314962 |
| 1277641 | 1600 | 40 | 2558400 | 128000 | 2561600 |
| 1410401 | 1681 | 41 | 2824080 | 137842 | 2827442 |
| 1553245 | 1764 | 42 | 3109932 | 148176 | 3113460 |
| 1706671 | 1849 | 43 | 3416952 | 159014 | 3420650 |
| 1871189 | 1936 | 44 | 3746160 | 170368 | 3750032 |
| 2047321 | 2025 | 45 | 4098600 | 182250 | 4102650 |
| 2235601 | 2116 | 46 | 4475340 | 194672 | 4479572 |
| 2436575 | 2209 | 47 | 4877472 | 207646 | 4881890 |
| 2650801 | 2304 | 48 | 5306112 | 221184 | 5310720 |
| 2878849 | 2401 | 49 | 5762400 | 235298 | 5767202 |
| 3121301 | 2500 | 50 | 6247500 | 250000 | 6252500 |
| 3378751 | 2601 | 51 | 6762600 | 265302 | 6767802 |
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Autor: Ricardo Silva - maio/2023
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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